LIBROS EN LENGUAS EUROPEAS


 
Encuadernación Босс В. Лекции по математике: Алгоритмы, логика, вычислимость. От Диофанта до Тьюринга и Гёделя
Id: 242328
 
12.9 EUR Bestseller!

Лекции по математике: Алгоритмы, логика, вычислимость. От Диофанта до Тьюринга и Гёделя. Т.06. Изд.стереотип.

URSS. 208 pp. (Russian). Rústica. ISBN 978-5-397-06483-5.

Книга посвящена основаниям математики, проблемам вычислимости и доказуемости. Машины Тьюринга, рекурсивные функции, логика, теория моделей, неразрешимость и неаксиоматизируемость арифметики, десятая проблема Гильберта --- вот круг вопросов, рассматриваемых в данной книге. Изложение отличается краткостью и прозрачностью. Значительное внимание уделяется мотивации результатов и прикладным аспектам. Классическая проблематика в значительной мере переосмыслена и представлена в удобном для восприятия виде. Теоремы Гёделя, например, доказываются в несколько строчек.

Для студентов, преподавателей, инженеров и научных работников.


Oglavlenie
Predislovie k "Lektsiyam"
Predislovie k shestomu tomu
1Algoritmi i vichislimost'
 1.1.Universal'nie vichisleniya
 1.2.Chto takoe algoritm
 1.3.Vichislimost'
 1.4.Primeri i kommentarii
 1.5.Problema neopredelennosti
 1.6.Perechislimie mnozhestva
 1.7.Effektivnie protseduri
 1.8.Mashini T'yuringa
 1.9.O "vnutrennej kukhne"
 1.10.Rekursivnie funktsii
 1.11.Diofantovi mnozhestva
 1.12.Kommentarii i dopolneniya
2Nepolnota arifmetiki
 2.1.Teoremi Gёdelya
 2.2.Neformalizuemost' istini
 2.3.Neprotivorechivost'
 2.4.Nerazreshimie uravneniya
 2.5.Ob arifmeticheskikh istinakh
 2.6.Mozhno li pomoch' arifmetike izvne?
 2.7.Dokazatel'stvo vtoroj teoremi Gёdelya
 2.8.Lingvisticheskie paradoksi
3Universal'nie funktsii i numeratsii
 3.1.Universal'nie funktsii
 3.2.Universal'nie mnozhestva
 3.3.Izomorfizm gёdelevskikh numeratsij
 3.4.Teorema o nepodvizhnoj tochke
 3.5.Teorema Rajsa
 3.6.Numeratsii i gёdelizatsiya
4Dokazuemost'
 4.1.Konflikt s opredeleniem istini
 4.2.HSI-problema Tarskogo
 4.3.Normal'nie algoritmi Markova
 4.4.Sistemi Posta
 4.5.Problema ekvivalentnosti slov
 4.6.Tag-problemi
 4.7.Formal'nie grammatiki
 4.8.Teoriya i praktika
5Matematicheskaya logika
 5.1.V chem sostoit missiya
 5.2.Peremennie, svyazki i funktsii
 5.3.Buleva algebra
 5.4.Formuli, viskazivaniya, predikati
 5.5.Sintaksis i semantika
 5.6.Ischislenie viskazivanij
 5.7.Yaziki pervogo urovnya
 5.8.Interpretatsii i modeli
 5.9.Yazik arifmetiki
 5.10.Arifmetichnost' vichislimikh funktsij
 5.11.Zapreschennie sredstva
 5.12.Kommentarii
6Diofantov yazik i desyataya problema Gil'berta
 6.1.Diofantovi mnozhestva i funktsii
 6.2.Nerazreshimie problemi
 6.3.Universal'nij mnogochlen
 6.4.Tekhnicheskie rezul'tati
 6.5.Dopolneniya
7Konstruktivnaya matematika
 7.1.Konstruktivnie chisla
 7.2.Posledovatel'nost' Shpekkera
 7.3.Konflikt s aksiomoj vibora
 7.4.Aktual'naya beskonechnost'
 7.5.Instrument ili real'nost'
8Aksiomaticheskie teorii
 8.1.Arifmetika Peano
 8.2.Paradoks kategorichnosti
 8.3.Aksiomatika Tsermelo--Frenkelya
 8.4.Neevklidova geometriya
 8.5.Gipoteza kontinuuma
9Teoriya modelej
 9.1.Logicheskij aspekt
 9.2.Chto stoit za rezul'tatami Gentsena
 9.3.Paradoks Skolema
 9.4.Modeli bulevikh struktur
 9.5.Kak model' razrushaet skhemu
 9.6.Abstraktnie i konkretnie modeli
 9.7.V chem sostoit obschaya ideya
 9.8.Konechnie bazisi
10Stepeni nerazreshimosti
 10.1.Svodimost'
 10.2.Produktivnost' i kreativnost'
 10.3.Immunnie mnozhestva
 10.4.Vichisleniya s orakulom
 10.5.T'yuringovi stepeni
 10.6.Ierarkhiya stepenej
11Svodka opredelenij i rezul'tatov
 11.1.Algoritmi i vichislimost'
 11.2.Nepolnota arifmetiki
 11.3.Universal'nie funktsii i numeratsii
 11.4.Dokazuemost'
 11.5.Matematicheskaya logika
 11.6.Diofantov yazik i desyataya problema Gil'berta
 11.7.Konstruktivnaya matematika
 11.8.Aksiomaticheskie teorii
 11.9.Teoriya modelej
 11.10.Stepeni nerazreshimosti
Sokrascheniya i oboznacheniya
Literatura
Predmetnij ukazatel'

