| De la editorial |
| Prefacio a la segunda edición |
| Prefacio del autor a la primera edición |
| Capítulo I. | Ecuaciones de movimiento de un sistema
de puntos materiales |
| | 1. | Sistemas libres y ligados. Ligaduras y su
clasificación |
| | 2. | Desplazamientos posibles y virtuales. Ligaduras
ideales |
| | 3. | Ecuación general de la dinámica. Ecuación de
Lagrange de primera especie |
| | 4. | Principio de los desplazamientos virtuales.
Principio de D'Alambert |
| | 5. | Sistemas holónomos. Coordenadas independientes.
Fuerzas generalizadas |
| | 6. | Ecuaciones de Lagrange de segunda especie en
coordenadas independientes |
| | 7. | Análisis de las ecuaciones de Lagrange |
| | 8. | Teorema de la variación de la energía total.
Fuerzas potenciales, giroscópicas y disipativas |
| | 9. | Analogías electromecánicas |
| | 10. | Ecuaciones de Appell para sistemas no holónomos.
Pseudocoordenadas |
| Capítulo II. | Ecuaciones de movimidnto en un campo
potencial |
| | 11. | Ecuaciones de Lagrange para fuerzas potenciales.
Potencial generalizado. Sistemas no naturales |
| | 12. | Ecuaciones canónicas de Hamilton |
| | 13. | Ecuaciones de Routh |
| | 14. | Coordenadas cíclicas |
| | 15. | Corchetes de Poisson |
| Capítulo III. Principios variacionales e invariantes
integrales |
| | 16. | Principio de Hamilton |
| | 17. | Segunda formulación del principio de Hamilton |
| | 18. | Invariante integral fundamental de la mecánica
(invariante integral de Poincaré-Cartan) |
| | 19. | Interpretación hidrodinámica del invariante integral
fundamental. Teoremas de Thomson y Helmholtz sobre
la circulación y los rotacionales |
| | 20. | Sistemas conservativos generalizados. Ecuaciones de
Whittaker. Ecuaciones de Jacobi. Principio de la
mínima acción de Maupertuis-Lagrange |
| | 21. | Movimientos por inercia. Relación con las líneas
geodésicas durante el movimiento arbitrario de un
sistema conservativo |
| | 22. | Invariante integral universal de Poincaré. Teorema
de Lee Hwa-Chung |
| | 23. | Invariancia del volumen en el espacio fásico.
Teorema de Liouville |
| Capítulo IV. | Transformaciones canónicas. Ecuación de
Hamilton-Jacobi |
| | 24. | Transformaciones canónicas |
| | 25. | Transformaciones canónicas libres |
| | 26. | Ecuación de Hamilton-Jacobi |
| | 27. | Método de la separación de variables. Ejemplos |
| | 28. | Aplicación de las transformaciones canónicas
a la teoría de las perturbaciones |
| | 29. | Estructura de las transformaciones canónicas |
| | 30. | Criterio de canonicidad de una transformación.
Corchetes de Lagrange |
| | 31. | Simplecticidad de la matriz jacobiana
de una transformación canónica |
| | 32. | Invariancia de los corchetes de Poisson respecto
a las transformaciones canónicas |
| Capítulo V. | Estabilidad del equilibrio y del movimiento
de un sistema |
| | 33. | Teorema de Lagrange sobre la estabilidad de la
posición de equilibrio |
| | 34. | Criterios de inestabilidad de una posición
de equilibrio. Teoremas de Liapunov y Chetáiev |
| | 35. | Estabilidad asintótica de la posición de equilibrio.
Sistemas disipativos |
| | 36. | Estabilidad condicional. Planteamiento general del
problema. Estabilidad del movimiento o de un proceso
arbitrario. Teorema de Liapunov |
| | 37. | Estabilidad de los sistemas lineales |
| | 38. | Estabilidad según la aproximación lineal |
| | 39. | Criterios de estabilidad asintótica para sistemas
lineales |
| Capítulo VI. | Oscilaciones pequeñas |
| | 40.Oscilaciones pequeñas de un sistema conservativo |
| | 41. | Coordenadas normales |
| | 42. | Influencia de las fuerzas periódicas externas en
las oscilaciones de un sistema conservativo |
| | 43. | Propiedades extremales de las frecuencias de
un sistema conservativo. Teorema de Rayleigh
sobre la variación de las frecuencias respecto
a la variación de la inercia y de la rigidez del
sistema. Imposición de ligaduras |
| | 44. | Oscilaciones pequeñas en sistemas elásticos |
| | 45. | Oscilaciones pequeñas de un sistema esclerónomo
bajo la acción de fuerzas no dependientes
explícitamente del tiempo |
| | 46. | Función disipativa de Rayleigh. Influencia de
fuerzas disipativas de baja intensidad en las
oscilaciones de un sistema conservativo |
| | 47. | Influencia de fuerzas exteriores dependientes
del tiempo en las oscilaciones pequeñas de
un sistema esclerónomo. Característica
de amplitudes-fases |
| Capítulo VII. Sistemas con coordenadas cíclicas |
| | 48. | Sistema reducido. Potencial de Routh. Movimientos
ocultos. Concepción de Hertz acerca del origen
cinético de la energía potencial |
| | 49. | Estabilidad de los movimientos estacionarios |
| Bibliografía |
| Índice de autores |
| Índice de materias |
Esta segunda edición se preparó después del fallecimiento del
autor y fue llevada a cabo por la cátedra de mecánica del Instituto
Físico-Técnico de Moscú, la cual estuvo dirigida a lo largo de muchos años
por F. R. Gantmájer. La mayor parte de las correcciones y del material
añadido corresponden a las indicaciones e intenciones expresadas por el autor
a sus colaboradores. Algunas de las correcciones efectuadas se realizaron con
el objetivo de hacer el texto más asequible a los estudiantes. Al preparar
esta edición, la cátedra se esforzó por conservar las características
específicas del presente curso, en el que el rigor de las deducciones de
los principales momentos de la mecánica analítica y la laconicidad del
texto se conjugan magistralmente con la extrema claridad de la exposición.
