Introducción |
1 | La simulación matemática actual y los fenómenos no-lineales |
| Experimento computacional. La terna modelo-algoritmo-programa |
| Jerarquía de los modelos simplificados |
| Simulación de la dinámica de poblaciones |
| Bibliografía |
2 | Modelos matemáticos lineales |
| Preguntas y ejercicios |
| Bibliografía |
3 | Modelos no-lineales elementales |
| El péndulo matemático |
| El programa de investigación de Henri Poincaré |
| Preguntas y ejercicios |
| Bibliografía |
4 | Atractores de la ecuación x. = v(x) |
| Teoría cualitativa de la ecuación x. = v(x) |
| Teoremas de comparación |
| Problemas bien planteados y modelos de fenómenos no-lineales |
| Preguntas y ejercicios |
| Bibliografía |
5 | Elementos de la teoría de las bifurcaciones |
| Desarrollo de la teoría de las bifurcaciones |
| Preguntas y ejercicios |
| Bibliografía |
6 | Modelos matemáticos de la teoría de las catástrofes |
| Estabilidad estructural e ideas de la teoría de las catástrofes |
| Preguntas y ejercicios |
| Bibliografía |
7 | Sistemas elementales con tiempo discreto |
| Transición al caos. Escenarios de Feigenbaum |
| Elementos de la teoría de la universalidad |
| Escenario de Feigenbaum y transición al caos en diferentes sistemas no-lineales |
| Ciclos ruidosos, ventanas de periodicidad, intermitencia |
| Preguntas y ejercicios |
| Bibliografá |
8 | Autooscilaciones y ciclos límites |
| Perturbaciones singulares. "Patos". Sistemas rígidos |
| Preguntas y ejercicios |
| Bibliografía |
9 | Métodos topológicos en la investigación de los sistemas no-lineales |
| Experimento computacional, diseño molecular y métodos topológicos |
| Preguntas y ejercicios |
| Bibliografía |
10 | Redes neuronales |
| Neurociencia |
| Nociones elementales sobre el funcionamiento del cerebro |
| Modelo de Hopfield |
| El sentido del caos |
| Redes neuronales multicapas |
| Algoritmo de retropropagación |
| Preguntas y ejercicios |
| Bibliografía |
Índice de autores |
Índice de materias |
El obstáculo principal para la amplia utilización de la simulación matemática
y del experimento computacional en la ciencia, la técnica y el control, es el
déficit de especialistas calificados. La resolución de toda una serie de
problemas importantes se ve frenada no por la falta de computadoras, sino por
la insuficiencia de colectivos con un nivel de preparación adecuado.
Las exigencias impuestas a los especialistas en simulación matemática son
bastante elevadas y, al mismo tiempo, contradictorias. Por una parte, se
requiere que sean profesionales que comprendan profundamente un área de
investigación concreta y suficientemente estrecha. Por otra, estos
especialistas generalmente tienen que intervenir no como ejecutores, sino como
científicos que ven el problema como un todo y están capacitados para precisar
y, a veces, cambiar radicalmente el planteamiento del problema propuesto por
físicos, químicos o biólogos. El trabajo en el campo de la simulación
matemática presupone un estilo de pensamiento peculiar, en el cual la
profundidad y la concreción se combinan con la amplitud y la comprensión de las
ideas generales.
El éxito en la simulación matemática de la mayoría de los problemas serios se
apoya en la terna modelo--algoritmo--programa, como en las tres ballenas
mitológicas de los griegos.
Por eso, para trazar correctamente la estrategia de investigación es necesario
comprender bien el instrumental disponible y los logros fundamentales en cada
uno de los campos relacionados con el proyecto de investigación. Esto es muy
importante, pues, por ejemplo, hoy la matemática computacional interviene cada
vez con mayor frecuencia no sólo como un instrumento, sino también como una
fuente de nuevas ideas en la simulación y las ciencias naturales. En este libro
se destaca constantemente este aspecto.
