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Índice
Prólogo
El camino se aleja apresurado
del portón hacia la lejanía seductora...
J.R.R.Tolkien. "El Señor de los anillos" El presente libro está basado en la experiencia docente del autor. Se supone que todo el material teórico del libro debe ser afianzado mediante clases prácticas. Esto se refiere especialmente a los últimos temas, en los cuales no es posible estimar el comportamiento de los modelos utilizando métodos analíticos y se hace necesario recurrir a los experimentos computacionales. La simulación es una parte inseparable de la actividad científica. Las áreas de aplicación de la simulación son tan amplias y diversas que cualquier libro dedicado a este tema está condenado de antemano a ser incompleto y unilateral. A aquéllos que, después de leer este libro, estén interesados seriamente en la simulación matemática, se les recomienda consultar los libros citados en la bibliografía complementaria. El material contenido en el libro ha sido seleccionado teniendo en cuenta, por un lado, el mínimo obligatorio del programa de formación básica de docentes de la especialidad de informática, y, por otro, los intereses científicos del autor. Siendo, por su formación e inclinación científica, especialista en el campo de la física computacional, el autor ha limitado la variedad de problemas analizados al área de las ciencias naturales. En los libros señalados en la bibliografía complementaria se presentan ejemplos de aplicación de los métodos de la simulación computacional en la historia, la demografía y otros campos de las ciencias humanas. Introducción
?`Qué es la simulación matemática?Profesor: ?`Qué debemos tener en cuenta cuando estudiamos el movimiento de un automóvil? Estudiante: Los efectos cuánticos y relativistas.Un modelo matemático es una descripción aproximada, expresada mediante simbología matemática, de alguna clase de fenómenos del mundo exterior. La simulación matemática es un método de conocimiento, pronóstico y control. Habitualmente se distinguen los siguientes tipos de modelos matemáticos: La construcción del modelo matemático consta de varias etapas: 1. Formulación de las leyes que relacionan a los objetos principales del modelo. 2. Investigación del problema matemático. 3. Comprobación de la coherencia del modelo con la realidad. 4. Análisis del modelo y su modificación. Etapas de estudio del modelo matemático: 1. Elaboración del modelo cualitativo. En esta etapa se esclarece el carácter de las leyes y de los vínculos que tienen lugar en el sistema. Dependiendo de la naturaleza del modelo, estas leyes pueden ser físicas, químicas, biológicas, económicas, etcétera. De toda la variedad de interacciones en el sistema, es necesario destacar las principales, las determinantes. No se debe pretender que el modelo describa todo. El objetivo de la simulación es revelar los principales rasgos característicos del comportamiento del sistema, sus particularidades determinantes. En relación con esto, al construir un modelo se deben tomar en consideración solamente los efectos más fuertes. Está claro que es absurda la propuesta del estudiante de tener en cuenta los efectos relativistas y cuánticos al estudiar el movimiento de un automóvil. Estos efectos simplemente no pueden ser advertidos. Sin embargo, no siempre al construir un modelo la situación es tan evidente. 2. Elaboración del modelo matemático. En esta etapa nuestras ideas acerca de lo que sucede en el sistema adquieren una formulación matemática. La expresión matemática de los procesos estudiados puede ser un sistema de ecuaciones, una ecuación diferencial o un conjunto de reglas. Si el modelo se describe mediante ecuaciones diferenciales, entonces dicho modelo se denomina modelo diferencial. En general, si el modelo se puede describir por medio ecuaciones, se dice que dicho modelo es [modelo determinístico]determinístico. En el caso cuando el modelo se describe mediante leyes probabilísticas, se dice que el modelo es [modelo estocástico]estocástico. En lo sucesivo nos limitaremos, básicamente, a dos variantes de modelos matemáticos: los modelos diferenciales y los modelos en los cuales tienen lugar ciertas regularidades estadísticas. Es necesario tener presente que estos modelos constituyen sólo una pequeña parte de los modelos que surgen durante el estudio de los distintos fenómenos. La formulación de un modelo matemático adecuado del problema considerado incluye varias subtareas: a) Establecer los factores fundamentales. El modelo debe ser suficientemente simple y, a la vez, suficientemente preciso. Cuáles factores son fundamentales y cuáles se pueden despreciar, es un hecho que depende de las particularidades del problema analizado. Quizás lo único que se puede recomendar es que, si en el sistema actúan varios factores de un mismo orden de significación, todos ellos deben ser considerados, o bien todos ellos deben ser descartados. b) Establecer las condiciones iniciales, de contorno y adicionales. 3. Estudio del problema matemático. En esta etapa se realiza el análisis cualitativo del modelo. Se averigua su comportamiento en situaciones extremas. A menudo para estas situaciones extremas se pueden hallar soluciones analíticas (aunque sea aproximadas). Los resultados obtenidos permiten predecir el comportamiento del sistema para el caso general y se pueden utilizar también para verificar los datos obtenidos en los cálculos. 4. Elaboración del algoritmo. Suele suceder que el modelo matemático obtenido no puede ser resuelto por métodos analíticos. En tal caso se utilizan métodos numéricos, se realiza un experimento computacional. Para una serie de problemas frecuentes existen algoritmos altamente efectivos. Sin embargo, en muchos casos, partiendo de las particularidades del problema estudiado, es necesario elaborar el algoritmo desde el principio. 5. Elaboración y ejecución del programa. 6. Obtención y acumulación de los resultados. En esta etapa también tiene lugar la justificación del modelo, es decir, la confirmación de que la solución obtenida es razonable y suficientemente precisa. Para el efecto, se confrontan los resultados obtenidos con los del análisis cualitativo. Si éstos no son satisfactorios, se introducen modificaciones en el modelo. 7. Implementación de los resultados obtenidos. En la actualidad, los términos simulación matemática y simulación computacional son casi sinónimos. De hecho, la mayoría de los modelos matemáticos requiere la realización de cálculos computacionales o, como frecuentemente se dice, de [experimento computacional]experimentos computacionales. Por otra parte, cualquier cálculo es posible sólo sobre la base de un modelo matemático. Existe mucho en común entre la realización de un experimento de laboratorio y de un experimento computacional.
La simulación computacional es irremplazable en aquellos casos en los que el experimento de laboratorio no se puede realizar o se dificulta por una u otra razón. Por ejemplo, no es posible realizar un experimento de historia en laboratorio para averiguar "qué hubiera sucedido si...". Sin embargo, este experimento es completamente factible en computadora. No es posible realizar un experimento de laboratorio para comprobar la validez de una u otra teoría cosmológica, pero sí se puede llevar a cabo una simulación computacional. En principio es posible, pero no sería humano, realizar un experimento de laboratorio para estudiar la propagación de alguna epidemia como, por ejemplo, la peste. En cambio, una simulación computacional no pondría en peligro la salud de nadie. Se puede citar una gran cantidad de ejemplos similares en los más diversos campos de la ciencia. |
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