| A nuestros lectores | 9
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| Prólogo | 11
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| Parte I Sistemas de axiomas de la geometría euclídea | 13
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| Capítulo 1. Método axiomático y estructuras matemáticas | 15
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| 1.1. Relaciones. Relaciones de equivalencia y conjunto cociente | 18
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| 1.2. Concepto de estructura matemática | 20
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| 1.2.1. Género de estructuras y sus axiomas. Isomorfismo de estructuras | 24
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| 1.2.2. Ejemplos de estructuras del género de grupo y orden | 27
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| 1.3. Concepto de modelo (interpretación) de un sistema de axiomas | 32
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| 1.3.1. Sobre una clase de estructuras de orden: los retículos | 34
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| 1.4. Consistencia, independencia y completitud de un sistema de axiomas. Ejemplos | 36
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| Capítulo 2. Sistema de axiomas de Kolmogórov | 49
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| 2.1. Axiomas de Kolmogórov | 49
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| 2.2. Consecuencias de los axiomas de la distancia | 52
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| 2.2.1. Relación «estar situado entre». Concepto de segmento | 57
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| 2.2.2. Círculos y circunferencias | 59
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| 2.2.3. Isometrías. Grupo de isometrías | 63
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| 2.3. Consecuencias de los axiomas I–III | 65
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| 2.3.1. Unicidad de los extremos de un segmento | 68
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| 2.3.2. Unicidad del punto medio de un segmento | 69
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| 2.3.3. Unicidad del centro y el radio de un círculo (circunferencia) | 70
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| 2.4. Consecuencias de los axiomas I–IV | 72
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| 2.4.1. Reflexión en una recta | 72
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| 2.4.2. Rotación | 74
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| 2.4.3. Reflexión en un punto | 76
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| 2.4.4. Congruencia de figuras e isometrías del plano | 77
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| 2.4.5. Consecuencias de los axiomas I–V | 79
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| 2.5. Método de coordenadas. Demostración de algunos teoremas de la planimetría | 80
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| 2.5.1. Transformación de sistemas de coordenadas rectangulares | 82
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| 2.5.2. Transformaciones isométricas del plano | 84
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| 2.5.3. Movimientos del plano euclídeo | 85
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| 2.5.4. Propiedades de los movimientos del plano | 86
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| 2.5.5. Otros teoremas de la geometría euclídea | 90
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| 2.5.6. Teoremas del coseno y de los senos | 91
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| Capítulo 3. Sistemas de axiomas de Weyl y de Hilbert | 94
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| 3.1. Definición axiomática del espacio euclídeo según Weyl | 94
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| 3.1.1. Axiomas de Weyl | 94
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| 3.1.2. Definición del espacio euclídeo según Weyl | 101
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| 3.1.3. Sistema de coordenadas cartesianas rectangulares | 102
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| 3.1.4. Definición del espacio afín | 104
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| 3.2. Consistencia del sistema de axiomas de Weyl del espacio euclídeo tridimensional | 106
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| 3.3. Categoricidad de la axiomática de Weyl | 108
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| 3.4. Definición de algunos conceptos geométricos en la axiomática de Weyl | 111
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| 3.5. Sistema de axiomas de Hilbert (resumen) | 122
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| Capítulo 4. Longitudes y áreas | 145
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| 4.1. Longitud de un segmento. Axiomas | 145
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| 4.2. Figuras poligonales. Área en la clase de las figuras poligonales | 150
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| 4.2.1. Definición de área | 151
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| 4.2.2. Cálculo del área de un rectángulo | 152
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| 4.2.3. Cálculo del área de un paralelogramo y un triángulo | 153
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| 4.2.4. Teorema de existencia y unicidad del área en la clase de las figuras poligonales | 155
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| 4.3. Clase de las figuras cuadrables | 160
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| 4.3.1. Definición de figura cuadrable | 160
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| 4.3.2. Definición del área en la clase de las figuras cuadrables | 162
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| Capítulo 5. Cálculos simbólicos y formalización de la geometría | 166
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| 5.1. Ejemplos de cálculos simbólicos | 168
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| 5.1.1. Ejemplo 1. Cálculo proposicional | 168
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| 5.1.2. Ejemplo 2. Cálculo de predicados. Predicados y operaciones con ellos | 176
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| 5.1.3. Ejemplo 3. Cálculo de predicados con igualdad | 184
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| 5.2. Definición de cálculo simbólico | 185
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| 5.3. Teorías elementales y no elementales | 191
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| 5.3.1. Categoricidad y completitud deductiva de una teoría | 192
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| 5.4. Teoría de conjuntos formalizada y geometría formalizada (resumen) | 194
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| 5.4.1. Teoría de conjuntos formalizada y geometría | 194
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| 5.4.2. Completitud deductiva de la teoría de la geometría euclídea | 198
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| 5.4.3. Observaciones finales | 199
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| Parte II Espacios generalizados | 203
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| Capítulo 6. Geometrías no euclídeas | 205
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| 6.1. Elementos de geometría esférica | 205
