Основные работы Р. С. Болла относятся к области механики твердого тела и, в частности, теории винтов, родоначальником которой он фактически стал. Исследования в этом направлении он начал в 1870 г. и, развивая идеи немецкого математика Г. Г. Грассмана, создал в 1876 г. теорию винтов. Назвав винтом ось с нанесенным на нее отрезком, равным параметру винта, он исследовал различные группы винтов в связи с анализом движения твердого тела с разным числом степеней свободы, противопоставив метод винтов методу декартовых координат. В кинематической геометрии известны точки, четыре бесконечных положения которых находятся на одной прямой (точки Болла). Он также написал несколько работ по астрономии и сферической тригонометрии, в том числе учебники и научно-популярные книги.