El análisis de fenómenos noÍlineales constituye uno de los momento
claves en la resolución de muchos problemas importantes, desde el
perfeccionamiento de las tecnologías químicas y los problemas de la
fusión termonuclear controlada, hasta los problemas actuales de la
teoría cuántica de campos y la creación de nuevas generaciones de
computadoras. En el vasto campo llamado actualmente ciencia
noÍlineal o dinámica noÍlineal han surgido sus propios
enfoques originales, ideas y métodos nuevos. El objetivo de este
libro es presentar esta disciplina a los estudiantes de los cursos
superiores, de postgrado y a los especialistas interesados.
En los años 70 del siglo XX comenzó, y aún continúa, una revolución científica
relacionada con el surgimiento de una nueva tecnología de investigación
científica: el experimento computacional. El experimento computacional
debe ser visto como un peldaño nuevo en el desarrollo de la simulación
matemática, la cual ya ha penetrado en la mayoría de los campos de la ciencia.
El aporte principal del experimento computacional --la posibilidad
de analizar los fenómenos noÍlineales de la física, la química, la
biología, la sociología, etcétera-- condujo al nacimiento de nuevas
ideas, teorías y métodos, y al desarrollo de los enfoques
interdisciplinarios. Esto, a su vez, ayudó a formular nuevos
conceptos y descubrir fenómenos naturales maravillosos. Por lo visto,
lo más admirable en el campo de la simulación consiste en que un
número pequeño de modelos matemáticos relativamente simples
proporciona la llave para la comprensión e investigación de una
cantidad enorme de fenómenos diferentes. A tales modelos, denominados
frecuentemente modelos básicos, así como a las concepciones
nacidas durante su análisis, está dedicado este libro.
En la base del libro yace el material de las clases desarrolladas durante
varios años en el Departamento de Métodos Numéricos de la Facultad de
Matemática Computacional y Cibernética de la Universidad Estatal de Moscú
"M.V.Lomonósov" (MGU) y en el Instituto Físico-técnico de Moscú (MFTI). La experiencia del trabajo con los estudiantes de postgrado y de cursos superiores
ha mostrado que muchos de ellos tienen lagunas considerables en su formación
profesional. Aun habiendo comprendido algunas cuestiones particulares y
aprobado un conjunto de cursos generales y especiales, no tienen una noción muy
clara del campo en el que se han de desempeñar, ni de las relaciones entre los
modelos, algoritmos y problemas actuales. Tras el formalismo y los problemas
concretos, a veces no logran ver las ideas y el contexto donde dichos problemas
tienen sentido. Esto dificulta la lectura de la literatura científica original
y, en ocasiones, no permite por mucho tiempo dar inicio a las investigaciones
independientes.
Consideraré que he alcanzado mi objetivo si durante el trabajo
con este libro los estudiantes de pregrado y postgrado logran
eliminar las lagunas aunque sea parcialmente, o al menos toman
conciencia de la existencia de éstas.
El estilo del libro está en gran parte determinado por mi
experiencia docente. Algunas preguntas que por lo general los
estudiantes comprenden rápidamente, se exponen en compendio. Se repasa una serie de resultados de la física matemática, la matemática
computacional y la teoría de sistemas dinámicos, analizados en cursos
anteriores, y sin los cuales es imposible el estudio de los fenómenos
noÍlineales. Al mismo tiempo se analizan detalladamente algunos
problemas importantes que no están suficientemente ilustrados o no se
tratan en los textos de estudio.
El libro contiene muchos ejemplos e ilustraciones. Donde ha sido posible, se ha
prestado especial atención a las ideas claves y modelos concretos, para cuyo
estudio se crearon unos u otros instrumentos. En muchos casos hubo que
sacrificar generalización, rigor y detalles técnicos en favor de la claridad.
El libro está destinado a los lectores interesados y activos. Por consiguiente,
en cada capítulo se proponen varias fuentes bibliográficas, que van desde los
textos de estudio estándares hasta monografías, resúmenes y artículos
originales, los cuales ayudarán a conocer más profundamente el problema
analizado. La bibliografía no pretende ser completa, se dan las fuentes más simples y accesibles. Para comodidad de los
lectores la bibliografía va acompañada de comentarios que muestran qué se puede
hallar y dónde.
Es muy importante que el lector no sólo sepa mucho, sino que también
sea capaz de resolver problemas elementales relacionados con el
análisis de los fenómenos noÍlineales. Por eso, en el libro se
propone cerca de una centena de problemas utilizados en las clases.
