Cover Орлов П.М. Об аксиомах геометрии вообще, аксиоме Н.И.Лобачевского и V постулате Евклида
Id: 163707
1.9 EUR

Об аксиомах геометрии вообще, аксиоме Н.И.Лобачевского и V постулате Евклида

URSS. 16 pp. (Russian). ISBN 978-5-397-03185-1.
  • Paperback
Серия: Relata Refero

Summary

В книге кратко изложены взгляды автора на аксиоматические определения прямых линий. Доказан V постулат Евклида на основании новой теоремы о сумме внутренних и внешних углов многоугольника.

Книга предназначена для всех любителей геометрии.


Oglavlenie
Ot izdatel'stva
1. O pryamikh liniyakh
2. Teorema o vnutrennikh i vneshnikh uglakh vipuklogo ploskogo mnogougol'nika
3. Dokazatel'stvo V postulata Evklida
Literatura

Iz glavi 1. O pryamikh liniyakh

1. O pryamikh liniyakh

V XIX.bila zakonchena kritika Nachal Evklida i virabotana novaya aksiomatika geometrii predlozhennaya D.Gil'bertom. Osbennoj kritike podverglis' opredeleniya Evklida, potomu chto on imi ne pol'zovalsya. Vsё eto pravil'no, no odno opredelenie zasluzhivalo vnimanie, chtobi ego otavit'. Vot ono: granitsi linii sut' tochki. Ono oznachaet, chto pryamaya lniya dolzhna bit' oboznachena tochkoj v nachale i tochkoj v kontse. Eto oprdelenie imeet ochen' vazhnoe logicheskoe znachenie. Esli liniya ne budet oboznachena khotya bi s odnogo kontsa, to takuyu liniyu nel'zya izmerit'. Znchit, eta liniya ne podkhodit dlya geometrii, kotoraya zanimaetsya strogim i opredelёnnim izmereniem. Gde zhe mozhno primenit' nazvannoe opredlenie Evklida? Dlya primeneniya etogo opredeleniya est' tol'ko dve zadchi, gde bez nego ikh nel'zya reshit'. Vot odna iz nikh.

K vertikal'noj pryamoj linii AV v raznikh eёtochkakh S i E vostavtedva gorizontal'nikh perpendikulyara, kotorie ne budut peresekat'sya, chmu est' dokazatel'stvo. I pust' oni budut luchami, t.e.oni ne budut imet' kontsevoj tochki, i budut napravleni v odnu storonu. No oni imeyut nchal'nie tochki. U odnogo tochka S, u druggo tochka E.Eto budet oznachat', chto eti luchi mogut prodolzhat'sya neogranichenno. V chёm zaklyuchaetsya eta neoranichennost'?Esli vibrat' lyubuyu tochku T etogo lucha, to vsegda najdutsya dve drugie tochki. Odna tochka K budet vperedi tochki T, a drugya tochka M budet szadi tochki T.Odin iz etikh perpendikulyarov nuzhno povernut' otnositel'no nachal'noj tochki v storonu drugogo perpendiklyara s tsel'yu ikh vzaimnogo peresecheniya. Pust' eto budet perpendkulyar s nachalom v tochke S.Teper' nado budet opredelit' nachalnuyu tochku ikh peresecheniya. V sovremennoj geometrii net ni aksiom, ni teorem dlya nakhozhdeniya etoj nachal'noj toki peresecheniya. Zadachu nel'zya reshit' i vot pochemu. Dopustim, chto u nklonёnnogo lucha tochka T okazalas' pervoj na drugom (nepodvizhnom) luche, t.e. ona stala pervojobschej tochkoj dvukh luchej. Togda voznikaet vpros: gde budet nakhodit'sya tochka K naklonёnnogo lucha?

Esli tochka K, beguschaya vperedi tochki T, okazhetsya na drugoj storone nepodvizhnogo lucha, to imenno ona uzhe bila pervoj obschej tochkoj dvukh luchej, a ne tochka T. Sledovatel'no, nashe predpolozhenie o tochke T, kak pervoj obschej tochki dvukh luchej, okazalos' oshibochnim. Esli rassmotret' tochku K, to u neё tozhe najdёtsya tochka, kotoraya budet vperedi eё, i tochka szadi eё. Togda tochka K tozhe ne smozhet bit' pervoj tochkoj. Itak, v etom variante nel'zya ukzat' nachal'nuyu tochku peresecheniya.Tochka K ne mozhet nakhodit'sya na nepodvizhnom luche vmeste s tochkoj T, tak kak dve pryamie mogut imet' tol'ko odnu obschuyu tochku.

Rassmotrim variant, kogda tochka T uzhe dostigla nepodvizhnogolucha, a tochka K ne dostigla ego. Togda vse tochki podvizhnogo lucha, krome tochki T, nakhodyatsya s odnoj storoni ot nepodvizhnogo lucha. Esli podvizhnoj luch povernut' dal'she, to on peresechёtsyas nepodvizhnim luchёm v dvukh tokakh (odna szadi tochki T, drugaya speredi), chto ne dopuskaetsya. Etot variant tozhe ne prokhodit.Itak, dva lucha, kotorie ne imeyut ogranicheniya dazhe s odnoj storni, ne mogut vojti v peresechenie. Zadachu na peresechenie dvukh neogranchennikh pryamikh nikto nikogda ne reshal. No vsegda legko prinimalos' reshenie, chto odna pryamaya peresekaet druguyu. Odnako dlya takogo utvezhdeniya nuzhno imet' strogoe reshenie zdachi na peresechenie: pri kakikh usloviyakh dve pryamie mogut peresekat'sya? Naprimer, s otrezkami prmikh zadacha mozhet bit' reshena dovol'no prosto. Kazhdij otrezok imeet nachalo i konets, imeet svoyu velichinu i napravlenie, imeet tochnoe rapolozhenie na ploskosti. Vsego etogo nel'zya skazat' o pryamoj linii, t.e. ona nikak ne opredelena na ploskosti, i eё nel'zya izmerit', tak kak ona ne imeet kontsevikh tochek. Daleko ne vsyakie dva otrezka peresekayutsya, dazhe esli oni ochen' dlinnie.Po logike sovremennoj geometrii naklonёnnij luch budet asimptticheski priblizhat'sya k drugomu luchu i nikogda ego ne peresechёt. Eto pkhozhe na asimptoti giperboli.Vot pochemu geometriya N.I.Lobachevskogo yavlyaetsya giperbolicheskoj.