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| 6.1.1. Triángulos polares | 207
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| 6.1.2. Relaciones métricas en los triángulos de la geometría esférica | 209
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| 6.1.3. Fórmulas para el triángulo esférico rectángulo | 214
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| 6.1.4. Segundo teorema del coseno | 215
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| 6.1.5. Geometría esférica desde el punto de vista local | 216
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| 6.2. Geometría elíptica en el plano | 217
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| 6.2.1. Áreas de los triángulos en la geometría elíptica | 221
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| 6.2.2. La circunferencia | 222
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| 6.2.3. Definición del plano elíptico en el sistema de Weyl | 225
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| 6.3. Geometría de Lobachevski en el sistema de Weyl | 226
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| 6.3.1. Planimetría seudoeuclídea | 226
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| 6.3.2. Espacio seudoeuclídeo tridimensional | 236
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| 6.3.3. Geometría de Lobachevski | 242
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| 6.3.4. Fórmulas para el triángulo rectángulo | 248
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| 6.3.5. Fórmula fundamental de Lobachevski | 250
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| 6.3.6. Geometría de la esfera del espacio de Lobachevski | 251
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| 6.3.7. Geometría de Lobachevski desde el punto de vista local | 252
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| 6.3.8. Definición de la geometría de Lobachevski en el sistema de axiomas de Weyl | 254
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| Capítulo 7. Variedades diferenciables. Grupos y álgebras de Lie | 256
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| 7.1. Espacios topológicos. Variedades diferenciables | 256
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| 7.1.1. Espacios topológicos | 256
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| 7.1.2. Variedades diferenciables | 260
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| 7.1.3. Funciones diferenciables en una variedad | 262
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| 7.2. Espacio vectorial tangente en un punto de una variedad | 262
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| 7.2.1. Campos vectoriales | 268
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| 7.2.2. Campos tensoriales | 270
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| 7.3. Grupos de Lie y álgebras de Lie | 273
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| 7.3.1. Conceptos de la teoría de grupos | 273
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| 7.3.2. Producto directo de dos grupos | 276
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| 7.3.3. Grupo adjunto. Centro de un grupo | 277
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| 7.3.4. Grupos de Lie | 277
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| 7.3.5. Tres teoremas fundamentales sobre los grupos de Lie | 280
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| 7.3.6. Grupo de Lie de transformaciones | 282
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| 7.3.7. Álgebras de Lie | 286
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| 7.3.8. Derivaciones de las álgebras de Lie | 292
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| 7.3.9. Clasificación de las álgebras de Lie Er (r≤3) según las estructuras reales | 294
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| 7.3.10. Espacios homogéneos y espacios simétricos | 303
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| 7.3.11. El espacio euclídeo E 2 como espacio simétrico | 307
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| Capítulo 8. Espacios riemannianos y espacios de conexión afín | 311
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| 8.1. Objetos geométricos y geométricos diferenciales | 311
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| 8.2. Derivada de Lie. Ejemplos | 313
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| 8.3. Espacios riemannianos | 318
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| 8.3.1. Definición de espacio riemanniano | 322
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| 8.3.2. Transporte paralelo de un vector a lo largo de una curva | 326
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| 8.3.3. Espacios de Einstein | 328
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| 8.3.4. Movimientos en los espacios riemannianos | 331
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| 8.4. Espacios de conexión afín | 335
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| 8.4.1. Segunda definición de espacio de conexión afín | 337
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| 8.4.2. Tercera definición de espacio de conexión afín | 339
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| 8.4.3. Diferencial absoluta en la conexión afín | 341
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| 8.4.4. Desarrollo en el espacio afín. Líneas geodésicas | 342
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| 8.4.5. Movimientos en los espacios de conexión afín | 345
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| 8.4.6. Estructura global de los espacios de conexión afín de movilidad máxima | 348
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| 8.5. Generalizaciones. Espacios de caminos. Espacios de Finsler | 349
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| 8.5.1. Espacios de caminos generalizados | 349
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| 8.5.2. Espacios de conexión afín de elementos lineales y elementos de hiperplano | 351
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| 8.5.3. Espacios de Finsler. Últimas observaciones | 352
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| Espacios fibrados y conexiones infinitesimales | 357
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| A.1. Concepto de espacio fibrado | 359
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| A.2. Espacio fibrado principal | 361
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| A.3. Campos vectoriales fundamentales. Álgebra de Lie del grupo estructural | 362
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| A.4. Ejemplos de espacios fibrados | 363
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| A.5. Conexiones en los espacios fibrados principales | 366
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| A.6. Forma de conexión | 368
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| A.7. Levantamientos de campos vectoriales y curvas | 371
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| A.8. Fibrados tangentes y cotangentes | 372
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| Bibliografía | 384
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| Índice de autores | 386
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| Índice de materias | 388
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Iván Petróvich Iegórov 
