Юрист, правовед, историк. Родился в Ирбитском уезде Пермской губернии, в семье священника. Учился на юридическом факультете Московского университета, а затем на том же факультете Демидовского юридического лицея (окончил в 1889 г.). В этом же лицее позже стал приват-доцентом и читал лекции по торговому праву. В 1896 г. защитил магистерскую диссертацию по гражданскому праву. В 1897 г. перешел в Киевский университет, где после защиты докторской диссертации по торговому праву занял должности экстраординарного и ординарного профессора на кафедре торгового права. В 1909 г. перешел на кафедру гражданского права. Был деканом юридического факультета и проректором университета. В 1911 г. перешел в Санкт-Петербургский университет на кафедру гражданского права. В 1913 г. избран деканом юридического факультета. В 1916 г. назначен на пост начальника главного управления по делам печати. С 1917 г. — товарищ (заместитель) министра народного просвещения.
Область научных интересов В. А. Удинцева включала вопросы гражданского и торгового права, земельной собственности, горного и лесного законодательства. Им был написан учебник "Русское горноземельное право", статьи по вопросам горного землевладения и торгового законодательства. Как автор многих научных трудов по гражданскому и горнозаводскому праву, он был назначен членом горного совета по горнопромышленным делам. Он вел большую общественную работу — был председателем Киевского юридического общества, председателем юридических испытательных комиссий при различных университетах. Многие его работы, в том числе книги "История займа" и "История обособления торгового права", не потеряли своей актуальности и в наши дни.