Обложка Журавлёв В.Ф., Петров А.Г., Шундерюк М.М. Избранные задачи гамильтоновой механики
Id: 263715
699 руб.

Избранные задачи гамильтоновой механики. Изд. стереотип.

URSS. 2021. 304 с. ISBN 978-5-9710-7881-4.
  • Твердый переплет

Аннотация

Книга посвящена, главным образом, конструктивным методам построения асимптотических решений уравнений Гамильтона. Появившиеся недавно новые методы: метод инвариантной нормализации, модификации метода канонического осреднения, применение производящего гамильтониана и параметрической функции Пуанкаре позволяют эффективно строить такие решения. Целью книги является максимально возможное упрощение алгоритмов исследования гамильтоновых систем и представление ...(Подробнее)их в форме, доступной для овладения широким кругом пользователей с практической направленностью. Алгоритмы демонстрируются на подборе большого числа примеров, в том числе изученных сравнительно недавно в работах авторов настоящей книги: классические задачи небесной механики, решение обратных задач определения параметров вибрации по заданному положению равновесия маятниковой системы; движение твердых частиц в стоячей акустической волне; перенос массы прогрессивной волной в жидкости конечной глубины; перенос массы вращающимся в жидкости цилиндром; трехмерные колебания тяжелой точки на пружине при резонансе 1:1:2; ограниченная задача трех тел; простое объяснение опыта Джанибекова; волчок Лагранжа на вибрирующем основании и многие другие задачи.

Для специалистов в области теоретической и прикладной механики, теоретической физики и теории колебаний.


