Dubrovin B.A., Fomenko A.T., Nóvikov S.P.

Geometría moderna:
Métodos y aplicaciones. Geometría de las superficies, grupos de transformaciones y campos T.1

Índice

Prólogo a la primera edición

Hasta no hace mucho tiempo la geometría de Riemann y los fundamentos de topología ni siquiera estaban incluidos en el programa obligatorio de las facultades de matemática. Antes sólo existían los cursos de geometría diferencial clásica de curvas y superficies (hoy en día esta situación sigue manteniéndose en algunas partes); respecto a éstos, se ha ido formando la opinión de que han pasado a ser completamente anacrónicos. Sin embargo, en la actualidad no existe un punto de vista generalmente adoptado en lo que respecta a cómo han de ser modernizados estos cursos, qué parte de la geometría moderna debe ser considerada elemento imprescindible de la formación matemática y cuán abstracto debe ser el lenguaje de su exposición.

Los primeros intentos de creación de un nuevo curso de geometría en la Facultad de Matemática y Mecánica de la Universidad de Lomonósov de Moscú (ULM) datan del año 1971. Las cuestiones referentes al contenido y al nivel de abstracción de la exposición en dicho curso fueron determinadas por motivos de necesidad; además de la teoría de curvas, en diferentes partes de la mecánica (y, en particular, en la mecánica de los medios continuos), en la teoría de relatividad y otras partes de la física, tienen un gran contenido práctico instrumentos y conceptos matemáticos como son: la teoría de tensores, la derivación covariante de los mismos, la curvatura de Riemann, las geodésicas y el cálculo de variaciones, incluyendo las leyes de conservación y el formalismo hamiltoniano, el caso especial de los tensores antisimétricos ("formas") y las operaciones sobre los mismos, las fórmulas multidimensionales de tipo Stokes y su notación invariante, etc. Muchos mecánicos de primera línea compartían la opinión de los matemáticos respecto a la conveniencia de la introducción de ciertas nociones de la teoría de variedades, de los grupos de Lie, así como la exposición de las ideas más simples de la topología intuitiva. Y todo ello a condición de que el lenguaje de la exposición de todas las partes del curso fuese extremadamente simple, no abstracto, procurando en la medida de lo posible que la terminología fuese la misma que la utilizada por los físicos. Este material fue el que constituyó el curso de partida, editado por primera vez en la ULM en forma de cuadernos de apuntes:

Nóvikov S. P. Geometría diferencial, Parte I y II, 1972, NII mejániki MGU. (En ruso).

Posteriormente, diferentes partes de este curso fueron modificadas por los autores y fueron añadidas otras nuevas. Estos complementos fueron igualmente editados en la ULM:

Nóvikov S. P., Fomenko A. T. Geometría diferencial, Parte III, 1974, NII mejániki MGU. (En ruso).

El presente libro fue escrito por los autores tras la elaboración y desarrollo de estos apuntes de geometría. A nuestro parecer, el mismo puede servir como punto de partida para una cómoda composición del curso de geometría obligatorio.

La idea de la creación de un libro de texto de este tipo y el plan mismo del libro se deben a S. P. Nóvikov. El trabajo de exposición conforme al plan trazado de las materias estudiadas en los citados cuadernos de apuntes fue efectuado por B. A. Dubrovin, lo cual constituye más de la mitad de la primera parte de este curso. El resto del material hubo de escribirse de nuevo por completo. La participación del redactor científico D. B. Fuks en la etapa de culminación del libro fue de un valor inapreciable.

