| Introducción a la serie"Lecciones de Matemática" |
| Prólogo al tercer tomo |
| 1 | Geometría analítica |
| | 1.1. | Coordenadas y vectores |
| | 1.2. | Descripción de objetos geométricos |
| | 1.3. | Producto vectorial |
| | 1.4. | Determinantes |
| | 1.5. | Matrices y transformaciones |
| | 1.6. | Rectas y planos |
| | 1.7. | Problemas geométricos |
| | 1.8. | Curvas y superficies de segundo grado |
| 2 | Vectores y matrices |
| | 2.1. | Ejemplos de problemas lineales |
| | 2.2. | Vectores |
| | 2.3. | Reconocimiento de imágenes |
| | 2.4. | Aplicaciones lineales y matrices |
| | 2.5. | Matrices rectangulares |
| | 2.6. | Dos ejemplos |
| | 2.7. | Transformaciones elementales |
| | 2.8. | Determinantes |
| | 2.9. | Sistemas de ecuaciones |
| | 2.10. | Problemas y complementos |
| 3 | Transformaciones lineales |
| | 3.1. | Transformación de coordenadas |
| | 3.2. | Valores propios y espacios complejos |
| | 3.3. | Vectores propios |
| | 3.4. | Algunos elementos de teoría espectral |
| | 3.5. | Espacios lineales |
| | 3.6. | Operaciones con subespacios |
| | 3.7. | Problemas y complementos |
| 4 | Formas cuadráticas |
| | 4.1. | Formas cuadráticas |
| | 4.2. | Matrices y formas definidas positivas |
| | 4.3. | Inercia y signatura |
| | 4.4. | Extremo condicional |
| | 4.5. | Números singulares |
| | 4.6. | Bases biortogonales |
| | 4.7. | Espacios duales |
| | 4.8. | Transformaciones y tensores |
| | 4.9. | Problemas y complementos |
| 5 | Representaciones canónicas |
| | 5.1. | Matrices unitarias |
| | 5.2. | Triangulación de Schur |
| | 5.3. | Formas de Jordan |
| | 5.4. | Polinomio anulador |
| | 5.5. | Subespacios radicales |
| | 5.6. | Teorema de Hamilton--Cayley |
| | 5.7. | lambda-matrices |
| | 5.8. | Problemas y complementos |
| 6 | Funciones matriciales |
| | 6.1. | Series matriciales |
| | 6.2. | Norma de vectores y matrices |
| | 6.3. | Radio espectral |
| | 6.4. | Convergencia de las iteraciones |
| | 6.5. | Funciones como series |
| | 6.6. | Exponencial de una matriz |
| | 6.7. | Algoritmos finitos |
| | 6.8. | Problemas y complementos |
| 7 | Ecuaciones matriciales |
| | 7.1. | Problemas típicos |
| | 7.2. | Producto de Kronecker |
| | 7.3. | Ecuaciones |
| 8 | Inecuaciones |
| | 8.1. | Teorema de las alternativas |
| | 8.2. | Conjuntos convexos y conos |
| | 8.3. | Teoremas de intersección |
| | 8.4. | P-matrices |
| | 8.5. | Programación lineal |
| | 8.6. | Problemas y complementos |
| 9 | Matrices positivas |
| | 9.1. | Semiorden y monotonía |
| | 9.2. | Teorema de Perron |
| | 9.3. | Irreducibilidad |
| | 9.4. | Matrices con inversa positiva |
| | 9.5. | Operador de desplazamiento. Estabilidad |
| | 9.6. | Matrices imprimitivas |
| | 9.7. | Matrices estocásticas |
| | 9.8. | Cono de matrices definidas positivas |
| | 9.9. | Problemas y complementos |
| 10 | Métodos numéricos |
| | 10.1. | Objeto de estudio |
| | 10.2. | Errores de cálculo y número de condición |
| | 10.3. | Estimación superior y estimación en probabilidad |
| | 10.4. | Perturbación del espectro |
| | 10.5. | Métodos iterativos |
| | 10.6. | Cálculo de los valores propios |
| 11 | Resumen de las definiciones y resultados fundamentales |
| | 11.1. | Geometría analítica |
| | 11.2. | Vectores y matrices |
| | 11.3. | Transformaciones lineales |
| | 11.4. | Formas cuadráticas |
| | 11.5. | Representaciones canónicas |
| | 11.6. | Funciones matriciales |
| | 11.7. | Inecuaciones |
| | 11.8. | Matrices positivas |
| Abreviaturas y notaciones |
| Bibliografía |
| Índice de materias |
Introducción a la serie "Lecciones de Matemática"
Los aviones nos permiten volar, pero el
llegar al aeropuerto depende de uno mismo.
