| Prólogo |
| 1 | Material preliminar |
| | 1.1. | Espacio n-dimensional |
| | 1.2. | Funciones lineales y matrices |
| | 1.3. | Matrices rectangulares |
| | 1.4. | Formas cuadráticas |
| | 1.5. | Normas en Rn |
| | 1.6. | Funciones y espacios |
| | 1.7. | Principio de contracción |
| I Fundamentos de la teoría |
| 2 | Visión general y puntos de apoyo |
| | 2.1. | Objeto de estudio |
| | 2.2. | Ecuaciones simples. Ejemplos |
| | 2.3. | Existencia y unicidad |
| | 2.4. | Prolongación y dependencia respecto a un parámetro |
| | 2.5. | Sobre la estructura y las direcciones |
| | 2.6. | Movimiento según el gradiente |
| | 2.7. | Ecuaciones en derivadas parciales |
| | 2.8. | Sobre las ecuaciones de primer orden |
| 3 | Ecuaciones lineales |
| | 3.1. | Nociones preliminares |
| | 3.2. | Principio de superposición |
| | 3.3. | Ecuaciones con coeficientes constantes |
| | 3.4. | Sistemas de ecuaciones |
| | 3.5. | Caso de raíces iguales |
| | 3.6. | Ecuaciones no homogéneas |
| | 3.7. | Exponencial de una matriz |
| | 3.8. | Teorema de Liouville |
| | 3.9. | Sistemas no autónomos |
| | 3.10. | Sobre las funciones generalizadas |
| | 3.11. | Función de Green y problemas de contorno |
| | 3.12. | Cálculo operacional |
| 4 | Estabilidad |
| | 4.1. | Conceptos fundamentales |
| | 4.2. | Segundo método de Liapunov |
| | 4.3. | Caso no autónomo |
| | 4.4. | Ecuaciones en variaciones |
| | 4.5. | Teoremas inversos |
| | 4.6. | Estabilidad global |
| | 4.7. | Sistemas disipativos |
| | 4.8. | Problema de Routh--Hurwitz |
| | 4.9. | Sistemas lineales no autónomos |
| 5 | Oscilaciones |
| | 5.1. | Señales armónicas |
| | 5.2. | Oscilaciones forzadas |
| | 5.3. | Resonancia |
| | 5.4. | Sistemas acoplados |
| | 5.5. | Autooscilaciones |
| | 5.6. | Péndulo no lineal |
| | 5.7. | Ondas y solitones |
| 6 | Perturbaciones y bifurcaciones |
| | 6.1. | Ejemplos y advertencias |
| | 6.2. | Bifurcaciones |
| | 6.3. | Catástrofes |
| | 6.4. | Estabilidad estructural |
| | 6.5. | Paradoja de Ziegler |
| | 6.6. | Métodos de promedios |
| 7 | Atractores y caos |
| | 7.1. | Ergodicidad y mezcla |
| | 7.2. | Eliminación de contradicciones |
| | 7.3. | Procesos adiabáticos |
| | 7.4. | Atractores y fractales |
| | 7.5. | Atractor extraño de Lorenz |
| | 7.6. | Lo complejo en lo simple |
| II Complementos y aplicaciones |
| 8 | Teoría de control |
| | 8.1. | Problemas prácticos y ejemplos |
| | 8.2. | Funciones de transferencia |
| | 8.3. | Ejemplo instructivo |
| | 8.4. | Métodos de frecuencia |
| | 8.5. | Problema de compensación |
| | 8.6. | Controlabilidad |
| 9 | Mecánica teórica |
| | 9.1. | Coordenadas generalizadas y fuerzas generalizadas |
| | 9.2. | Ecuaciones de Lagrange |
| | 9.3. | Formalismo de Hamilton |
| | 9.4. | Principios variacionales |
| | 9.5. | Invariante de Poincaré--Cartan |
| | 9.6. | Culminación del cuadro |
| 10 | Métodos cónicos |
| | 10.1. | Semiorden |
| | 10.2. | Monotonía del operador de desplazamiento |
| | 10.3. | Sistemas heterótonos |
| | 10.4. | Desigualdades diferenciales |
| | 10.5. | Superhomogeneidad |
| | 10.6. | Ejemplos |
| | 10.7. | Cono matricial |
| 11 | Comportamiento colectivo |
| | 11.1. | Ejemplos fundamentales |
| | 11.2. | Modelo formal |
| | 11.3. | Sistemas con interacción acotada |
| | 11.4. | Sistemas con interacción homogénea |
| Notaciones |
| Bibliografía |
| Índice de materias |
Existentres modos de responder a una
pregunta: decir lo necesario, responder con amabilidad y decir más de lo
que se debe.