El contenido de este libro sobrepasa significativamente los límites del curso obligatorio que suele impartirse a los estudiantes de universidad de segundo y tercer curso. Este resultado fue perseguido conscientemente por los autores; ya en la primera parte, se deseaba que toda una serie de secciones sirvieran, tanto a los estudiantes de licenciatura como a los de doctorado, para empezar a conocer de forma independiente los nuevos conceptos y métodos, geométricos por su naturaleza, de la teoría de los grupos de las transformaciones y de las álgebras de Lie, de la teoría de los campos y del cálculo de variaciones; especialmente aquellos que desempeñan un papel fundamental en el formalismo matemático de la física. Simultáneamente nos esforzamos seriamente en minimizar el nivel de abstracción del lenguaje de la exposición y el sistema de notaciones, para ello muchas veces fue necesario simplificar el "grado de generalidad" de los enunciados y demostraciones. Por una parte, ocurre frecuentemente que un hecho importante en algún ejemplo crucial (en el sentido de su capacidad para determinar la esencia del tema en cuestión) puede ser obtenido a partir de consideraciones elementales en el marco del análisis clásico y de la geometría, sin necesidad de utilizar ningún tipo de notaciones y conceptos "superinvariantes" ultramodernos; por otra parte, el enunciado y, especialmente, la demostración en forma general exigen una notable elevación del nivel de formalización y abstracción. En tales casos optamos por exponer la obtención (precisamente para estos ejemplos de tan extremada importancia) en el sencillo lenguaje que se necesita para lograr dicho fin, dejando pues la demostración de la afirmación general o bien fuera del marco de este libro, o bien llevándola a cabo más tarde. Para la exposición de las cuestiones geométricas relacionadas estrechamente con la física contemporánea, fue analizada la bibliografía en ciencias físicas: suele ocurrir que en los libros de teoría cuántica de campos (por ejemplo, [36] y [37]) existen extensas partes introductorias en las que se expone bastante información acerca de importantes conceptos relacionados con el cálculo de variaciones multidimensional y las representaciones más simples de los grupos de Lie en la forma en que se usa por los físicos; [38] y [39] están dedicados a la teoría de campos inherentemente geométricos; por ejemplo, en una parte sustancial de [38] se expone la geometría de Riemann en su aspecto físico, presentándose para ello bastante material, útil y concreto. Es igualmente interesante analizar libros de mecánica de los medios continuos y de la teoría del estado sólido ([40]-[42]) para hacerse una idea de algunas de las aplicaciones de los tensores, de la teoría de grupos, etc.

Al escribir este libro los autores no persiguieron la idea del "autoservicio"; en la formación matemática el estudio de la geometría es sólo una de las componentes; las cuestiones referidas al análisis matemático, a las ecuaciones diferenciales, al álgebra, a los elementos de topología general y de la teoría de la medida se exponen en otros cursos. En este libro nos limitamos a recordar algunos enunciados en los casos que consideramos necesarios.

En comparación con la primera parte, la segunda parte del libro, dedicada a la geometría y a la topología de las variedades, contiene mucho más material fuera del alcance del curso obligatorio. Se han escrito muchos libros de topología y geometría de variedades; sin embargo, la mayoría de ellos están dedicados a temas muy especiales de estas ramas de la matemática y están escritos en un lenguaje (por regla general, bastante abstracto) especialmente construido para la exposición de dichos temas y que, con todo fundamento, constituyen frecuentemente las principales fuentes de dificultad. También en esta segunda parte, siempre que fue posible, intentamos acogernos a los mismos principios: mínima abstracción de la exposición, mayor preferencia a los ejemplos más importantes que a los teoremas, independencia de la exposición de los diferentes capítulos (con objeto de que fueren más fácil de leer por separado, y, por supuesto, siempre que esto fuere permitido por la esencia misma de la cuestión). Sin embargo, debe de tenerse en cuenta la circunstancia siguiente: aunque varias cuestiones de topología (como son, por ejemplo, los nudos, los lazos, el grupo fundamental, los grupos homotópicos, los fibrados, etc.) se introducen sin especial dificultad, los intentos de utilizar seriamente los ejemplos más simples exigen inevitablemente el desarrollo de un cierto aparato del que no existe analogía alguna en la matemática clásica. A consecuencia de esto, para el lector que por primera vez estudia los elementos de la topología (incluso si tiene buen dominio del aparato de la matemática clásica), la segunda parte es de una dificultad mucho más elevada que la primera. Y contra esto no podemos hacer nada. La introducción de estos métodos en las diferentes partes de la misma matemática fue llevada a cabo intensamente a partir de los años 50. юltimamente, han surgido una serie de "embriones" de aplicación no trivial de los métodos de la topología (a veces conjuntamente con la geometría algebraica compleja) en varios problemas físicomatemáticos como son la teoría cuántica de campos concretos de naturaleza geométrica (campos de Yang-Mills y campos quirales), la teoría de los cristales líquidos y de la superfluidez, la teoría general de la relatividad, la teoría de ciertas ecuaciones diferenciales no lineales muy importantes en física (ecuación de Korteweg-de Vries, ecuación "seno de Gordon", etc.), la aplicación de la mecánica estadística al estudio de ciertas sustancias compuestas de "moléculas alargadas" (intentos de aplicación de los nudos y lazos). Desgraciadamente, no podemos exponer estas aplicaciones en el marco de este libro, pues la misma supondría acompañarlas en cada caso de una ingente información de carácter físico que nos llevaría demasiado lejos. No obstante, durante la selección del material se tuvo en cuenta cuáles son las consideraciones topológicas y los conceptos presentes en estas aplicaciones, pues se era consciente de la necesidad de tener un libro de topología que pudiese leer (si tiene un fuerte deseo) un joven físico teórico de la moderna escuela para que dicha lectura le sea de utilidad.