Predislovie k "Lektsiyam"
Otvlekayas' po doroge v banyu na poezdku v Sochi, zabivaesh' kuda idesh'.

Dlya normal'nogo izucheniya lyubogo matematicheskogo predmeta neobkhodimi, po krajnej mere, 4 ingredienta:

1) zhivoj uchitel';

2) obiknovennij podrobnij uchebnik;

3) ryadovoj zadachnik;

4) uchebnik, osvobozhdennij ot rutini, no dayuschij obschuyu kartinu, motivi, svyazi, "chto zachem".

Do chetvertogo punkta u sistemi obrazovaniya ruki ne dokhodili. Konechno, podobnaya zadacha inogda stavilas' i reshalas', no v bol'shinstve sluchaev -- pri parallel'nom ispolnenii funktsij obiknovennogo uchebnika. Aktsenti iz-za peregruzki menyalis', i namereniya so vtoroj-tret'ej glavi nachinali drejfovat', ne dostigaya rezul'tata. V virtual'nom prostranstve tak bivaet. Analog ob'edineniya ganteli s tennisnoj raketkoj perestaet reshat' obe zadachi, khotya eto ne srazu brosaetsya v glaza.

"Lektsii" stavyat 4-j punkt svoej glavnoj tsel'yu. Soputstvuyuschaya ideya -- ekonomiya slov i sredstv. Pravda, na fone deklaratsij o kratkosti i yasnosti izlozheniya predpolagaemoe izdanie okolo 20 tomov mozhet pokazat'sya tyazhelovesnim, no eto svyazano s obshirnost'yu matematiki, a ne s peregruzkoj detalyami.

Neobkhodimo skazat', na kogo rasschitano. Otvet "na vsekh" viglyadit naivno, no on v kakoj-to mere otrazhaet sut' dela. Obozrimij vid, obnazhennie konstruktsii dokazatel'stv, -- takogo sorta knigi udobno imet' pod rukoj. Ne sekret, chto spetsialisti samoj visokoj kategorii tratyat massu sil i vremeni na osvoenie matematicheskikh sektorov, lezhaschikh za ramkami sobstvennoj spetsializatsii. Zdes' zhe ko mnogim problemam predlagaetsya korotkaya doroga, pozvolyayuschaya bistro osvoit' novie oblasti i osvezhit' starie. Dlya nachinayuschikh "korotkie dorogi" tem bolee polezni, poskol'ku oblegchayut dvizhenie lyubimi drugimi putyami.