Para estudiar normalmente cualquier disciplina matemática son necesarios,
al menos, cuatro ingredientes:
[1)] un maestro con el que se pueda conversar;
[2)] un libro de texto habitual, lo suficientemente detallado;
[3)] un libro de problemas normal y corriente;
[4)] un libro de texto no sujeto a rutina, que ofrezca una
imagen general, muestre los motivos, los enlaces, nos diga para
qué es necesaria cada cosa.
El sistema educativo nunca ha llegado a ocuparse de una forma contundente del cuarto punto.
Evidentemente, este objetivo se ha perseguido más de una vez e incluso
se ha intentado lograr, solo que en la mayoría de los casos se ha pretendido
conservar simultáneamente las funciones inherentes al libro de texto.
Esta "sobrecarga" hace que el centro de atención se desplace, y que, ya desde el segundo o tercer capítulo,
las intenciones iniciales comiencen a "navegar a la deriva" sin llegar a alcanzar nunca el resultado deseado.
Tales objetivos sólo son factibles en el "mundo de las ideas";
el resultado de la integración de una raqueta de tenis con una mancuerna es un artefacto que,
aunque no salte a la vista, no prestará adecuadamente las funciones de ninguna de las dos.
La serie "Lecciones de Matemática" ha sido creada con el objetivo de satisfacer precisamente las condiciones del cuarto punto.
La idea central de esta serie es la economía de palabras y de medios.
Tras las declaraciones de brevedad y claridad, es verdad que los 20 tomos
planificados pueden causar una impresión diametralmente opuesta, pero esa
considerable cantidad se debe no al exceso de detalles, sino a la formidable extensión de la matemática.
Es necesario indicar a quién está dirigida esta serie. Decir que está
orientada a todos podría parecer ingenuo, pero en cierta medida así es.
Un libro de apariencia asequible y con demostraciones de evidente estructura:
un libro así siempre gusta tenerlo a mano.
No es un secreto que incluso los especialistas del más alto nivel han de esforzarse considerablemente para dominar los
campos de la matemática que se encuentran fuera de su propia especialidad.
Nuestra serie ofrece un camino corto que facilita tanto asimilar rápidamente nuevos temas
como refrescar los que ya se estudiaron en su día.
?`A quién está destinada esta serie: a los fuertes o a
los débiles? ?`A los centros de enseñanza habituales o a los
especializados en matemática o física? De nuevo podemos responder
que a todos. Puede parecer extraño, pero nuestro objetivo no es reglamentar
qué es lo que se debe saber. El material se describe con ayuda de un lenguaje
sencillo, de manera simple y clara, con el único fin de que cualquier persona pueda
extraer algo útil para sí misma y seguir adelante.
La gran avalancha de información que nos abruma hoy hace que los
instrumentos del ayer dejen de desempeñar su función. Por esta razón, es
necesario aprender a estudiar de una nueva forma; no porque el material
a asimilar haya aumentado demasiado, sino porque en la vida han aparecido
muchos otros temas de interés; por este motivo, casi nadie está dispuesto a dedicarle mucho tiempo a algo en particular.
