Predislovie |
Glava 0. | Osnovnie ponyatiya teorii mul'timnozhestv |
| 0.1. | Ponyatie mul'timnozhestva |
| 0.2. | Operatsii nad mul'timnozhestvami |
| 0.3. | Svojstva operatsij nad mul'timnozhestvami |
| 0.4. | Vichislenie moschnostej i razmernostej mul'timnozhestv |
| 0.5. | Sposobi predstavleniya mul'timnozhestv |
Glava 1. | Metricheskie prostranstva i posledovatel'nosti |
| 1.1. | Metrika i metricheskoe prostranstvo |
| 1.2. | Rasstoyaniya mezhdu tochkami i mnozhestvami |
| 1.3. | Sposobi obrazovaniya metricheskikh prostranstv |
| 1.4. | Skhodimost' i predel posledovatel'nosti elementov mnozhestva |
| 1.5. | Svojstva skhodyaschikhsya posledovatel'nostej |
| 1.6. | Monotonnie i kratnie posledovatel'nosti |
| 1.7. | Gomeomorfizm i izometriya prostranstv |
| 1.8. | Drugie vidi rasstoyanij i prostranstv |
| 1.9. | Metricheskie preobrazovaniya prostranstv |
Glava 2. | Svojstva metricheskikh prostranstv |
| 2.1. | Otkritost' i zamknutost' |
| 2.2. | Zamikanie, svyaznost' |
| 2.3. | Plotnost', separabel'nost' |
| 2.4. | Polnota i popolnenie |
| 2.5. | Kompaktnost' |
| 2.6. | Topologicheskie prostranstva |
Glava 3. | Neprerivnie funktsii, posledovatel'nosti funktsij, mnozhestv i mul'timnozhestv |
| 3.1. | Predel i neprerivnost' funktsii |
| 3.2. | Svojstva neprerivnikh funktsij |
| 3.3. | Poluneprerivnie i odnostoronne neprerivnie funktsii |
| 3.4. | Predel i neprerivnost' funktsii mnogikh peremennikh |
| 3.5. | Skhodimost' i predel posledovatel'nosti funktsij |
| 3.6. | Skhodimost' i predel posledovatel'nosti mnozhestv |
| 3.7. | Skhodimost' i predel posledovatel'nosti mul'timnozhestv |
Glava 4. | Prostranstva s meroj mnozhestva |
| 4.1. | Mera mnozhestva |
| 4.2. | Svojstva meri mnozhestva |
| 4.3. | Izmerimie mnozhestva |
| 4.4. | Posledovatel'nosti izmerimikh mnozhestv |
| 4.5. | Izmerimie funktsii |
Glava 5. | Prostranstva s meroj mul'timnozhestva |
| 5.1. | Mera mul'timnozhestva |
| 5.2. | Svojstva meri mul'timnozhestva |
| 5.3. | Izmerimie mul'timnozhestva |
| 5.4. | Posledovatel'nosti izmerimikh mul'timnozhestv |
Glava 6. | Funktsional'nie prostranstva |
| 6.1. | Vektornie prostranstva |
| 6.2. | Prostranstva ogranichennikh chislovikh posledovatel'nostej |
| 6.3. | Prostranstva skhodyaschikhsya chislovikh posledovatel'nostej |
| 6.4. | Prostranstva neprerivnikh i ogranichennikh funktsij |
| 6.5. | Prostranstva ogranichennikh izmerimikh funktsij |
| 6.6. | Prostranstva izmerimikh funktsij |
| 6.7. | Metricheskie prostranstva i algebri mnozhestv |
Glava 7. | Prostranstva izmerimikh mnozhestv |
| 7.1. | Metriki, porozhdennie meroj mnozhestva |
| 7.2. | Stepennoe preobrazovanie rasstoyanij mezhdu mnozhestvami |
| 7.3. | Osobennosti rasstoyanij, porozhdennikh meroj mnozhestva |
| 7.4. | Geometricheskie svojstva rasstoyanij mezhdu izmerimimi mnozhestvami |
