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Índice
Introducción
En la formación escolar, el paso de los problemas aritméticos a los algebraicos se manifiesta en el hecho de que en los problemas en lugar de datos numéricos se utilizan letras. La representación de los números mediante letras nos abstrae de los valores concretos presentes en uno u otro problema y nos enseña a resolver los problemas en forma general, es decir, para cualquier valor numérico de las magnitudes que figuran en él. En correspondencia con esto, ya en los primeros capítulos (por cierto, los más importantes) del curso escolar de álgebra se estudian las leyes de las operaciones que actúan sobre expresiones que contienen letras, o lo que es lo mismo, las leyes de las denominadas transformaciones idénticas de las expresiones algebraicas. Intentemos desde el comienzo mismo explicar este concepto. Toda expresión algebraica es un conjunto de letras unidas entre sí
por signos de operaciones algebraicas. Por ahora, para simplificar,
consideraremos sólo las operaciones de adición, sustracción y
multiplicación. El sentido de una expresión algebraica radica en lo
siguiente: si las letras que figuran en la expresión se sustituyen
por números, entonces la expresión indica qué operaciones se deben
efectuar, y en qué orden, sobre estos números; en otras palabras,
toda expresión algebraica es cierta receta escrita en forma general
para un cálculo aritmético habitual. La transformación idéntica de
una expresión algebraica significa el paso de una expresión a otra
ligada a la expresión de partida por la relación siguiente: si en
ambas expresiones damos a cada letra un valor numérico arbitrario,
con la condición de que una misma letra en ambas expresiones tome el
mismo valor, y si después de esto realizamos las operaciones
indicadas, entonces ambas expresiones proporcionan un mismo valor
numérico. Una transformación idéntica se escribe en forma de una
igualdad de dos expresiones algebraicas. Estas igualdades son válidas
para cualquier sustitución de las letras que figuran en ellas por
números. Las igualdades de este tipo se denominan, como se sabe,
identidades. Por ejemplo,
Cualquier identidad expresa cierta propiedad de las operaciones presentes en ella. Así, por ejemplo, la identidad (1) nos dice que si restamos a cualquier número este mismo número, siempre obtendremos el mismo resultado, cero. La identidad (2) indica la propiedad siguiente de las operaciones de adición y multiplicación: el producto de la suma de dos números por un tercer número es igual a la suma de los productos de cada uno de los sumandos por este tercer número. Existe un número infinito de identidades. Sin embargo, se puede establecer un número pequeño de identidades fundamentales, similares a las escritas anteriormente, de modo que toda identidad sea consecuencia de estas identidades fundamentales. Todo cálculo algebraico, es decir, toda transformación idéntica (tan complicada como se quiera) de una expresión algebraica en otra es, de este modo, una combinación de un número pequeño de transformaciones idénticas fundamentales (elementales), las cuales se exponen en el álgebra elemental bajo los nombres de reglas de desarrollo de paréntesis, reglas de los signos, etcétera. Realizando estas combinaciones de transformaciones elementales, incluso se llega a olvidar que cada letra en una expresión algebraica es sólo un símbolo, un signo, que representa cierto número: los cálculos se hacen (como suele decirse) mecánicamente, olvidando el sentido real de las transformaciones realizadas y cuidando sólo que se sigan las reglas de ejecución de éstas. Así proceden, por lo general, tanto los matemáticos experimentados como cualquier estudiante incluso principiante. No obstante, en el último caso, a veces, lamentablemente, sucede que se pierde conciencia del sentido real de las transformaciones. La realización mecánica de las operaciones algebraicas tiene otro aspecto aún más serio. En muchos casos bajo las letras que figuran en una expresión matemática se ocultan, en lugar de números, diferentes objetos de la investigación matemática: no sólo sobre números, sino también sobre otros objetos, como veremos más adelante, se pueden realizar operaciones, las cuales tienen toda una serie de propiedades fundamentales comunes con las operaciones algebraicas, por lo cual se pueden, naturalmente, denominar adición, multiplicación, etcétera. Por ejemplo, las fuerzas en la mecánica no son números, sino vectores (magnitudes que tienen, además de valor numérico, dirección). Entre tanto, las fuerzas se pueden sumar, y esta adición posee las propiedades fundamentales de la adición algebraica habitual de números. Esto conduce a que sobre las fuerzas se pueden realizar cálculos según las reglas del álgebra. De este modo, el poderío de las transformaciones algebraicas se extiende más allá de la escritura en forma general de las operaciones sobre los números: el álgebra nos enseña a realizar cálculos con cualesquiera objetos para los cuales estén definidas operaciones que satisfacen los axiomas algebraicos fundamentales. |
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