Стояновский А.В. Введение в математические принципы квантовой теории поля Изд. стереотип.

Oglavlenie

Vvedenie

Nastoyaschaya kniga voznikla pri popitke ponyat' osnovnie printsipi kvantovoj teorii polya, predprinyatoj matematikom, tochnee spetsialistom po matematicheskoj fizike. Ne sekret, chto kvantovaya teoriya polya yavlyaetsya dlya mnogikh matematikov "kitajskoj gramotoj". V to zhe vremya, na nash vzglyad, nazrela printsipial'naya neobkhodimost' vklyuchit' kvantovuyu teoriyu polya v matematicheskuyu fiziku. Eto neobkhodimo po neskol'kim prichinam. Glavnaya iz nikh – to, chto kvantovaya teoriya polya otvechaet na estestvennie naturfilosofskie voprosi, kotorimi mozhet zadat'sya matematik: mozhno li delit' materiyu do beskonechnosti? Kak obobschit' daleko razrabotannij i bogatij prekrasnimi rezul'tatami apparat linejnoj matematicheskoj fiziki na mnogomernie variatsionnie zadachi? Inimi slovami, kak matematicheski modelirovat' sredu, v kotoroj vozbuzhdeniya rasprostranyayutsya vo vse storoni ne po krivim, a po (mnogomernim) poverkhnostyam?

Vtoraya prichina, po kotoroj matematikam pora ponyat' kvantovuyu teoriyu polya, – obilie matematicheskikh rezul'tatov, poluchennikh kvantovopolevimi metodami. Dlya neposvyaschennikh matematikov eti rezul'tati viglyadyat kak fokusi tipa "krolik iz shlyapi". Istoricheski sam avtor, buduchi studentom, nachal s izucheniya etikh rezul'tatov, takikh kak primenenie konformnoj teorii polya k teorii predstavlenij i algebraicheskoj geometrii. V to zhe vremya stalo ponyatno, chto udovletvoritel'noe dlya matematika izlozhenie konformnoj teorii polya otsutstvuet. Izuchenie konformnoj teorii polya napominalo izuchenie teorii funktsij kompleksnogo peremennogo bez znaniya veschestvennogo differentsial'nogo i integral'nogo ischisleniya. To est' kak raz ne khvatalo ponimaniya matematicheskikh mekhanizmov kvantovoj teorii polya.

Nastoyaschaya kniga rasschitana na matematikov, imeyuschikh klassicheskoe obrazovanie v oblasti matematicheskogo analiza i matematicheskoj fiziki. Tem samim eti prekrasnie matematicheskie rezul'tati, kotorie nachali uzhe vikhodit' iz mnogikh obrazovatel'nikh kursov, snova vklyuchayutsya v osnovnoe drevo razvitiya matematiki, neotdelimogo ot razvitiya estestvoznaniya. Avtor schastliv, chto na ego dolyu vipalo snova soedinit' razdelennoe. Zdes' umestno vspomnit' slova I.M.Gel'fanda, kotorij govoril, chto vosprinimaet matematiku vmeste s matematicheskoj fizikoj kak edinoe tseloe. Mozhno dobavit', chto matematiki bolee rannikh vremen voobsche ne otdelyali matematiku ot fiziki, i bilo bi prekrasno vozrodit' etu klassicheskuyu traditsiyu.

Perejdem k izlozheniyu soderzhaniya knigi. Osnovnoj metod vivoda rezul'tatov i konstruktsij kvantovoj teorii polya v knige – matematicheskij, t.e. metod logicheskikh rassuzhdenij, opirayuschikhsya na naturfilosofskie predstavleniya. V kakoj-to stepeni eto metod posledovatel'nikh priblizhenij, ot naivnikh predstavlenij ko vse bolee i bolee korrektnim. Poetomu knigu mozhno rassmatrivat' kak matematicheskij traktat, vivodyaschij osnovnie ponyatiya kvantovoj teorii polya iz obschikh naturfilosofskikh predposilok.

