Diplômé de l'Université d'État Lomonossov de Moscou en 1917. Maître de conférences à l'Université de Moscou à partir de 1921, professeur titulaire à partir de 1929. La même année, il fut élu membre correspondant de l'Académie des sciences de l'URSS, puis académicien en 1953. De 1932 à 1964, il présida la Société mathématique de Moscou et, de 1958 à 1962, il fut vice-président de l'Union mathématique internationale. P. S. Alexandrov a introduit de nombreux concepts et constructions fondamentaux en topologie, a créé la théorie des applications essentielles et la théorie de la dimension homologique, et a fondé et développé la théorie des espaces compacts et bicompacts. Il a obtenu de nombreux résultats importants en théorie des ensembles et en théorie des fonctions d'une variable réelle. Parmi ses élèves figuraient des mathématiciens aussi renommés que L. S. Pontryagin, A. N. Tikhonov, L. D. Kudryavtsev, A. G. Kurosh et Yu. M. Smirnov.