| Prólogo |
| 1 | Material preliminar |
| | 1.1. | Combinatoria |
| | 1.2. | Binomio de Newton |
| | 1.3. | Polinomios |
| | 1.4. | Números complejos |
| | 1.5. | Función exponencial y función logarítmica |
| | 1.6. | Conjuntos |
| I Análisis |
| 2 | Sucesiones y límites |
| | 2.1. | Conceptos preliminares |
| | 2.2. | Teorema del emparedado |
| | 2.3. | Criterio de Cauchy |
| | 2.4. | El número e y otros límites |
| | 2.5. | Lemas de Bolzano--Weierstrass y de Heine--Borel |
| | 2.6. | Límite de una función |
| | 2.7. | Continuidad |
| | 2.8. | Series numéricas |
| | 2.9. | Hipnosis y matemática |
| 3 | Derivación |
| | 3.1. | Derivada |
| | 3.2. | Reglas de derivación |
| | 3.3. | ї`Para qué son necesarias las derivadas? |
| | 3.4. | Deducción de fórmulas |
| | 3.5. | Diferenciales |
| | 3.6. | Teorema del valor medio |
| | 3.7. | Fórmula de Taylor |
| | 3.8. | Monotonía, convexidad, extremos |
| | 3.9. | Ecuaciones diferenciales |
| | 3.10. | Eliminación de indeterminaciones |
| | 3.11. | Contraejemplos |
| 4 | Funciones de n variables |
| | 4.1. | Espacio n-dimensional |
| | 4.2. | Escollos de la multidimensionalidad |
| | 4.3. | Límite y continuidad |
| | 4.4. | Límites reiterados |
| | 4.5. | Derivadas parciales y diferencial |
| | 4.6. | Diferenciales de órdenes superiores. Serie de Taylor |
| | 4.7. | Gradiente |
| | 4.8. | Teorema del valor medio |
| | 4.9. | Funciones vectoriales |
| | 4.10. | Análisis lineal |
| | 4.11. | Normas equivalentes |
| | 4.12. | Principio de contracción |
| | 4.13. | Puntos fijos de operadores discontinuos |
| | 4.14. | Diferenciabilidad de un operador |
| | 4.15. | Funciones inversas y funciones implícitas |
| | 4.16. | Optimización |
| | 4.17. | Multiplicadores de Lagrange |
| 5 | Integración |
| | 5.1. | Definiciones y cuadro general |
| | 5.2. | Especificaciones y formalismos |
| | 5.3. | Teoremas del valor medio |
| | 5.4. | Métodos de integración |
| | 5.5. | Ecuaciones diferenciales |
| | 5.6. | Integrales impropias |
| | 5.7. | Integrales dependientes de un parámetro |
| | 5.8. | Integrales dobles |
| | 5.9. | Integrales múltiples |
| | 5.10. | Problemas de mecánica |
| 6 | Series funcionales |
| | 6.1. | Convergencia uniforme |
| | 6.2. | Series de potencias |
| | 6.3. | Desarrollos ortogonales |
| | 6.4. | Series de Fourier |
| | 6.5. | Integral de Fourier |
| II Resumen y complemento |
| 7 | Elementos de análisis vectorial |
| | 7.1. | Coordenadas y orientación |
| | 7.2. | Producto vectorial |
| | 7.3. | Cinemática |
| | 7.4. | Divergencia |
| | 7.5. | Operador de Hamilton |
| | 7.6. | Circulación |
| 8 | Del número al espacio funcional |
| | 8.1. | Números reales |
| | 8.2. | La dificultad del infinito |
| | 8.3. | Caracterización de los conjuntos |
| | 8.4. | Medida de Lebesgue |
| | 8.5. | El axioma de elección |
| | 8.6. | Espacios funcionales |
| | 8.7. | El teorema de Jordan y la paradoja de Brouwer |
| 9 | Topología y puntos fijos |
| | 9.1. | La ideología del recubrimiento |
| | 9.2. | Campos vectoriales homotópicos |
| | 9.3. | Teoremas fundamentales |
| | 9.4. | Resolubilidad de ecuaciones |
| | 9.5. | Orientación |
| | 9.6. | Índices y número algebraico de ceros |
| | 9.7. | Campos impares |
| | 9.8. | Vectores propios |
| | 9.9. | Funciones inversas e implícitas |
| 10 | Funciones analíticas |
| | 10.1. | Sobre el misterio de los números complejos |
| | 10.2. | Diferenciabilidad |
| | 10.3. | Propiedades elementales |
| | 10.4. | Integrales de contorno |
| | 10.5. | Integral de Cauchy |
| | 10.6. | Regularidad |
| | 10.7. | Prolongación analítica |
| | 10.8. | Funciones multiformes |
| | 10.9. | Sobre lo que aún no hemos hablado |
| Notaciones |
| Índice de materias |
Lo difícil se le ocurre a cualquier tonto.
Mijaíl Koshkin. Constructor del legendario tanque T-34.
