Prólogo a la serie "Lecciones de Matematica" |
Prólogo al septimo tomo |
Capitulo 1. | Puntos cròticos y campos de gradiente |
| 1.1. | Extremo no condicionado |
| | Teorema del valor medio |
| 1.2. | Condiciones suficientes |
| 1.3. | Campos de gradiente |
| 1.4. | Evitando las bifurcaciones |
| 1.5. | Оptimo global |
| 1.6. | Deformación de los sistemas de gradiente |
| 1.7. | Topologòa del campo de gradiente |
| | Rotación de un campo vectorial |
| 1.8. | Comentarios y complementos |
Capitulo 2. | Minimización condicionada |
| 2.1. | Extremo condicionado |
| 2.2. | Caso general |
| 2.3. | Programación no lineal |
| 2.4. | Existencia del extremo |
| 2.5. | Condiciones suficientes |
| 2.6. | Interpretación de los multiplicadores de Lagrange |
| 2.7. | Problemas "duales" |
| 2.8. | Principio de LeChatelier--Samuelson |
| 2.9. | Funciones de penalización |
| 2.10. | Coordenadas generalizadas en la mecanica |
| | Coordenadas generalizadas y fuerzas |
| 2.11. | Ejemplos |
Capitulo 3. | Analisis convexo |
| 3.1. | Vectores y matrices |
| 3.2. | Conjuntos convexos y conos |
| | Conjuntos afines |
| | Separación de conjuntos convexos |
| | Conos |
| | Politopos |
| | Tecnica de los conos |
| 3.3. | Funciones convexas |
| 3.4. | Subgradiente y subdiferencial |
| 3.5. | Funciones conjugadas |
| 3.6. | Teorema de Helly |
Capitulo 4. | Programación convexa |
| 4.1. | Teorema de Kuhn--Tucker |
| 4.2. | Dualidad |
| 4.3. | Teorema del minimax |
| 4.4. | Resolubilidad de inecuaciones |
| 4.5. | Programación lineal |
| | Modelo lineal de producción |
| | Problema de la dieta |
| | Problema de transporte |
| 4.6. | Interpretación geometrica |
| 4.7. | Dualidad de los problemas lineales |
| | Restricciones activas y pasivas |
| 4.8. | Interpretación económica |
| 4.9. | Problema de transporte |
| 4.10. | Flujo maximo en una red |
| 4.11. | Algoritmo sòmplex y algoritmo de Jachiyan |
| 4.12. | Programación cuadratica |
Capitulo 5. | Teoròa de juegos |
| 5.1. | Estrategias mixtas |
| | La "ruleta rusa" |
| | "Situación de juego" tòpica en la economòa |
| 5.2. | Equilibrio de Nash |
| | Dilema del prisionero |
| 5.3. | Sòntesis de metajuegos |
| 5.4. | ýptimo de Pareto |
Capitulo 6. | Bifurcaciones y catastrofes |
| 6.1. | Variaciones a saltos |
| 6.2. | Colas y chorros |
| 6.3. | Lema de Morse |
| 6.4. | Equivalencia de las singularidades |
| 6.5. | Estabilidad estructural y transversalidad |
| 6.6. | Familias estructuralmente estables |
| 6.7. | Especulaciones y aplicaciones |
| 6.8. | Complemento |
Capitulo 7. | Calculo variacional |
| 7.1. | Problemas clasicos |
| | Problema de la braquistocrona |
| | El hilo pesado |
| 7.2. | Ecuación de Euler |
| | Gradiente de un funcional |
| 7.3. | Ventajas de la teoròa ingenua |
| 7.4. | Condiciones de segundo orden |
| 7.5. | Condiciones suficientes |
| 7.6. | Extremos libres y transversalidad |
| 7.7. | Problemas isoperimetricos |
| 7.8. | Extremo condicionado |
| 7.9. | Formalismo de Hamilton |
| 7.10. | Reducibilidad mutua de los problemas |
| 7.11. | Problema de existencia |
| | Ejemplo de Hilbert |
| | Ejemplo de Weierstrass |
Capitulo 8. | Problemas de control óptimo |
| 8.1. | Estandares aceptados |
| 8.2. | Principio del maximo |
| 8.3. | Sistemas lineales |
| 8.4. | Sistemas con tiempo discreto |
| 8.5. | Programación dinamica |
| 8.6. | Procesos multipasos |
| 8.7. | Caminos cròticos y diagramas de red |
Capitulo 9. | Optimización no suave |
| 9.1. | Aspectos "humanòsticos" |
| 9.2. | Subdiferencial de Clarke |
| 9.3. | Barrera de diferenciabilidad |
Capitulo 10. | Me todos numericos |
| 10.1. | Algoritmos de gradiente |
| 10.2. | El precio de la comodidad |
| 10.3. | Metodo de Newton--Kantoróvich |
| 10.4. | Metodo de gradientes conjugados |
| 10.5. | ?`Por que es difòcil fabricar automóviles de alta calidad? |
Capitulo 11. | Problemas de grandes dimensiones |
| 11.1. | Optimización y agregación |
| | Agregación asintótica |
| 11.2. | Concordancia de los problemas |
| | Descripción agregada |
| 11.3. | Potenciales termodinamicos |
| | Recurso basico |
| 11.4. | Reacción ante acciones exteriores |
| 11.5. | Optimización e indeterminación |
| | Principio de maxima indeterminación |
Capitulo 12. | Resumen de las definiciones y resultados fundamentales |
| 12.1. | Puntos cròticos y campos de gradiente |
| 12.2. | Minimización condicionada |
| 12.3. | Analisis convexo |
| 12.4. | Programación convexa |
| 12.5. | Teoròa de juegos |
| 12.6. | Bifurcaciones y catastrofes |
| 12.7. | Calculo variacional |
| 12.8. | Problemas de control óptimo |
| 12.9. | Optimización no suave |
| 12.10. | Metodos de gradiente |
| 12.11. | Problemas de grandes dimensiones |
Abreviaciones y notaciones |
Bibliografòa |
Indice de materias |
Prólogo a la serie "Lecciones de Matematica"
Cuando el hombre no comprende un problema,
comienza a escribir fórmulas.