El desarrollo de las ideas topológicas y geométricas en los últimos 20 años requirió de una significativa complicación del aparato algebraico mezclada con una intuición geométrica multidimensional, un uso profundo del análisis funcional y de la teoría de las ecuaciones en derivadas parciales y del análisis complejo; todo esto quedó fuera de este libro, el cual aspira a la categoría de "elemental" (mucho de lo anteriormente citado no ha sido expuesto todavía en ningún libro de texto, y sólo puede ser estudiado en revistas especializadas o en monografías).

La geometría global (especialmente la teoría de las figuras convexas y sus aplicaciones) es una parte muy útil e intuitivamente comprensible de la geometría de superficies clásica en el espacio tridimensional. Igualmente, de gran interés son los problemas globales de la teoría de superficies de curvatura negativa. Al no ser especialistas en estas materias, los autores no pudieron seleccionar ejemplos lo suficientemente simples e ilustrativos como para que pudieran ser presentados en un libro elemental. Estas partes de la geometría pueden ser consultadas en los libros [4]-[6].

La tercera parte del libro está dedicada a la teoría de las homologías.

Los autores consideran que en lo que respecta al enfoque y a la elección de material, de entre los libros de topología y geometría de variedades, son los libros de Seifert y Threlfall A Textbook of Topology y Variationsrechnung im Grossen los que más se acercan a sus ideas; esto también es aplicable a libros más modernos e igualmente buenos [11], [12] y [17]. El material de estos libros y la metódica de sus autores fue usada y reelaborada activamente mientras escribíamos nuestro libro. En lo que respecta a la segunda parte, nuestro objetivo era escribir algo así como un análogo moderno al mencionado A Textbook of Topology, pero más multifacético en lo referente al contenido, y enfocado en la medida de lo posible, a la técnica de la teoría moderna de las variedades suaves, en un lenguaje más simplificado, enriquecido con nuevos materiales, y orientado a las concepciones actuales en lo referente, por una parte, al papel de los métodos topológicos y, por otra parte, al lector que por primera vez estudia un libro de topología pero que desea saber bastante respecto a la misma y en un tiempo mínimo. En la medida de lo posible en un libro de matemáticas, nos pareció racional esforzarnos (particularmente en la primera parte) en utilizar la experiencia metodológica acumulada por los físicos en lo que se refiere a cómo hacer que fenómenos matemáticos no triviales sean comprensibles mediante medios mínimos que están al alcance general (no rehusando, por supuesto, a la tradicional exposición de los textos matemáticos, en donde los teoremas y los lemas son claramente enunciados y se se presentan de forma separada respecto al desarrollo general del texto). En cualquier caso, nuestra opinión es que la comprensión debe anteceder a la formalización y a la fundamentación. Existen no pocos hechos cuyo uso en las aplicaciones no está relacionado en modo alguno con la forma en la que dichos hechos fueron demostrados (lo importante es que sean ciertos). A veces, en el proceso de análisis de los ejemplos (particularmente en las secciones más complicadas de la segunda parte) solemos exponer dichos hechos sin demostración y pasamos a utilizarlos seguidamente. Nuestra opinión es que este método está justificado. Al fin y al cabo, el lector (si lo desea) puede estudiar en otros libros la demostración detallada de cualquier hecho cuyas aplicaciones le son ya bien conocidas (para ello recomendamos el libro [26]). Asimismo, nos esforzamos en reducir la demostración de tales hechos a una serie de problemas cada uno de los cuales puede ser completamente resuelto por el lector; estos problemas aparecen en sus respectivas secciones, entre los ejercicios.