Para estudiar una asignatura se requieren como mínimo dos libros
de texto. Pero por alguna razón incomprensible, esto siempre se ignora, a
pesar de que parece ser lo más evidente del mundo. La espiral del estudio
de una asignatura comienza con dos espiras. En la primera el estudiante
conoce el material, y al terminarla ya ha aprendido "a mover las piezas" y
tiene una gran confusión en la cabeza. En la segunda todo adquiere un
determinado orden. Por supuesto, no siempre se llega hasta la segunda
etapa, pero si se llega ambos procesos se entrelazan estrechamente.
Lo malo es que los libros de texto de análisis matemático habituales están
orientados a la primera etapa, donde es necesario "recorrer a pie el
terreno", mientras que para la segunda son necesarios libros que aseguren
una inspección "a vista de pájaro". Las lecciones que le ofrecemos al
lector están destinadas precisamente a estas iteraciones del proceso de
enseñanza y aprendizaje. La exposición comienza formalmente desde cero,
pero se asume que ya ha sido realizado cierto trabajo preparatorio. La
primera parte del libro es un curso de análisis matemático comprimido en
poco más de cien páginas, pero ahí está todo el material que es
habitualmente impartido en los centros de enseñanza superior. Aunque
algunos detalles se omiten, esto no es una pérdida, sino una ganancia.
Cuando una persona pierde una decena de kilos de sobra, ella se ve mejor y
su vida adquiere otro sentido. Lo mismo ocurre aquí. La presencia de
muchos detalles impide ver la esencia. Por muy raro que parezca, cuando
soltamos el lastre obtenemos la oportunidad de discutir cuestiones
fundamentales, para las cuales no queda lugar en los libros de texto
gruesos. La segunda parte del libro, "no obligatoria", está formada por
estudios y complementos a manera de apuntes, cuyo objetivo es proporcionar
una idea sobre otros temas, y puede servir de base para cursos
facultativos.
Las lecciones están dirigidas "a todos". A todos los que de una u otra
manera estudian la matemática superior. Esto puede parecer extraño, pero
aquí se expone el núcleo común. De manera sencilla, breve, sin detalles
adicionales, pero analizando los motivos, las causas y las
interrelaciones. Y esto es precisamente lo que todos necesitan. Claro
está, nos referimos a la idea del curso. Sobre la ejecución debe juzgar el
lector.
En muchos aspectos el libro no es estándar, pero no tiene sentido hablar
de esto antes de leerlo. Lo único sobre lo que queremos prevenir es el uso
no tradicional de la letra de menor tamaño
para poner en claro determinados aspectos del material tratado, conservar
el balance de las partes, para reflejar los cambios de contenido,
etcétera. Dicho de otro modo, proponemos tomar el texto escrito con letra
pequeña de la misma manera que miramos un elemento del "paisaje".
Finalmente, quisiéramos señalar con agradecimiento que todo lo valioso en
estas lecciones pertenece a la comunidad matemática. Todos los errores,
naturalmente, al autor.
Opiniones de los lectores de la serie
Para comprender una materia es necesario despojarla de los detalles, desnudar
su estructura central, comprender cómo fue posible llegar a la idea de uno u
otro teorema. Éste es un trabajo arduo, y no siempre se dispone de las
fuerzas y el tiempo necesarios para llevarlo a cabo. En los libros de la
serie "Lecciones de Matematica" de V. Boss, precisamente éste es el trabajo
realizado por el autor.
La popularidad de los libros de V. Boss entre los estudiantes y el
profesorado de Rusia es fácil de explicar. En estos libros se expone lo que
aún no se ha llegado a asimilar, lo que no se encuentra en otros libros: la
visión general, la motivación, la interrelación entre diferentes temas. Y lo
más importante: se da una introducción simple a cada tema.
El contenido de los libros de esta serie ha sido planificado cuidadosamente.
Un tema se entrelaza con otro con una técnica impecable. Las demostraciones
extensas han sido comprimidas hasta obtener unas pocas líneas de
razonamientos matemáticos. Resulta difícil creer que una sola persona sea
capaz de cumplir una tarea de tal envergadura: exponer toda la matemática en
tan sólo 20 tomos de esta clase.
Las "Lecciones de Matemática" de V. Boss constituyen una maravillosa y
completa colección. Como libros de texto, no siempre se adaptan a las normas
pedagógicas tradicionales. Posiblemente sea esto lo que tanto atrae a los
lectores.
* * *
La gran avalancha de información que nos abruma hoy hace que los instrumentos
del ayer dejen de desempeñar su función. Por esta razón, es necesario
aprender a estudiar de una nueva forma. La serie "Lecciones de Matemática" de
V. Boss pretende ser un experimento en esta dirección. El tiempo será juez de
si fue o no acertado. De todos modos, esta serie es un producto de nueva
generación: las mismas "ruedas", el mismo "volante", el mismo contenido
matemático... pero con un aspecto diferente.
V. Boss