V voprose "na kogo rasschitano", -- est' i drugoj aspekt. Na sil'nikh ili slabikh? Na srednij vuz ili fiztekh? Opyat'-taki vikhodit "na vsekh". Zvuchit stranno, no rech' ne idet o reglamentatsii krugozora. Prostim yazikom, korotko i prozrachno opisivaetsya predmet. Iz etogo kazhdij izvlechet svoe i dvinetsya dal'she.

Nakonets, poslednee. V usloviyakh informatsionnogo navodneniya instrumenti vcherashnego dnya perestayut rabotat'. Ne potomu, chto izuchaemie distsiplini chereschur razroslis', a potomu, chto novikh sektorov zhizni stalo slishkom mnogo. I v etikh usloviyakh malo kto gotov udelyat' mnogo vremeni chemu-to odnomu. Poetomu uchit' vsemu -- nado kak-to inache. "Lektsii" dayut primer. Plokhoj li, khoroshij -- pokazhet vremya. No v lyubom sluchae, eto produkt novogo pokoleniya. Te zhe "kolesa", tot zhe "rul'", ta zhe matematicheskaya sut', -- no po-drugomu.


Predislovie k shestomu tomu
Fundament nuzhen ne potomu, chto v podvale zhit' khorosho.

Diapazon "ot Diofanta do T'yuringa" podrazumevaetsya smislovoj. Koroche, rech' idet o diskretnoj matematike v toj ee chasti, kotoraya kasaetsya "osnovanij". Vichislimost', dokazuemost', teoremi Gёdelya, nerazreshimie problemi, -- vot krug voprosov, opredelyayuschikh ruslo izlozheniya.

Chto kasaetsya motivatsii, to v obichnom ponimanii ee net, poskol'ku osnovaniya matematiki to i delo natikayutsya na nepreodolimie pregradi, ostavayas', kak govoritsya, pri svoikh. No chego, sobstvenno, ozhidat' na krayu? Na grani, gde vozmozhnoe perekhodit v nevozmozhnoe, zhizn' -- v smert', teorema -- v paradoks. Po suti -- ozhidat' nechego. Odnako, kak i v poiske smisla zhizni, osnovnuyu rol' zdes' igrayut pobochnie effekti.


O zagadke bestsellerov V.Bossa

Knigu V.Bossa "Intuitsiya i matematika" ya perechital tri raza! Potom esche raz, chtobi razobrat'sya, v chem delo, no skritikh pruzhin tak i ne nashel. Konechno, velikolepnij podbor miniatyur, tochnij yazik, myagkij yumor, raspolagayuschaya intonatsiya, -- no vse eto vmeste vzyatoe ne ob'yasnyaet rezul'tat dazhe napolovinu. Sin moego priyatelya -- parnyu 14 let -- viuchil "Intuitsiyu" pochti naizust'. Izmuchil roditelej voprosami, prochel goru dopolnitel'noj literaturi. Ponyatno -- osobij sluchaj, no pokazatel'nij! V tselom situatsiya, bezuslovno, myagche. Odnako otzivi vse polozhitel'nie, a protsent vostorzhennikh -- udivitelen i neob'yasnim.

"Lektsii po matematike" togo zhe avtora -- drugoe delo. Koe-kto iz moikh kolleg prinyal ikh v shtiki, poskol'ku sistema obrazovaniya, estestvenno, protivitsya novovvedeniyam. Lishnyaya golovnaya bol' dlya prepodavatelya. Tem ne menee, v rezul'tate itogovogo obsuzhdeniya -- pervie dva toma "Lektsij" prishli k nam na otziv -- V.Boss poluchil visshij bal.

Lichno mne "Lektsii" nravyatsya dazhe bol'she, chem "Intuitsiya". Yasnoe i produmannoe izlozhenie predmeta. Lakonichnoe do nepravdopodobiya, no bez uscherba dlya soderzhaniya. Vot chto po etomu povodu pishet sam avtor: "Pervaya chast' knigi -- szhatij kurs matanaliza. Chush' bolee sotni stranits, no "vse est'". Nekotorie detali, konechno, opuskayutsya, no eto ne poteri, a priobreteniya. Sbrosiv desyatok lishnikh kilogramm, chelovek viglyadit luchshe, zhivet interesnee. Tak i zdes'. Mnogie podrobnosti meshayut videt' sut'. I osvobozhdenie ot ballasta, kak ni stranno, pozvolyaet obsuzhdat' printsipial'nie voprosi, na kotorie v tolstikh uchebnikakh ne khvataet mesta".

