Prólogo |
1 | Construcción y solución de modelos diferenciales |
| 1. | їCuál café está más caliente? |
| 2. | Flujo estacionario de calor |
| 3. | Muerte en la reserva |
| 4. | Fuga de un líquido por un orificio. Reloj de agua |
| 5. | Eficacia de la publicidad |
| 6. | Oferta y demanda |
| 7. | Reacciones químicas |
| 8. | Modelos diferenciales en ecología |
| 9. | Un problema de la teoría matemática de epidemias |
| 10. | Curva del perro (curva de persecución) |
| 11. | Modelos de operaciones militares |
| | Sistemas diferenciales tipo (A). Modelo cuadrático |
| | Sistemas diferenciales tipo (B). Modelo lineal |
| | Sistemas diferenciales tipo (C). Modelo parabólico |
| 12. | ї`Por qué los relojes de péndulo no son exactos? |
| 13. | Reloj cicloidal |
| 14. | Problema de la braquistocrona |
| 15. | Media aritmética, media geom étrica y ecuaciones diferenciales |
| 16. | Vuelo parabólico |
| 17. | Ingravidez o gravedad cero |
| 18. | Leyes de Kepler del movimiento planetario |
| 19. | Flexión de una viga |
| 20. | Transporte de madera |
2 | Métodos cualitativos de an álisis de modelos diferenciales |
| 1. | Curvas a lo largo de las cuales la direcci ón de la aguja magnética no varía |
| 2. | ї`Necesitan los ingenieros los teoremas de existencia y unicidad? |
| 3. | Interpretación dinámica de las ecuaciones diferenciales de segundo orden |
| 4. | Sistemas mecánicos conservativos |
| 5. | Estabilidad de los puntos de equilibrio y de los movimientos periódicos |
| 6. | Funciones energéticas |
| 7. | Estados simples de equilibrio |
| 8. | Movimiento en un medio con rozamiento lineal |
| 9. | Flujo adiabático en una tobera |
| 10. | Puntos de equilibrio de orden superior |
| 11. | Inversión y coordenadas homogéneas |
| 12. | Flujo de un gas ideal en un conducto rotatorio de diámetro constante |
| 13. | Trayectorias cerradas aisladas |
| 14. | Regímenes periódicos en circuitos eléctricos |
| 15. | Curvas sin contacto |
| 16. | Sistema topográfico de curvas. Curvas de contacto |
| 17. | Divergencia del campo vectorial y ciclos límites |
Apéndice |
Índice de materias |
Uno de los conceptos matemáticos más importantes es el de ecuación
diferencial. A partir de una ecuación diferencial se pueden hallar funciones
cuyas derivadas (o diferenciales) satisfacen ciertas condiciones
preestablecidas. Una ecuación diferencial obtenida como resultado de la
investigación de un fenómeno o proceso real cualquiera, se llama modelo
diferencial del fenómeno o proceso. Es claro que los modelos
diferenciales son casos particulares del conjunto de todos los modelos
matemáticos que pueden construirse al estudiar el mundo que nos rodea.
Debemos subrayar que los modelos diferenciales tienen su propia
clasificación. Nosotros examinaremos únicamente los modelos diferenciales
representados por las llamadas ecuaciones diferenciales ordinarias,
las cuales se caracterizan por el hecho de que las funciones
incógnitas presentes en ellas dependen de una sola variable.
Al construir los modelos diferenciales ordinarios (y no
sólo ellos) es de gran importancia, y a veces tiene un valor
primordial, el conocimiento de las leyes propias de la rama de
la ciencia con la cual está relacionado el problema examinado.
Por ejemplo, en la mecánica tales leyes pueden ser las leyes de
Newton; en la teoría de circuitos eléctricos, las leyes de
Kirchhoff; en la teoría de las reacciones químicas, la ley de
acción de masas; etcétera.