V pervoj vvodnoj chasti napominayutsya nekotorie klassicheskie rezul'tati matematicheskoj fiziki, svyazannie s optiko-mekhanicheskoj analogiej, kotorie budut sluzhit' orientirom i, tak skazat', pochvoj dlya dal'nejshego izlozheniya. Syuda vkhodyat odnomernoe variatsionnoe ischislenie, teoriya Gamil'tona–Yakobi, gamil'tonov formalizm, obobschennie funktsii, preobrazovanie Fur'e i predstavlenie A.Vejlya simplekticheskoj gruppi, teoriya kvaziklassicheskikh asimptotik resheniya uravneniya Shredingera, ischislenie G.Vejlya psevdodifferentsial'nikh operatorov. Zdes' est' i novie rezul'tati, ob'edinyayuschie s edinikh pozitsij metod kompleksnogo rostka V.P.Maslova, ischislenie G.Vejlya i predstavlenie A.Vejlya. Mi postaralis' dat' zdes' obzor matematicheskikh metodov, svyazannikh s optiko-mekhanicheskoj analogiej, ot zakona prelomleniya sveta do integral'nikh operatorov Fur'e. Bolee podrobno soderzhanie knigi osvescheno v oglavlenii.

Izlozhenie v pervoj chasti predstavlyaet soboj sil'no rasshirennij i modifitsirovannij variant broshyuri avtora [38].

Vo vtoroj chasti sovershaetsya postepennij perekhod k teorii polya. Osnovnaya dvizhuschaya ideya – obobschenie prediduschikh rezul'tatov na situatsiyu mnogomernoj variatsionnoj zadachi. Vnachale daetsya detal'nij analiz klassicheskoj teorii polya: mnogomernoe variatsionnoe ischislenie, obobschennaya teoriya Gamil'tona–Yakobi, kovariantnij obobschennij gamil'tonov formalizm. Zatem perekhodim k popitkam kvantovaniya. V kachestve probnogo kamnya rassmatrivaetsya svobodnoe skalyarnoe pole. Ego kvantovanie privodit k idee podkhodyaschego beskonechnomernogo obobscheniya predstavleniya A.Vejlya i metoda kompleksnogo rostka, kotoraya okazivaetsya neudachnoj. Vmesto etogo okazivaetsya tselesoobraznim beskonechnomernoe obobschenie ischisleniya G.Vejlya, i rassmotrenie uravneniya Gejzenberga v algebre G.Vejlya. Takim obrazom udaetsya postroit' polnuyu logicheski posledovatel'nuyu kvantovuyu teoriyu svobodnogo skalyarnogo polya i poluchit' formuli fizikov dlya funktsij Grina svobodnogo polya. Voobsche, uzhe zdes' sleduet skazat', chto naibolee blizkaya "fizicheskaya" kniga k nashemu izlozheniyu – eto kniga N.N.Bogolyubova i D.V.Shirkova [8]. Odnako izlozhenie ne opiraetsya na etu knigu, a kak bi parallel'no ej. (Tol'ko v samom kontse mi ssilaemsya na teoremu Bogolyubova–Parasyuka.)