M. A. Áizerman
Prefacio del autor a la primera edición
En la literatura especializada en mecánica resulta imposible hallar
una única interpretación del término "mecánica analítica"
que goce de aceptación general. Algunos autores identifican la mecánica
analítica con la teórica (así, por ejemplo, los cursos de
reconocido prestigio de mecánica teórica de G. K. Súslov y
Ch. Vallée-Poussin fueron denominados por sus mismos autores cursos de
mecánica analítica). Otros consideran que el rasgo determinante de la
mecánica analítica es la exposición de la misma en términos de
coordenadas generalizadas. Un tercer punto de vista, del cual parte el autor
del presente libro al denominarlo "Mecánica analítica", considera
que la mecánica analítica se caracteriza tanto por el método empleado,
como por el conjunto de temas que se abarcan.
Es característico del sistema de formulación de la mecánica
analítica que como fundamento primero se tomen principios generales
(diferenciales o integrales), y que a partir de estos principios se obtengan
analíticamente las ecuaciones de movimiento más importantes. La
exposición de los principios más generales de la mecánica, la deducción
a partir de ellos de las ecuaciones diferenciales de movimiento fundamentales,
la investigación de estas mismas ecuaciones y de sus métodos de integración,
todo esto constituye el contenido principal de la mecánica analítica.
La mecánica analítica forma parte del curso de mecánica teórica en
los programas de las facultades de matemáticas, de ciencias físicas y
también en los de las escuelas de ingeniería superior y técnica. No
obstante, en estas últimas la mecánica analítica bien se halla
completamente ausente, bien se tratan sólo algunas de sus partes. Sin
embargo, la técnica moderna plantea problemas para cuya solución resulta
insuficiente conocer únicamente los fundamentos del curso de mecánica
teórica expuestos en los capítulos tradicionales de "estática",
"cinemática" y "dinámica del punto y de los sistemas". El
ingeniero investigador que desarrolle su actividad profesional en las
distintas ramas de la técnica moderna ha de dominar los métodos generales
de la mecánica analítica, los cuales suministran un aparato analítico
de aplicación universal para el análisis de sistemas complejos no sólo
mecánicos, sino también eléctricos y electromecánicos.
El presente libro no pretende abarcar por completo todo el material comprendido
en la mecánica analítica. Este libro surgió a partir del curso impartido
por el autor en el cuarto semestre del Instituto Físico-Técnico de
Moscú. Esta circunstancia determinó la elección del material y el
carácter de su exposición.
El curso de mecánica analítica constituye el fundamento sobre el cual se
apoya el estudio de ramas de la física teórica tales como la mecánica
cuántica, la teoría especial y general de la relatividad y otras. Por
este motivo, en el libro se tratan con detalle los principios variacionales y los
invariantes integrales de la mecánica, las transformaciones canónicas, la
ecuación de Hamilton-Jacobi y los sistemas con coordenadas cíclicas
(capítulos II, III, IV y VII). Siguiendo las ideas de H. Poincaré y
E. Cartan, el autor toma como fundamento de la exposición los invariantes
integrales de la mecánica, los cuales figuran en el texto no como meros
elementos decorativos de la teoría, sino como efectivos instrumentos de
trabajo.
Las aplicaciones técnicas se hallan vinculadas al estudio de los sistemas
ligados. Estos sistemas se estudian con detalle en el capítulo I. En un
parágrafo aparte de este mismo capítulo, concretamente en el dedicado a
las analogías electromecánicas, se trata sobre la posibilidad de extender
el uso de los métodos analíticos de la mecánica a los sistemas
eléctricos y electromecánicos. En los capítulos V y VI se dan diversas
aplicaciones de la mecánica analítica a la teoría de la estabilidad
de Liapunov y a la teoría de las oscilaciones. Aparte de los temas
clásicos sobre oscilaciones lineales, se exponen algunas nociones acerca
de los métodos de frecuencia modernos. Los problemas referentes a la
dinámica del sólido rígido se desarrollan en ejemplos concretos.
Este curso presupone en el lector un conocimiento de los fundamentos de la
mecánica teórica y de las matemáticas superiores. Este libro se halla
dirigido tanto a estudiantes, como a todos aquellos investigadores que
deseen profundizar sus conocimientos en mecánica.
Gantmájer Félix Ruvímovich Eminente matemático y mecánico soviético. En el año 1944 fue condecorado con la Orden de la Estrella Roja. En 1948 recibió el Premio Stalin de Primer Grado por sus investigaciones en balística exterior, profesor del Departamento de Mecánica Teórica del Instituto Físico-Técnico de Moscú desde el año 1954. Preparó el equipo docente de dicho departamento, diseñó los programas de estudio y la metodología de evaluación. Impartió cursos de análisis matemático, mecánica teórica, teoría de la estabilidad y teoría de matrices. Los científicos más sobresalientes del país consideraban un honor participar en los seminarios de investigación que el autor organizaba. Muchos profesores del departamento se consideran discípulos de Félix R. Gantmájer.
Su libro «Teoría de matrices» tuvo una resonancia especial a nivel mundial (fue editado varias veces en ruso y en inglés) y se considera un clásico en el tema.