Otmetim eschё odin moment. Po aksiomam geometrii naklonyaemij luch mozhno povorachivat' na lyuboj ugol. No kak on mozhet povernut'sya na lyuboj ugol, esli on ne mozhet peresech' drugoj luch? Otsyuda vidno, chto prenebregat' opredeleniem Evklida nel'zya! Nu ne reshal Evklid zadach na peresechenie. Tak sovremennie Geometri tozhe ne reshayut etikh zadach.

Vtoraya zadacha zaklyuchaetsya vot v chёm. Dopustim, chto v prediduschej zadache luchi pereseklis'. Teper' nado ikh razvesti, chtobi oni ne pereskalis'. V etom sluchae nado ukazat' poslednyuyu tochku peresecheniya, posle kotoroj luchi razojdutsya. Etu tochku tozhe nel'zya ukazat', tak kak v geomerii dlya etogo net ni aksiom, ni teorem.Itak, trudnosti voznikli izNza togo, chto dlya oboznacheniya prmoj ne ispol'zuyut kontsevie tochki. Vot mnenie Arkhimeda:

Iz vsekh linij, imeyuschikh obschie kontsi, pryamaya est' kratchajshaya.

On ponimal pryamuyu liniyu tol'ko mezhdu dvukh tochek, t.e. mezhdu nchal'noj i konechnoj.

Teper' ob aksiome N.I.Lobachevskogo. Vot ona:

Suschestvuet takaya pryamaya "a" i tochka A, ne lezhaschaya na nej, chto cherez tochku A prokhodit ne menee dvukh pryamikh, ne peresekayuschikh pryamuyu "a" i lezhaschikh s nej v odnoj ploskosti.

Rech' idёt o neperesekayuschikhsya pryamikh, a ne o parallel'nikh pryamikh.

Lobachevskij sovershil geroicheskij postupok! Zaklyuchaetsya on v slduyuschem. Vishe ya privёl zadachu o dvukh perpendikulyarakh, odin iz kotorikh potom naklonil dlya peresecheniya s drugim. No potom okazalos', chto v etom sluchae luchi ne peresekutsya. Vot primerno to zhe samoe o nepereschenii gorizontal'noj pryamoj i dvukh naklonnikhpryamikh, prokhodyaschikh chrez odnu tochku A, govorit i Lobachevskij. Tol'ko ya eto predlozhil v zadche, a Lobachevskijv aksiome. Esli bi Lobachevskij predlozhil moyu zdachu, to protiv nego nikto ne vozrazil bi. Zadacha est' zadacha. No on predlozhil etu ideyu v aksiomu, t.e. v Zakon. S Zakonom shutki plokhi. Khotya ideya Lobachevskogo absolyutno pravil'naya. Ved' nikto ne smog oprovernut' ideyu Lobachevskogo, tak kak v geometrii ego vremeni i v gemetrii nashego vremeni net sredstv dlya oproverzheniya etoj idei. Dalee budet vozmozhnost' pokazat' aksiomu Lobachevskogo. Itak, trudnosti voznikli tol'ko iz-za togo, chto prenebregayut oboznachniem pryamoj linii dvumya tochkami. Povtorimsya eschё raz: geometriya est' nauka ob izmereniyakh.A izmerit' mozhno tol'ko to, chto imeet strogie granitsi. "Nel'zya ob'yat' neob'yatnoe". Pryamaya mozhet bit'gigantskikh razmerov, no dolzhna imet' nachalo i konets.Esli prinyat' eti pravila, to pridёtsya peresmotret' formulirovku nekotorikh aksiom. Pryamaya liniya dolzhna prokhodit' ot tochki do tochki, i ne vikhodit' za kontsevie tochki. V nekotorikh aksiomakh pryamaya prokhodit cherez kontsevie tochki, chto yavlyaetsya narusheniem logicheskogo postroeniya osnov geometrii. Mozhno vvesti aksiomu -- kazhdaya pryamaya imeet nachalo i konets...


Ob avtore
Petr Makarovich ORLOV (rod. v 1930 g.)

Po professii -- voennij, major v otstavke. V 1963 g. okonchil Voennuyu inzhenernuyu akademiyu im.F.E.Dzerzhinskogo (nine Voennaya akademiya RVSN im.Petra Velikogo) s khoroshej matematicheskoj podgotovkoj. Teoriyu chisel osvaival samostoyatel'no v svobodnoe ot sluzhbi vremya. Avtor knig "Velikaya teorema Ferma: Arifmeticheskoe reshenie" (M.: URSS, 2009), "Novie metodiki resheniya zadach o chislakh: Zakon raspredeleniya prostikh i sostavnikh chisel. Predstavlenie chetnikh chisel summoj i raznost'yu dvukh prostikh chisel (dokazatel'stvo)" (M.: URSS, 2011) i "Novie metodiki v arifmetike tselikh chisel" (M.: URSS, 2012).