La serie "Lecciones de Matemática" pretende ser un experimento en esta
dirección. El tiempo dirá si es acertado o no. De todos
modos, esta serie es un producto de nueva generación: las mismas "ruedas",
el mismo "volante", el mismo contenido matemático, pero con un aspecto
diferente.
Una casa se construye en un mes, pero se entrega
totalmente acabada al cabo de un año.
Si hay algo capaz de dar una idea clara de la matemática superior, es el álgebra lineal.
Aquí, la barrera que impone la vida cotidiana se
supera con facilidad. Y resulta que hay cosas sorprendentes que se
encuentran no en la lejanía, sino al alcance de la mano.
Por supuesto, para asimilar el material es necesaria la presencia de
determinada componente del vector de intereses vitales, así como cierta
voluntad para superar dificultades y, claro está, tiempo. Imagínese que
usted acaba de llegar a vivir a una ciudad desconocida. Un par de días
recorre las calles principales, observa el panorama desde una torre.
?`Acaso esto es suficiente para conocer la ciudad? Para conocerla es
necesario recorrerla a pie. Muchas veces, a todo su largo y ancho, cuando
llueve y cuando nieva. Independientemente del estado de ánimo. Hay que
acostumbrarse a la gente, ir de compras, viajar en el tranvía cuando sea
necesario y simplemente para pasear. Y, entonces, cuando por milésima vez
salga de su casa, usted verá de pronto una ciudad conocida.
Opiniones de los lectores de la serie
Para comprender una materia es necesario despo-jarla de los
detalles, desnudar su estructura central, comprender cómo se
llegó a la idea de uno u otro teorema. Éste es un trabajo arduo,
y no siempre se dispone de las fuerzas y el tiempo necesarios
para llevarlo a cabo. En los libros de la serie "Lecciones de
Matemática", precisamente éste es el trabajo realizado por el
autor.
La popularidad de los libros de V. Boss entre los estudiantes y
el profesorado de Rusia es fácil de explicar. En sus libros se
transmite lo que aún no
se ha llegado a asimilar, lo que no se encuentra en otros
libros: visión general, motivación e interreílación. Y lo más
importante: la facilidad con la que
se accede a cualquier tema.
El contenido de todos los libros ha sido planificado
cuidadosamente. Los temas se entrelazan con una técnica
impecable. Las demostraciones extensas han sido comprimidas
hasta obtener unas pocas líneas de razonamientos matemáticos. Es
difícil creer que una sola persona haya sido capaz de cumplir
una tarea de tal envergadura: exponer toda la matemática en tan
sólo 20 tomos de esta clase.
Las "Lecciones de Matemática" de V. Boss constituyen una
excelente y muy completa colección. Como libros de texto, no
siempre se adaptan a las normas pedagógicas tradicionales.
Posiblemente sea esto lo que tanto atrae a los lectores.
* * *
La gran avalancha de información que nos abruma hoy hace que los
instrumentos
del ayer dejen de desempeñar
su función. Por esta razón, es necesario aprender a estudiar
de una nueva forma. La serie "Lecciones de Matemática"
pretende ser un experimento
en esta dirección. El tiempo
será juez de si fue o no acertado.
De todos modos, esta serie es un producto de nueva generación:
las mismas "ruedas", el mismo "volante",
el mismo contenido matemático... pero con un aspecto diferente.
V. Boss
* * *
Libros de la serie "Lecciones de Matemática" de V. Boss publicados ya en ruso:
1. Análisis. 2. Ecuaciones diferenciales. 3. Álgebra lineal. 4.
Probabilidad. Información. Estadística.
5. Análisis funcional. 6. De Diofanto a Turing. 7. Optimización.
8. Teoría de grupos. 9. Funciones
de variable compleja. 10. Búsqueda exhaustiva y algoritmos
efectivos. 11. Ecuaciones de la física
matemática. 12. Contraejemplos y paradojas. 13. Topología. 14.
Teoría de números.
15. Operadores no lineales y puntos fijos. 16. Conjuntos, teorías, modelos
