Enmemoria de Ludmila Filíppovna Zelíkina
Esta obra forma parte de una serie de libros y materiales didácticos escritos por los profesores del Departamento de Problemas Generales de la Teoría de Control de la Facultad de Mecánica y Matemática de la Universidad Estatal "M.V.Lomonósov" de Moscú. El libro fue escrito a partir de las lecciones impartidas por el autor en dicha facultad. Los principios fundamentales de la teoría de problemas extremales se exponen desde el punto de vista del formalismo canónico y el principio del máximo de Pontriaguin. Con el objetivo de facilitar la comprensión del material tratado, el autor introduce motivaciones de carácter heurístico y explica el sentido geométrico de las construcciones consideradas, haciendo de este modo honor a su divisa: "Claridad y exactitud". En esencia, el libro está formado por dos partes. En la primera parte (capítulos 1–4) se estudian el principio del máximo de Pontriaguin, el método de programación dinámica y la existencia de soluciones para los problemas de rapidez óptima. La segunda parte (capítulos 5–8) está dedicada al cálculo variacional. La clave para la comprensión de esta parte es la fórmula de variación del funcional con extremos móviles (sección 6.23), de la cual se deduce gran parte de los teoremas posteriores sobre las condiciones necesarias y suficientes de optimalidad. Ambas partes del libro se pueden leer de manera independiente. La relación entre ellas se establece en dos pasos: en la sección 6.27 y en la sección 8.44. Durante el tiempo transcurrido después de la publicación de la primera edición de este libro (1985), el autor escribió el libro [18], que parcialmente coincide con el presente libro, pero contiene una considerable cantidad de material complementario sobre las ecuaciones de Riccati y el cálculo variacional multidimensional (en particular, la relación con la geometría de las variedades de Lagrange–Grassmann y las regiones de homogeneidad clásicas de Cartan–Siegel en el espacio de varias variables complejas). En la presente edición se ha agregado una nueva demostración (más simple que la demostración tradicional) del teorema de Morse, y algunos de los últimos resultados obtenidos por el autor sobre la relación entre el hessiano de la función de Bellman y la solución de la ecuación de Riccati. Basándose en estos resultados, en la sección 8.46 se dan las condiciones necesarias y suficientes de optimalidad en términos de dos campos de extremales. Sobre la organización del material es necesario aclarar que la numeración de las secciones es continua. La numeración de las fórmulas en cada capítulo es independiente. Por ejemplo, la referencia 4.5 indica la fórmula (5) del capítulo 4. Finalmente, quiero expresar mi más profundo agradecimiento a Iu.A.Belov, L.F.Zelíkina, E.L.Presman, A.O.Riémizov y V.M.Tijomírov por sus recomendaciones y la posibilidad de discutir diferentes aspectos que sin duda contribuyeron al mejoramiento de este libro. M.I.Zelikin
Doctor en Ciencias Físico-matemáticas, Profesor de la Facultad de Mecánica y Matemática de la Universidad Estatal «M. V. Lomonósov» de Moscú. Especialista en ecuaciones diferenciales, control óptimo y teoría de juegos. Es autor de las monografías Theory of chattering control with applications to astronautics, robotics, economics, and engineering (Boston: Birkhäuser, 1994), Espacios homogénos y ecuación de Riccati en el cálculo variacional (Moscú: Factorial, 1998 (en ruso)), Control theory and optimization I. Encyclopaedia of Mathematical Sciences (Berlin: Springer, 2000. Vol. 86) y otras. |