Por supuesto, en la práctica se suelen presentar problemas para
los que no se conocen leyes que permitan construir las
ecuaciones diferenciales que los describen. En esos casos, una
alternativa es recurrir a suposiciones (hipótesis) sobre el
comportamiento del proceso para variaciones pequeñas de los
parámetros (variables) que lo determinan. Pasando posteriormente
al límite se llega a una ecuación diferencial. Si al actuar de
esta manera los resultados obtenidos del análisis de la ecuación
diferencial concuerdan con los datos experimentales, entonces se
puede afirmar que las hipótesis hechas sobre el problema inicial
reflejan correctamente su estado real.
Al elaborar este libro, el autor se fijó dos objetivos. El
primero es mostrar mediante ejemplos tomados de diferentes
ramas de la ciencia (ejemplos con contenido y no meramente
ilustrativos) las posibilidades del empleo de las ecuaciones
diferenciales ordinarias en el estudio de la realidad que nos
rodea. Claro está, los ejemplos examinados están lejos de
abarcar todo el conjunto de preguntas que se pueden contestar
utilizando ecuaciones diferenciales ordinarias. Pero, en primer lugar,
"nadie puede abarcar lo inabarcable", y en segundo, las
situaciones analizadas aquí ya dan una idea del papel que
desempeñan las ecuaciones diferenciales ordinarias en la
resolución de problemas prácticos.
El segundo objetivo es dar a conocer al lector las técnicas y métodos más
simples de investigación de las ecuaciones diferenciales ordinarias. En
realidad, nos referimos a las técnicas y métodos propios de la teoría
cualitativa de las ecuaciones diferenciales, pues, salvo en algunos casos,
casi nunca es posible resolver un ecuación diferencial en forma cerrada,
es decir, obtener su solución en forma analítica mediante un número finito de
operaciones elementales con funciones, !`aun sabiendo que la ecuación
diferencial tiene solución! Dicho de otro modo, entre la gran variedad de
ecuaciones diferenciales muchas de ellas no poseen soluciones representables en
forma cerrada por medio de un número finito de operaciones analíticas. Esta
situación es semejante a la que se observa en la teoría de las ecuaciones con
polinomios algebraicos: las soluciones de las ecuaciones algebraicas de primer
y segundo grados se pueden obtener fácilmente en radicales; incluso las
soluciones de las ecuaciones de tercer y cuarto grados pueden ser expresadas en
radicales, pero las fórmulas ya son muy complicadas; en cuanto a las ecuaciones
algebraicas de grado mayor que cuatro, sus soluciones no se pueden, en general,
obtener en radicales.
Regresando a las ecuaciones diferenciales, subrayemos el hecho de que
el empleo de series infinitas de uno u otro tipo permiten
resolver una cantidad considerablemente mayor de ecuaciones que
los métodos analíticos. Desafortunadamente, con mucha frecuencia
las propiedades esenciales y más interesantes de las soluciones
no se pueden "sacar a la luz" cuando están representadas
mediante series de este tipo. Es más, en muchos casos, cuando se
logra resolver la ecuación diferencial en forma cerrada, la
solución resulta tan complicada que no es susceptible de
análisis.
Lo anterior evidencia la necesidad de utilizar métodos y técnicas que
permitan obtener la información necesaria sobre tales o cuales
propiedades de las soluciones sin tener que resolver las ecuaciones
diferenciales correspondientes. Pues bien, dichos métodos y técnicas
existen, ellos constituyen el contenido de la teoría cualitativa de las
ecuaciones diferenciales, en cuya base están los teoremas generales de
existencia y unicidad de las soluciones, y los teoremas sobre la
dependencia continua de las soluciones respecto a las condiciones
iniciales. En la sección "?`Necesitan los ingenieros los teoremas de
existencia y unicidad?" se habla del papel que desempeñan
los teoremas de existencia y unicidad de las soluciones. En
lo referente a la teoría cualitativa de las ecuaciones
diferenciales ordinarias en general, iniciada a finales del
siglo XIX con los trabajos de H.Poincaré y A.M.Liapunov,
hoy sigue desarrollándose intensamente, y sus métodos se usan
ampliamente en el estudio de la realidad circundante.
El autor expresa su gratitud a los profesores Iu.S.Bogdánov y
M.V.Fedoriuk por sus consejos y observaciones útiles durante la
elaboración del libro.
V.V.Amelkin