Pervij opit pokazivaet, chto studenti -- i sil'nie, i slabie -- blagosklonno prinimayut "Lektsii". V etom esche odna udivitel'naya, khotya i ponyatnaya osobennost' izlozheniya. Korotkij i yasnij vzglyad na predmet, obsuzhdenie motivov, obschaya kartina, -- nuzhni vsem.

Nakonets, ya bi ne pisal v gazetu, esli bi rech' shla prosto o khoroshikh i dazhe ochen' khoroshikh knigakh. "Lektsii" V.Bossa, na moj vzglyad, yavlenie neordinarnoe. Delo v tom, chto informatsionnaya lavina sejchas mnogoe menyaet. V rezul'tate, slozhivshayasya sistema obrazovaniya podkhodit k kriticheskoj tochke. Konechno, kak v dome nakaplivayutsya nenuzhnie veschi, tak i v obrazovanii so vremenem ukorenyaetsya massa atavizmov. No khuzhe drugoe. To, bez chego vrode bi nel'zya obojtis', perestaet pomeschat'sya v ramki. Poetomu neobkhodimi novie podkhodi i printsipi. "Lektsii" obespechivayut proriv v etom napravlenii.

Professor MFTI A.P.Afanas'ev

Iz interv'yu s V.Bossom

-- Nel'zya li v dvukh slovakh o glavnoj osobennosti "Lektsij"?

-- Dialektika obucheniya -- vo vzaimodejstvii storon. Ponimanie -- umenie. Sut' -- detali. "Lektsii" dobivayutsya ponimaniya.

-- Kak?

-- Pravdami i nepravdami (ulibaetsya). Ochen' vazhno, naprimer, pomestit' problemu "tselikom v kadr". Chtobi vidno bilo "srazu vse".

-- Ob'yasneniyami na pal'tsakh?

-- Kogda kak, tol'ko "korotko i yasno". Uproscheniya, nedomolvki. No glavnoe -- obnazhenie suti.

-- A chto posovetuete, esli zavtra ekzamen, a v golove pusto?

-- Tabletku dimedrola.


V usloviyakh informatsionnogo navodneniya instrumenti vcherashnego dnya perestayut rabotat'. Poetomu uchit' nado kak-to inache. "Lektsii" dayut primer. Plokhoj li, khoroshij -- pokazhet vremya. No v lyubom sluchae, eto produkt novogo pokoleniya. Te zhe "kolesa", tot zhe "rul'", ta zhe matematicheskaya sut', -- no po-drugomu.

V.Boss

Chtobi usvoit' predmet, nado osvobodit' ego ot detalej, obnazhit' tsentral'nie konstruktsii, ponyat', kak do teorem mozhno bilo dodumat'sya. Eto tyazhelaya rabota, na kotoruyu ne vsegda khvataet sil i vremeni. V "Lektsiyakh" takaya rabota prodelivaetsya avtorom.

Populyarnost' knig V. Bossa sredi prepodavatelej legko ob'yasnima. Daetsya to, chego nedostaet. Obschaya kartina, motivatsiya, vzaimosvyazi. I samoe glavnoe -- legkost' vkhozhdeniya v lyubuyu temu.

Soderzhanie produmano i khorosho uvyazano. Gromozdkie dokazatel'stva uzhati do neskol'kikh strochek. Virtuoznoe vladenie yazikom. Chto kasaetsya zamisla izlozhit' vsyu matematiku v 20 tomakh, s trudom veritsya, chto eto po silam odnomu cheloveku.

Lektsii V. Bossa -- zamechatel'nie matematicheskie knigi. Kak uchebnie posobiya, oni ne vsegda otvechayut kanonam prepodavaniya, no studentam eto pochemu-to nravitsya.