En los últimos capítulos del libro se presentan una serie de cuestiones tomadas de la bibliografía moderna sobre sistemas dinámicos, fibrados, teoría general de la relatividad, teoría de Yang-Mills y campos quirales. Las ideas aquí expuestas pertenecen a diferentes autores. Dado que este libro tiene un marcado carácter de libro de texto, no consideramos oportuno llevar a cabo una relación larga y detallada de las referencias: el lector que estudie estas cuestiones de forma más profunda las hallará a través de la bibliografía actual.

Para finalizar los autores desean expresar su profunda gratitud a sus colegas de la Facultad de Matemática y Mecánica de la ULM, cuyo valioso apoyo hizo que fuera posible tanto el trabajar en la creación de nuevos cursos geométricos como el posterior funcionamiento de los mismos. De entre todos los matemáticos de élite de nuestra facultad, esto se refiere en primer lugar al creador de la escuela soviética de topólogos P. S. Alexándrov y a los famosos geómetras P. K. Rashevski y N. V. Iefímov.

Los autores agradecen al redactor del libro D. B. Fuks el gran trabajo invertido en el perfeccionamiento del original, y a los profesores A. D. Alexándrov, A. V. Pogoriélov, Iu. F. Borísov, V. A. Topogónov y V. I. Kuzminov, los cuales, tras la lectura del original, nos hicieron bastantes e interesantes observaciones.

Los autores expresan igualmente su especial gratitud a los científicos que posibilitaron la aparición en el libro de varias secciones muy peculiares. Por ejemplo, la demostración del teorema de Liouville sobre las transformaciones conformes no aparece en la bibliografía usual y fue comunicada a los autores por V. A. Zórich. El redactor del libro D. B. Fuks indicó a los autores demostraciones más simples de varios teoremas. Los autores también expresan su agradecimiento a O. I. Bogoiavlienski, M. I. Monastirski, S. G. Guindikin, E. B. Vínberg, D. V. Alexiéevski, I. V. Gribkov y P. G. Griniévich.

Prólogo a la segunda edición

Durante la preparación de la segunda edición del libro, los autores tuvieran en cuenta los numerosos consejos, observaciones y deseos de los lectores (desde estudiantes de licenciatura y doctorado, a científicos, físicos y matemáticos de gran prestigio). La reconstrucción más significativa realizada en esta edición tuvo lugar en las secciones dedicadas a la teoría geométrica del espacio fásico y del formalismo hamiltoniano. Se presenta, además, una exposición sistemática de la generalización a infinitas dimensiones (desde el punto de vista de la teoría de campos) del formalismo hamiltoniano. Asimismo, como ejemplo de la aplicación de la teoría de los tensores antisimétricos, en la sección 18 fue introducido el denominado formalismo de integración respecto a variables anticonmutativas. Los capítulos dedicados al cálculo de variaciones multidimensional fueron mejorados desde el punto de vista metódico. El texto del comienzo de la segunda parte se ha ampliado considerablemente a fin de conducir más elementalmente al lector al concepto de variedad. Se han corregido ciertos errores en la demostración del teorema de Liouville de los sistemas completamente integrables. Se han eliminado ciertas imperfecciones y erratas, y se ha ampliado la bibliografía.

Los autores expresan su agradecimiento a Yá. B. Zeldóvich, cuyas observaciones permitieron mejorar la exposición en varias lugares durante la preparación de las ediciones inglesa y francesa del libro (evidentemente, dichas mejoras se han efectuado en la presente edición). Los autores agradecen a A. V. Pogoriélov y a Yu. G. Reshetniak la escrupulosa lectura de la nueva variante de este libro y las interesantes observaciones que nos comunicaron.