Sleduyuschij shag – perekhod k rassmotreniyu vzaimodejstvuyuschikh polej, prichem vzaimodejstvie rassmatrivaetsya kak maloe vozmuschenie. Zdes' obsuzhdaetsya neskol'ko podkhodov k kvantovaniyu, naibolee pryamolinejnij iz kotorikh – eto rassmotrenie uravneniya Gejzenberga v algebre Vejlya. Viyasnyaetsya, chto resheniya etogo uravneniya plokho opredeleni, potomu chto ryad teorii vozmuschenij dlya operatora evolyutsii zadaetsya raskhodyaschimisya integralami, sootvetstvuyuschimi diagrammam Fejnmana. Osnovnoe otlichie ot obichnikh fejnmanovskikh integralov, rassmatrivaemikh v fizike, – to, chto integrirovanie idet ne po vsemu prostranstvu-vremeni, a tol'ko po polose v nem. Sleduya fizicheskim soobrazheniyam, pitaemsya modifitsirovat' eti raskhodyaschiesya integrali vichitatel'noj protseduroj, tak chtobi poluchit' odnoparametricheskoe semejstvo avtomorfizmov algebri Vejlya. V kachestve primera berem model' phi⁴. Odnako, khotya dlya odnopetlevoj diagrammi s dvumya vershinami perenormirovka prokhodit, dlya dvukh petel' voznikayut trudnosti. Viyasnyaetsya, chto eto svyazano s negladkost'yu kharakteristicheskoj funktsii polosi. Prikhoditsya izmenit' tochku zreniya na kvantovopolevuyu dinamiku i rassmatrivat' operatori evolyutsii s chlenom vzaimodejstviya, sglazhennim pri pomoschi gladkogo mnozhitelya vo vsem prostranstve-vremeni, naprimer, g(x)phi(x)⁴, gde g(x) – gladkaya funktsiya, sluzhaschaya zamenitelem kharakteristicheskoj funktsii polosi. Formulirovku dinamiki s funktsiej g(x) prikhoditsya davat' pri pomoschi podkhodyaschej versii usloviya prichinnosti. Teper' fejnmanovskie integrali uzhe udaetsya perenormirovat', i mi prikhodim k formulirovke Bogolyubova kvantovoj teorii polya cherez S-matritsu S(g), zavisyaschuyu ot funktsii vklyucheniya vzaimodejstviya g(x). Etu S-matritsu mozhno vichislit' v lyubom poryadke razlozheniya po stepenyam funktsii g(x), i estestvenno postulirovat' ee suschestvovanie vne ramok teorii vozmuschenij. Unitarnost' S-matritsi v ramkakh teorii vozmuschenij stanovitsya netrivial'noj teoremoj.

Takim obrazom, mi prikhodim k misli, chto S-matritsu pravil'no zadavat' odnovremenno dlya tselogo semejstva lagranzhianov, zavisyaschikh ot vspomogatel'nikh funktsij. Koeffitsienti razlozheniya po etim funktsiyam – eto kvantovopolevie funktsii Grina, obladayuschie interesnimi matematicheskimi svojstvami. Oni v kakoj-to mere otvechayut na vopros, kak umnozhat' obobschennie funktsii.

Izlozhenie vo vtoroj chasti sleduet serii statej avtora [39–45].

Neskol'ko slov o numeratsii formul. Formuli vnutri glav numeruyutsya podryad, a ssilka na formulu iz drugoj glavi daetsya s ukazaniem nomera etoj glavi, naprimer formula (4.20) oznachaet formulu (20) iz glavi 4.

Avtor priznatelen V.V.Dolotinu, Yu.A.Neretinu i I.V.Tyutinu za mnogochislennie poleznie obsuzhdeniya, sposobstvovavshie prodvizheniyu v ponimanii predmeta.

Avtor bil chastichno podderzhan grantom RFFI N04–01–00640.

Avtor posvyaschaet etu knigu lyudyam, kotorie pomogli emu v trudnie minuti zhizni: roditelyam, D.Z.Klejmanu, I.M.Gel'fandu.

About the author

Stoyanovskij Aleksandr Vasil'evich

Dotsent kafedri matematiki Rossijskogo gosudarstvennogo gumanitarnogo universiteta, kandidat fiziko-matematicheskikh nauk.

Rodilsya v 1973 g. Okonchil mekhaniko-matematicheskij fakul'tet Moskovskogo gosudarstvennogo universiteta imeni M. V. Lomonosova. Zaschitil kandidatskuyu dissertatsiyu v Institute teoreticheskoj fiziki im. L. D. Landau RAN.

Imeet 17 nauchnikh rabot po kombinatorike, teorii predstavlenij, algebraicheskoj geometrii, konformnoj teorii polya, matematicheskoj fizike.