Оглавление
Предисловие
Глава 1.Динамические системы в механике
 § 1.1. Основные определения
  1.1.1.Динамические системы
  1.1.2.Уравнения Лагранжа и обобщенные силы в механике
 § 1.2. Линейное приближение уравнений Лагранжа
  1.2.1.Классификация обобщенных сил
  1.2.2.Свободные колебания консервативных систем
 § 1.3. Спектральные свойства линейных систем
  1.3.1.Свойства характеристического уравнения
  1.3.2.Поведение собственных частот при изменении жесткости или массы
 § 1.4. Разложение обобщенных сил на потенциальную и циркулярную компоненты
  1.4.1.Необходимое и достаточное условие потенциальности силы
  1.4.2.Разложение позиционных сил и его единственность
  1.4.3.Разложение сил, зависящих от скоростей
 § 1.5. Уравнения Рауса
  1.5.1.Преобразования Лежандра
  1.5.2.Уравнения Рауса
  1.5.3.Концепция Герца в механике
 § 1.6. Теория возмущений интегральных многообразий резонансных систем
  1.6.1.Постановка проблемы
  1.6.2.Случай двукратной собственной частоты
  1.6.3.Анализ действия возмущений в линейном случае
  1.6.4.Маятник Фуко
Глава 2.Методы осреднения
 § 2.1. Теоремы Боголюбова
  2.1.1.Первая теорема Боголюбова
  2.1.2.Вторая теорема Боголюбова
  2.1.3. Приведение систем к стандартной форме
  2.1.4. Примеры, иллюстрирующие первое приближение метода осреднения
 § 2.2.  Построение высших приближений
  2.2.1.Алгоритм построения высших приближений
  2.2.2.Примеры построения высших приближений
 § 2.3.  Движение твердой частицы в поле акустической стоячей волны
  2.3.1.Уравнения движения твердой частицы
  2.3.2.Метод осреднения без учета силы Бассе
  2.3.3.Метод осреднения с учетом силы Бассе
Глава 3.Системы Гамильтона и их свойства
 § 3.1. Уравнения Гамильтона
  3.1.1.Гамильтонова система
   Векторная форма
  3.1.2.Приведение неавтономной гамильтоновой системы к автономной
  3.1.3.Преобразования Лежандра
  3.1.4.Структура функций Лагранжа и Гамильтона
  3.1.5.Первый интеграл автономной гамильтоновой системы
 § 3.2.  О методах возмущений
Глава 4.Канонические преобразования
 § 4.1. Условия каноничности преобразования
  4.1.1.Определение
  4.1.2.Локальный критерий каноничности
  4.1.3.Вариационный принцип Гамильтона
   Принцип Гамильтона
  4.1.4.Критерий каноничности Пуанкаре–Картана
   Критерий Пуанкаре
  4.1.5.Отображение фазовым потоком гамильтоновой системы
 § 4.2. Способы построения канонических преобразований
  4.2.1.Производящие функции Якоби
  4.2.2.Производящий гамильтониан и ряды Ли
  4.2.3.Производящая функция Пуанкаре
  4.2.4.Параметрическая производящая функция Пуанкаре
 § 4.3. Свойства параметрической производящей функции
  4.3.1.Уравнение типа Гамильтона–Якоби для параметрической производящей функции $\Psi $
  4.3.2.Связь параметрической функции $\Psi $ с производящим гамильтонианом
  4.3.3.Связь параметрической функции $\Psi $ с производящими функциями Пуанкаре и Якоби
 § 4.4. Параметризация симплектической матрицы
  4.4.1.Представление симплектической матрицы через симметричную
  4.4.2.Инвариантность параметризуемости симплектического преобразования
Глава 5.Канонические преобразования на плоскости
 § 5.1. Симплектические матрицы
  5.1.1.Критерий каноничности
  5.1.2.Отображение малой области
  5.1.3.Параметризация симплектических матриц
   Формулы параметризации
   Инварианты
   Параметризуемость матрицы $A$
   Инвариантность параметризуемости
 § 5.2. Производящие функции и производящий гамильтониан
  5.2.1.Примеры применения производящих функций Якоби
  5.2.2.Производящий гамильтониан и параметрическая производящая функция
  5.2.3.Отображение Пуанкаре
  5.2.4.Точки последования Пуанкаре
  5.2.5.Инвариантная кривая
  5.2.6.Исследование устойчивости неподвижных точек
 § 5.3. Отображение Чирикова
  5.3.1.Определение
  5.3.2.Основные свойства и фазовые портреты отображения Чирикова
  5.3.3.Производящие функции Якоби
  5.3.4.Параметрическая производящая функция
  5.3.5.Инвариантные кривые последовательности Чирикова
Глава 6.Каноническое осреднение
 § 6.1. Первое приближение для систем стандартной формы
  6.1.1.Теоремы Боголюбова
  6.1.2.Приведение гамильтоновой системы к стандартной форме
 § 6.2. Маятниковые системы под действием вибрации высокой частоты
  6.2.1.Краткий обзор
  6.2.2.Модифицированное каноническое осреднение
  6.2.3. Осредненный гамильтониан маятниковой системы
 § 6.3. Сферический маятник под действием вибрации высокой частоты
  6.3.1. Вибрационная энергия сферического маятника
  6.3.2.Положение равновесия маятника
  6.3.3.Определение параметров вибрации по заданному положению равновесия маятника
  6.3.4.Периодическое движение сферического маятника
   Движение маятника в неподвижных осях
   Движение маятника в подвижных осях Кенига, помещенных в точку подвеса
  6.3.5.Устойчивость положения равновесия
  6.3.6.Уравнения для радиус-вектора и кинетического момента
  6.3.7.Периодическое решение в декартовых координатах
  6.3.8.Двойной математический маятник под действием вибрации высокой частоты
 § 6.4. Построение высших приближений
