| Prólogo a "Variable compleja" |
| 1 | Residuos. Aplicaciones de los residuos |
| | §1. | Definición de residuo. Teorema fundamental |
| | | 1.1. | Residuo en un punto finito aislado |
| | | 1.2. | Residuo en el punto del infinito |
| | | 1.3. | Teorema fundamental de los residuos |
| | §2. | Funciones enteras y meromorfas |
| | | 2.1. | Funciones enteras |
| | | 2.2. | Funciones meromorfas. Teorema de Mittag–Leffler |
| | | 2.3. | Desarrollo de las funciones meromorfas en fracciones simples |
| | §3. | Productos infinitos |
| | | 3.1. | Productos numéricos infinitos |
| | | 3.2. | Productos infinitos uniformemente convergentes |
| | | 3.3. | Representación de una función entera mediante un producto infinito |
| | | 3.4. | Desarrollo de sen z mediante un producto infinito |
| | | 3.5. | Género y orden de una función entera |
| | | 3.6. | Función meromorfa como el cociente de dos funciones enteras |
| | §4. | Aplicación de los residuos al cálculo de integrales y de sumas de series |
| | | 4.1. | Aplicación de los residuos al cálculo de integrales definidas |
| | | 4.2. | Aplicación de los residuos al cálculo de sumas de series |
| 2 | Aspectos generales de la teor ía geométrica de las funciones analíticas |
| | §1. | Principio del argumento. Teorema de Rouché |
| | | 1.1. | Cálculo de la integral |
| | | 1.2. | Teorema del residuo logarítmico |
| | | 1.3. | Principio del argumento |
| | | 1.4. | Teorema de Rouché |
| | §2. | Conservación de una región. Inversión local de una función analítica |
| | | 2.1. | Principio de conservación de la región |
| | | 2.2. | Inversión local de las funciones analíticas |
| | §3. | Propiedades de los extremos del módulo de una función analítica |
| | | 3.1. | Principio del máximo del módulo de una función analítica |
| | | 3.2. | Lema de Schwarz |
| | §4. | Principio de compacidad. Funcionales definidos sobre familias de funciones analíticas |
| | | 4.1. | Familias uniformemente acotadas y equicontinuas |
| | | 4.2. | Principio de compacidad |
| | | 4.3. | Funcionales definidos en conjuntos de funciones |
| | | 4.4. | Teorema de Hurwitz |
| | §5. | Existencia y unicidad de las transformaciones conformes |
| | | 5.1. | Isomorfismos y automorfismos conformes |
| | | 5.2. | Ejemplos de automorfismos |
| | | 5.3. | Existencia y unicidad de los isomorfismos de las regiones isomorfas al círculo unidad |
| | | 5.4. | Teorema de existencia |
| | §6. | Correspondencia de las fronteras y principio de simetría en el caso de transformaciones conformes |
| | | 6.1. | Teorema de correspondencia de las fronteras |
| | | 6.2. | Principio de simetría |
| | §7. | Transformación conforme de polígonos. Integral de Christoffel–Schwarz |
| | | 7.1. | Transformación del semiplano superior en un polígono |
| | | 7.2. | Caso de un polígono con vértices en el punto del infinito |
| | | 7.3. | Aplicación del semiplano superior en el exterior de un polígono |
| | | 7.4. | Aplicación del semiplano superior en un rectángulo |
| | | 7.5. | El seno elíptico y sus dos períodos |
| | | 7.6. | Aplicación de un círculo unidad en un polígono |
| Respuestas |
| Índice de materias |
Entre los textos recomendados para el estudio de la teoría de
funciones de variable compleja hay muchos manuales y materiales
didácticos muy completos que tienen por autores a científicos de
fama más que reconocida: A.I.Markushévich,
M.A.Lavriéntiev, B.V.Shabat, I.I.Priválov,
A.V.Bitsadze, M.A.Evgráfov, A.Hurwitz, R.Courant,
etcétera. Lamentablemente, en lo que respecta al volumen,
elección y distribución del material, la mayoría de estos libros
no están adaptados a los programas de los cursos de teoría de
funciones de variable compleja que habitualmente se imparten en
las facultades de matemáticas y física de las universidades de
Rusia y otros países de la CEI. Separar de un libro voluminoso
el material principal de modo que se forme un curso íntegro,
lógicamente acabado y ajustado al programa de estudios no es
fácil ni para un profesor con poca experiencia, ni para un
estudiante o un posgraduado.
Las razones anteriores motivaron al autor a escribir un libro que corresponda
al nivel actual de los programas universitarios del curso de teoría de
funciones de variable compleja que no esté saturado de detalles y que
contenga un gran número de problemas resueltos. En este tomo se resuelven
detalladamente casi cuatrocientos problemas de dificultad media o alta.
Muchos libros de teoría de funciones de variable compleja se caracterizan por
contener desacuerdos e imprecisiones en la terminología básica. Por ejemplo,
en distintos lugares de un mismo libro el concepto de función analítica puede
tener un sentido diferente. El autor ha tenido en cuenta este hecho;
todos los conceptos considerados en el presente libro tienen un sentido
claramente determinado.
En el comienzo de la obra se da una definición rigurosa de función (y no su descripción, como se suele hacer en la mayor parte de los manuales), se
consideran las operaciones con conjuntos y los aspectos principales de la
teoría de espacios métricos. Sin incluir este material en el libro, sería
imposible exponer las cuestiones principales al nivel matemático
que se requiere en la actualidad. Por ello, incluso
una lectura rápida de ese pequeño capítulo es muy aconsejable
para entender el resto de la obra, en donde se exponen los temas
tradicionales de la teoría de las funciones analíticas, creada en el
siglo XIX, primordialmente gracias a las obras de A.Cauchy,
B.Riemann y K.Weierstrass.
En el libro se presta mucha atención a las cuestiones prácticas relacionadas
con las transformaciones conformes.
