Lecciones de ecuaciones diferenciales ordinarias

Русский ES EN

+7 (499) 724-25-45

Índice

De la introducción a la quinta edición rusa
De la introducción a la primera edición rusa
I Ecuaciones diferenciales de primer orden con una función incógnita
1	Conceptos generales
	1.1.	Definiciones y ejemplos
	1.2.	Interpretación geométrica. Generalización del problema
2	Ecuaciones diferenciales elementales
	2.1.	Ecuaciones de la forma dy/dx=f(x)
	2.2.	Ecuaciones de la forma dy/dx=f(y)
	2.3.	Ecuaciones de variables separables
	2.4.	Ecuaciones homogéneas
	2.5.	Ecuaciones lineales
	2.6.	Ecuaciones diferenciales exactas
3	Teoría general
	3.1.	Líneas quebradas de Euler
	3.2.	Teorema de Arzel\`a
	3.3.	Demostración de la existencia de la solución de la ecuación diferencial y'= f(x, y) según el método de Peano
	3.4.	Teorema de unicidad de Osgood
	3.5.	Algo más sobre las líneas quebradas de Euler
	3.6.	Método de aproximaciones sucesivas
	3.7.	Principio de contracción
	3.8.	Interpretación geométrica del principio de contracción
	3.9.	Teorema de Cauchy sobre la ecuación diferencial y'=f(x,y) con segundo miembro holomorfo
	3.10.	Sobre el orden de suavidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales
	3.11.	Dependencia de la solución respecto a las condiciones iniciales y al segundo miembro de la ecuación
	3.12.	Lema de Hadamard
	3.13.	Teorema de dependencia de la solución respecto a los parámetros
	3.14.	Puntos singulares
	3.15.	Líneas singulares
	3.16.	Sobre el comportamiento global de las curvas integrales
	3.17.	Ecuaciones no resueltas respecto a la derivada
	3.18.	Envolventes
II Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
4	Teoría general
	4.1.	Reducción de cualquier sistema a un sistema de ecuaciones de primer orden
	4.2.	Interpretación geométrica. Definiciones
	4.3.	Formulación de los teoremas fundamentales
	4.4.	Principio de contracción para sistemas de ecuaciones operacionales
	4.5.	Aplicación del principio de contracción a un sistema de ecuaciones diferenciales
5	Teoría general de los sistemas lineales
	5.1.	Definiciones. Consecuencias de la teoría general de los sistemas de ecuaciones diferenciales
	5.2.	Teoremas fundamentales para los sistemas homogéneos de primer orden
	5.3.	Expresión del determinante de Wronski
	5.4.	Construcción de un sistema lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales si se conoce un sistema fundamental de soluciones
	5.5.	Consecuencias para una ecuación diferencial de n-ésimo orden
	5.6.	Reducción del orden de una ecuación diferencial lineal homogénea
	5.7.	Sobre los ceros de las soluciones de las ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden
	5.8.	Sistema de ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden
	5.9.	Consecuencia para una ecuación lineal no homogénea de n-ésimo orden
6	Sistemas lineales con coeficientes constantes
	6.1.	Transformación de un sistema lineal con coeficientes constantes
	6.2.	Teorema de reducción a la forma canónica
	6.3.	Invariantes de una transformación lineal
	6.4.	Divisores elementales
	6.5.	Búsqueda de un sistema fundamental de soluciones para un sistema de ecuaciones homogéneo
	6.6.	Búsqueda de un sistema fundamental de soluciones para una ecuación diferencial homogénea de n-ésimo orden
	6.7.	Soluciones particulares de sistemas no homogéneos
	6.8.	Reducción de la ecuación dy/dx = (ax+by)/(cx+dy) a la forma canónica
	6.9.	Estabilidad de las soluciones según Liapunov
	6.10.	Un ejemplo de la física
7	Sistemas dinámicos
	7.1.	Conceptos generales
	7.2.	Tres tipos de trayectorias
	7.3.	Comportamiento límite de las trayectorias
	7.4.	Comportamiento límite de las trayectorias en el plano
	7.5.	Función de seguimiento
	7.6.	Entorno de un punto de reposo
	7.7.	Teoría de índices
	7.8.	Teorema de Bohl–Brouwer del punto fijo
	7.9.	Aplicaciones del teorema de Bohl–Brouwer
Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden con una función incógnita
	1.	Ecuaciones casi lineales
	2.	Integrales primeras de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
	3.	Ecuaciones cuasilineales
	4.	Soluciones generalizadas de las ecuaciones lineales y cuasilineales
	5.	Ecuaciones no lineales
	6.	Ecuación de Pfaff
Índice de materias