Plutarco
El tiempo cambia la situación. Los cursos tradicionales de ecuaciones
diferenciales pierden su vigencia, y no existe una solución simple de este
problema. Por una parte, es evidente que se debe ampliar el material
estudiado, de lo contrario los "árboles jóvenes" --el caos, los
atractores, los solitones, etcétera-- estarán obligados a crecer
"perforando el asfalto". Por otra parte, los cursos básicos deben ser
considerablemente reducidos, ya que para las ecuaciones diferenciales no
queda mucho tiempo en esta vida. La matemática discreta comienza a
ocuparlo todo, los problemas virtuales... Sin hablar ya de la expansión del
espacio jurídico y el sexual. En resumen, una cosa contradice a la otra y
no tenemos patrones que nos ayuden a orientarnos.
La única solución es la trivialización de la asignatura. La matemática, al
igual que las personas, a veces, se da aires de grandeza, se engalana y
crea mitos. Por esta razón, en las ecuaciones diferenciales hay muchas
cosas superfluas, rebuscadas, casuales. Es suficiente comenzar a poner las
cosas en orden para encontrar espacio libre. Después es necesario analizar
y hacer nuevos cálculos. Luego se deben eliminar los detalles de poca
importancia. Pero claro está, no del todo. En los "cimientos" hay muchas
cosas que estorban; ellas pueden y deben ser "sacadas del paréntesis".
Finalmente, es hora de recordar que el éxito se logra sólo cuando se
juega, cuando se obtiene placer. Quien aprende a hablar a la fuerza se
queda mudo para toda la vida.
Así fue escrito este tomo, que, al igual que los demás de esta serie, está
dirigido "a todos", ya que en él se exponen temas de interés general. Este
tomo no es ni simple ni complejo, pero ofrece una idea de los fundamentos
y permite, en caso de necesidad, moverse hacia adelante.
Opiniones de los lectores de la serie
Para comprender una materia es necesario despo-jarla de los
detalles, desnudar su estructura central, comprender cómo se
llegó a la idea de uno u otro teorema. Éste es un trabajo arduo,
y no siempre se dispone de las fuerzas y el tiempo necesarios
para llevarlo a cabo. En los libros de la serie "Lecciones de
Matemática", precisamente éste es el trabajo realizado por el
autor.
La popularidad de los libros de V. Boss entre los estudiantes y
el profesorado de Rusia es fácil de explicar. En sus libros se
transmite lo que aún no
se ha llegado a asimilar, lo que no se encuentra en otros
libros: visión general, motivación e interreílación. Y lo más
importante: la facilidad con la que
se accede a cualquier tema.
El contenido de todos los libros ha sido planificado
cuidadosamente. Los temas se entrelazan con una técnica
impecable. Las demostraciones extensas han sido comprimidas
hasta obtener unas pocas líneas de razonamientos matemáticos. Es
difícil creer que una sola persona haya sido capaz de cumplir
una tarea de tal envergadura: exponer toda la matemática en tan
sólo 20 tomos de esta clase.
Las "Lecciones de Matemática" de V. Boss constituyen una
excelente y muy completa colección. Como libros de texto, no
siempre se adaptan a las normas pedagógicas tradicionales.
Posiblemente sea esto lo que tanto atrae a los lectores.
* * *
La gran avalancha de información que nos abruma hoy hace que los
instrumentos
del ayer dejen de desempeñar
su función. Por esta razón, es necesario aprender a estudiar
de una nueva forma. La serie "Lecciones de Matemática"
pretende ser un experimento
en esta dirección. El tiempo
será juez de si fue o no acertado.
De todos modos, esta serie es un producto de nueva generación:
las mismas "ruedas", el mismo "volante",
el mismo contenido matemático... pero con un aspecto diferente.
V. Boss
* * *
Libros de la serie "Lecciones de Matemática" de V. Boss publicados ya en ruso:
1. Análisis. 2. Ecuaciones diferenciales. 3. Álgebra lineal. 4.
Probabilidad. Información. Estadística.
5. Análisis funcional. 6. De Diofanto a Turing. 7. Optimización.
8. Teoría de grupos. 9. Funciones
de variable compleja. 10. Búsqueda exhaustiva y algoritmos
efectivos. 11. Ecuaciones de la física
matemática. 12. Contraejemplos y paradojas. 13. Topología. 14.
Teoría de números.
15. Operadores no lineales y puntos fijos