Niels Bohr
Para estudiar normalmente cualquier disciplina matematica son necesarios,
al menos, cuatro ingredientes:
1) un maestro con el que se pueda conversar;
2) un libro de texto habitual, lo suficientemente detallado;
3) un libro de problemas normal y corriente;
4) un libro de texto no sujeto a rutina, que ofrezca una
imagen general, muestre los motivos, los enlaces, nos diga para
que es necesaria cada.
El sistema educativo nunca ha llegado a ocuparse de una forma contundente del cuarto punto.
Evidentemente, este objetivo se ha perseguido mas de una vez e incluso
se ha intentado lograr, solo que en la mayoròa de los casos se ha pretendido
conservar simultaneamente las funciones inherentes al libro de texto.
Esta "sobrecarga" hace que el centro de atención se desplace, y que, ya desde el segundo o tercer capòtulo,
las intenciones iniciales comiencen a "navegar a la deriva" sin llegar a alcanzar nunca el resultado deseado.
Tales objetivos sólo son factibles en el "mundo de las ideas";
el resultado de la integración de una raqueta de tenis con una mancuerna es un artefacto que,
aunque no salte a la vista, no prestara adecuadamente las funciones de ninguna de las dos.
La serie "Lecciones de Matematica" ha sido creada con el objetivo de satisfacer precisamente las condiciones del cuarto punto.
La idea central de esta serie es la economòa de palabras y de medios.
Tras las declaraciones de brevedad y claridad, es verdad que los 20 tomos
planificados pueden causar una impresión diametralmente opuesta, pero esa
considerable cantidad se debe no al exceso de detalles, sino a la formidable extensión de la matematica.
Es necesario indicar a quien esta dirigida esta serie. Decir que esta
orientada a todos podròa parecer ingenuo, pero en cierta medida asò es.
Un libro de apariencia asequible y con demostraciones de evidente estructura:
un libro asò siempre gusta tenerlo a mano.
No es un secreto que incluso los especialistas del mas alto nivel han de esforzarse considerablemente para dominar los
campos de la matematica que se encuentran fuera de su propia especialidad.
Nuestra serie ofrece un camino corto que facilita tanto asimilar rapidamente nuevos temas
como refrescar los que ya se estudiaron en su dòa.
?`A quien esta destinada esta serie: a los fuertes o a
los debiles? ?`A los centros de ensenanza habituales o a los
especializados en matematica o fòsica? De nuevo podemos responder
que a todos. Puede parecer extrano, pero nuestro objetivo no es reglamentar
que es lo que se debe saber. El material se describe con ayuda de un lenguaje
sencillo, de manera simple y clara, con el ônico fin de que cualquier persona pueda
extraer algo ôtil para sò misma y seguir adelante.
La gran avalancha de información que nos abruma hoy hace que los
instrumentos del ayer dejen de desempenar su función. Por esta razón, es
necesario aprender a estudiar de una nueva forma; no porque el material
a asimilar haya aumentado demasiado, sino porque en la vida han aparecido
muchos otros temas de interes; por este motivo, casi nadie esta dispuesto a dedicarle mucho tiempo a algo en particular.
La serie "Lecciones de Matematica" pretende ser un experimento en esta
dirección. El tiempo dira si es acertado o no. De todos
modos, esta serie es un producto de nueva generación: las mismas "ruedas",
el mismo "volante", el mismo contenido matematico, pero con un aspecto
diferente.
Una vida vivida bajo el pretexto de la optimización
compensa la falta de comprensión de la esencia.
Los problemas continuos de extremo ya han sido bien investigados.
Los "brillantes" que yacòan cerca de la superficie ya han sido encontrados.
Sin embargo, la teoròa de optimización conserva su atractivo debido a que
la optimización muy a menudo es el ônico metodo capaz de dar a un problema
una forma razonable.
En lo que se refiere a la literatura sobre esta rama de la matematica, la
situación se hace cada vez peor. Cuanto mas altos son los estandares de una
teoròa, tanto mas incomprensibles son los libros dedicados a ella. En los
libros de texto se nota la falta de la inspiración y el
entusiasmo presentes en la etapa de surgimiento de las ideas, cuando sin
mucho esfuerzo se obtienen resultados importantes e interesantes. Este tomo
tiene el objetivo de compensar la falta de libros simples y claros
dedicados a la teoròa de optimización.