De la introducción a la quinta edición rusa

Un enorme trabajo en la preparación de esta edición fue realizado por A.D.Myshkis. Por ejemplo, el nuevo capítulo sobre los sistemas dinámicos fue escrito por él. La sección 4 del complemento fue preparada por O.A.Oliéinik. S.A.Galpérn, E.M.Landis y A.D.Myshkis propusieron algunos nuevos problemas. Estos problemas, al igual que los incluidos en las ediciones anteriores, no son simples ejercicios. La mayoría de ellos amplían el material del libro y pueden ser propuestos en calidad de trabajos de curso.

I.Petrovski

De la introducción a la primera edición rusa

Estas lecciones fueron impartidas por mí

en la Universidad de Sarátov y (con algunas modificaciones) en la Universidad Lomonósov de Moscú. Mi intención no fue mostrar la mayor cantidad posible de métodos de integración aplicables a diferentes casos especiales de ecuaciones diferenciales, pues en ruso existen ya muchos cursos donde

estos métodos son estudiados con suficiente detalle. Tampoco traté de incluir en el curso todos los temas que forman la teoría de ecuaciones diferenciales. De toda la teoría elegí sólo unos cuantos temas, pero traté de impartirlos rigurosa e íntegramente, en la medida de lo posible, como se imparten en la actualidad la mayoría de las disciplinas matemáticas.

Deseo expresar mi agradecimiento a A.I.Barabánov, cuyas observaciones formaron la base de las secciones 1.1–3.13, así como a V.V.Stepánov, S.A.Galpérn y A.D.Myshkis, quienes revisaron mi manuscrito e hicieron una gran cantidad de valiosas sugerencias.

I.Petrovski

Sobre el autor

Iván Gueórguievich Petrovski (1901–1973)

Notable matemático y pedagogo ruso. Miembro de la Academia de Ciencias de la URSS. En 1927 se graduó en la Universidad Estatal de Moscú, en la cual también realizó estudios de posgrado (1927–1930, bajo la dirección de D. F. Egórov). Desde 1933 trabajó como profesor de esta misma universidad. En 1940 fue nombrado decano de la Facultad de Mecánica Teórica y Matemática.

En 1943 fue elegido miembro correspondiente y en 1946, miembro numerario de la Academia de Ciencias de la URSS. Entre 1949 y 1951 ocupó el cargo de Secretario de la Sección de Ciencias Físico-Matemáticas AC URSS y desde 1953 fue miembro de la Presidencia de la Academia. En 1951 fue designado rector vitalicio de la Universidad Estatal "M. V. Lomonósov" de Moscú, cargo que ocupó durante 22 años. Por sus altos méritos fue galardonado con dos Premios Estatales de la URSS y recibió el título de Héroe del Trabajo Socialista.

Los trabajos fundamentales de I. G. Petrovski están relacionados con la teoría de ecuaciones diferenciales, la teoría de probabilidades, la geometría algebraica, la topología y otras disciplinas. Sus trabajos sobre ecuaciones diferenciales sentaron las bases de la teoría general de los sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales; en ellos se clasificaron y estudiaron las clases de sistemas elípticos, hiperbólicos y parabólicos. En la teoría de probabilidades I. G. Petrovski creó nuevos métodos de investigación de los procesos estocásticos. Sus investigaciones dedicadas a la topología de las curvas algebraicas reales fueron altamente valoradas en la geometría algebraica. También son conocidos sus trabajos en el cálculo variacional (métodos directos) y la física matemática (ecuación del calor).

Paralelamente a su actividad científica, I. G. Petrovski desempeñу una intensa actividad pedagógica y administrativa. Durante los años de su rectorado en la Universidad Estatal de Moscú, numerosas personalidades del mundo científico (entre ellas, más de cien miembros de la Academia de Ciencias de la URSS) pasaron a formar parte del cuerpo de profesores de esta institución, se crearon más de 70 nuevos departamentos, varias facultades y 200 laboratorios dedicados a nuevas ramas científicas. Sus lecciones, en numerosas ocasiones editadas en ruso y traducidas a otros idiomas, se encuentran entre las principales obras de la literatura matemática mundial.

Petrovski I.G. (Académico AC URSS). Lecciones de ecuaciones diferenciales ordinarias

Resumen del libro