  6.4.1.Отображение Пуанкаре на периоде гамильтоновой системы
  6.4.2.Производящий и осредненный гамильтонианы
 § 6.5. Примеры параметрического осреднения
  6.5.1.Движение твердых частиц в стоячей акустической волне
  6.5.2.Перенос массы прогрессивной волной в жидкости конечной глубины
  6.5.3.Перенос массы вращающимся в жидкости цилиндром
  6.5.4.Движение частиц жидкости около вращающегося в ней эллиптического цилиндра
Глава 7.Гамильтонова нормальная форма
 § 7.1. Определение гамильтоновой нормальной формы
  7.1.1.Комплексная гамильтонова нормальная форма
  7.1.2.Частные случаи нормальной формы
 § 7.2. Нормальная форма вещественных квадратичных гамильтонианов
  7.2.1.Системы с одной степенью свободы
  7.2.2.Системы с двумя степенями свободы
  7.2.3.Теоремы устойчивости по линейному приближению
  7.2.4.Системы с $n$ степенями свободы
 § 7.3. Нормализация квадратичных гамильтонианов в случае действительных либо мнимых корней характеристического полинома
 § 7.4. Нормальные формы для нелинейных систем с двумя степенями свободы
  7.4.1.Общий вид нормальной формы
  7.4.2. Нормальная форма при отсутствии резонансов
  7.4.3. Нормальная форма при наличии резонансов
 § 7.5. Интегрирование уравнений нормальной формы
 § 7.6. Методы вычисления нормальных форм
  7.6.1.Нормализация с помощью производящих функций Якоби
  7.6.2.Нормализация с помощью рядов Ли
  7.6.3.Нормализация с помощью параметрической производящей функции
  7.6.4.Нормализация произвольных гамильтонианов, представленных в виде степенных разложений
  7.6.5.Теоремы устойчивости
  7.6.6.Симметричная форма в случае, когда квадратичный гамильтониан не приведен к нормальной форме
  7.6.7.Маятник Фуко
Глава 8.Симметризация гамильтониана
 § 8.1. Определение симметризации
 § 8.2. Алгоритм симметризации с помощью производящего гамильтониана
  8.2.1.Пример симметризации
 § 8.3. Алгоритм симметризации с помощью параметрической функции Пуанкаре
  8.3.1.Вынужденные колебания линейного осциллятора при резонансе
  8.3.2.Вынужденные колебания нелинейного осциллятора Дуффинга
  8.3.3.Уравнение Матье
 § 8.4. Примеры симметризации
  8.4.1.Система Хенона–Хейлеса
  8.4.2.Трехмерные колебания тяжелой точки на пружине
  ВВЕДЕНИЕ
  ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
  ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УГЛА ПОВОРОТА ПЛОСКОСТИ КОЛЕБАНИЙ
  ДРУГИЕ РЕЗОНАНСЫ
  ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ РЕЗОНАНСА 1:2 ДЛЯ ДВУМЕРНОГО МАЯТНИКА.
  8.4.3.Сферический маятник с вибрирующей точкой подвеса
Глава 9.Ограниченная задача трех тел
 § 9.1. Треугольные точки либрации
 § 9.2. Коллинеарные точки либрации
  9.2.1.Постановка задачи
  9.2.2.Разложения гамильтониана
  9.2.3.Нормализация квадратичного гамильтониана в окрестностях коллинеарных точек либрации
  9.2.4.Сравнение результатов с ранее известными
  9.2.5.Асимптотические разложения нормальной формы гамильтониана для точек либрации
  9.2.6.Периодические решения
Глава 10.Избранные задачи динамики твердого тела
 § 10.1. Движение твердого тела около неподвижной точки
  10.1.1.Кинематика
  10.1.2.Отсутствие момента внешних сил (случай Эйлера)
  10.1.3.Опыт Джанибекова 
 § 10.2. Движение твердого тела в случае динамической симметрии
  10.2.1.Движение при отсутствии внешнего момента
  10.2.2.Уравнения движения в наблюдаемых переменных
  10.2.3.Регулярная прецессия в случае Лагранжа
  10.2.4.Функция Гамильтона в углах Эйлера
  10.2.5.Функция Гамильтона в наблюдаемых переменных
  10.2.6.Аналогия волчка Лагранжа и маятника Фуко
  10.2.7.Волчок Лагранжа на вибрирующем основании
  10.2.8.Движение твердого тела с неподвижной точкой в центре эллипсоида инерции и центром тяжести в экваториальной плоскости эллипсоида инерции.
Приложение
 § 10.1. Интегральные инварианты
  10.1.1.Определения
   Трубка прямых путей
   Интегральный инвариант
  10.1.2.Теоремы об интегральных инвариантах
  10.1.3.Интегральные инварианты для неавтономных гамильтоновых систем
  10.1.4.Критерии каноничности
Литература

Об авторах
Журавлёв Виктор Филиппович
Академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор. Главный научный сотрудник Института проблем механики имени А. Ю. Ишлинского РАН (ИПМех РАН). Лауреат премии Ленинского комсомола и Государственной премии РФ. Лауреат премии имени академика А. Ю. Ишлинского за 2016 год за цикл работ в области гироскопических и навигационных систем.
Петров Александр Георгиевич
Доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института проблем механики Российской академии наук, профессор кафедры теоретической механики Московского физико-технического института. Область научных интересов: механика жидкости, аналитическая механика. Опубликовал 7 монографий и более 200 научных работ.
Шундерюк Михаил Мирославович
Кандидат физико-математических наук, выпускник Московского физико-технического института. Область научных интересов: гамильтоновы системы, нелинейные колебания, компьютерная алгебра. Опубликовал 7 научных работ в журналах из перечня ВАК.