El volumen del libro corresponde aproximadamente a un curso
introductorio semestral acompañado de seminarios, dirigido a
estudiantes de cursos superiores de matemática pura, matemática
aplicada y física. Estos estudiantes ya han pasado los cursos de
análisis matemático, álgebra lineal, física matemática, métodos
numéricos y física teórica. Sin embargo, por el curso de simulación
de fenómenos noÍlineales también se interesan los químicos, biólogos
e ingenieros, quienes no poseen una preparación matemática tan
sólida. Sus intereses, en cierta medida, también han sido
considerados. En el libro se enfatizan ciertos resultados
fundamentales del curso de matemática, en los cuales se apoya la
exposición.
Solamente resta decir que el material propuesto refleja una pequeña
parte de la ciencia noÍlineal, relacionada estrechamente con el
experimento computacional, y representa apenas un fragmento de un
campo vasto de investigaciones. La elección del material está
determinada, en parte, por las pasiones subjetivas del autor.
El desarrollo de la ciencia del siglo XX mostró la necesidad de
la construcción de muchos modelos distintos para la descripción
de un mismo fenómeno u objeto, la necesidad de elaborar cuadros
alternativos de la realidad. Nosotros estamos obligados a vivir
no en un mundo de leyes absolutas, verdades en última instancia
y concepciones universales. Por eso, los investigadores deben
tratar con modelos y enfoques que fijan una cosa e ignoran
muchas otras. Nosotros debemos jugar a crear mundos en los
cuales se toma muy poco de nuestro "presente" complejo y
confuso.
La avalancha de información provocada por las computadoras nos ha
obligado a reflexionar sobre cómo entenderla, aceptarla, ordenarla y
utilizarla. ?`Cómo disponer racionalmente de las posibilidades que se
presentan ante nosotros y separar lo más interesante de lo simplemente interesante? La solución resultó paradójica: la salida
consiste en elaborar enfoques interdisciplinarios, en crear nuevos
mundos. El establecimiento y desarrollo de la cibernética, la
sinergética y la dinámica noÍlineal, mostraron que esto no sólo es
posible, sino interesante hasta cautivar. ?`Acaso no es asombroso que
en las revistas de ciencia "noÍlineal" se puedan leer
simultáneamente artículos de matemáticos, geógrafos, psicólogos y
físicos? Ellos están asimilando el nuevo lenguaje noÍlineal
escondido detrás de los problemas sueltos, las ecuaciones y los
campos de investigación. Surge una especie de filosofía naturalista
de la era computacional. Éste es un juego donde las apuestas son
elevadas. En este juego es posible que se aclare cuál es el sentido
que los investigadores atribuirán al verbo "comprender".
Considero un deber placentero expresar mi reconocimiento a mis
maestros S.P.Kurdiúmov y
A.A.Samarski, así como a mis colegas y
estudiantes, quienes en gran parte determinaron el tipo de
material y el estilo de la exposición. Estoy muy agradecido a V.G.Komarova por su gran ayuda en la preparación del
manuscrito.
Gueorgui Guenádievich
Malinietski
Doctor en ciencias físico-matemáticas. En la actualidad, el autor es uno de
los especialistas más importantes a nivel mundial en el campo de la dinámica
no-lineal; ha publicado más de 250 trabajos científicos y varios libros
(editados en ruso, espaéol e inglés), entre los cuales cabe destacar:
"Estructuras disipativas no-estacionarias y caos difusivo", "Fundamentos
matemáticos de la sinergética. Caos, estructuras y simulación por ordenador",
"Sinergética y pronós-ticos del futuro" y "Control de riesgos".
Sus trabajos más conocidos están relacionados con la teoría del caos
difusivo, simulación de sistemas de educación, y proyectos de investigación
relacionados con la creación de la "historia teórica".
Actualmente es vicedirector del Instituto de Matemática Aplicada "M. V.
Kéldysh" de la Academia de Ciencias de Rusia, profesor del Instituto de
Física Técnica de MoscÁ, creador y director de la especialización "Procesos
no-lineales" en este instituto. En los Áltimos aéos se dedica al pronóstico
de calamidades y catástrofes, así como al estudio de los fenómenos de crisis,
basándose en los métodos de la dinámica no-lineal, y de la teoría de cauces y
comodines.