| 7.4. | Neprerivnost' metrik, porozhdennikh meroj mnozhestva |
| 7.6. | Skhodimost' na prostranstve izmerimikh mnozhestv |
| 7.7. | Svojstva metricheskikh prostranstv izmerimikh mnozhestv |
| 7.8. | Aksiomaticheskij podkhod k metrizatsii prostranstv izmerimikh mnozhestv |
Glava 8. | Prostranstva izmerimikh mul'timnozhestv |
| 8.1. | Metriki, porozhdennie meroj mul'timnozhestva |
| 8.2. | Stepennoe preobrazovanie rasstoyanij mezhdu mul'timnozhestvami |
| 8.3. | Osobennosti rasstoyanij, porozhdennikh meroj mul'timnozhestva |
| 8.4. | Geometricheskie svojstva rasstoyanij mezhdu izmerimimi mul'timnozhestvami |
| 8.5. | Neprerivnost' metrik, porozhdennikh meroj mul'timnozhestva |
| 8.6. | Skhodimost' na prostranstve izmerimikh mul'timnozhestv |
| 8.7. | Svojstva metricheskikh prostranstv izmerimikh mul'timnozhestv |
| 8.8. | Aksiomaticheskij podkhod k metrizatsii prostranstv izmerimikh mul'timnozhestv |
Glava 9. | Primeri prakticheskikh primenenij |
| 9.1. | Sposobi predstavleniya mnogopriznakovikh ob'ektov |
| 9.2. | Klasternij analiz ob'ektov |
| 9.3. | Klassifikatsiya ob'ektov |
| 9.4. | Uporyadochenie ob'ektov |
Literatura |
Osnovnie oboznacheniya |
Predmetnij ukazatel' |
Svetloj pamyati moej mami
Nini Viktorovni Petrovskoj,
arkhitektora i khudozhnika-grafika,
mechtavshej, chtobi ee sin napisal
"ser'eznie" nauchnie knigi.
Metricheskie i drugie prostranstva rasstoyanij igrayut vazhnuyu rol'
v matematike i ee prilozheniyakh, formiruya osnovu mnogikh prikladnikh metodov
izucheniya i analiza okruzhayuschego nas mira. Neredko suschestvuet neobkhodimost'
v issledovanii strukturi sovokupnosti ob'ektov, abstragiruyas' ot ikh
konkretnoj prirodi, no uchitivaya ikh vzaimnoe raspolozhenie i osnovivayas'
na ikh svojstvakh, kotorie mozhno okharakterizovat' temi ili inimi priznakami
ob'ektov. V etikh sluchayakh ob'ekti obichno predstavlyayut tochkami nekotorogo
mnogomernogo priznakovogo prostranstva i operiruyut s nimi, ispol'zuya
moschnij i khorosho razvitij matematicheskij apparat teorii metricheskikh prostranstv
mnozhestv.
Esli priglyadet'sya bolee vnimatel'no, to mozhno zametit', chto nashe okruzhenie
sostoit iz raznikh, no mnogokratno povtoryayuschikhsya elementov, kotorie
v opredelennikh situatsiyakh mogut schitat'sya nerazlichimimi. Zhivaya priroda
i nezhivaya materiya postroeni iz mnogoobraznikh, no povtoryayuschikhsya molekul,
kotorie obrazovani iz povtoryayuschikhsya atomov, a te, v svoyu ochered', -- iz povtoryayuschikhsya elementarnikh chastits. Zritel'nie obrazi i zvuki takzhe sostavleni
iz otdel'nikh tipovikh fragmentov. Tak, naprimer, vsya muzika est',
po suschestvu, raznoobraznie sochetaniya dolej semi not, a izobrazheniya -- kombinatsii
standartnikh tsvetovikh i graficheskikh elementov. Slova skladivayutsya
iz otdel'nikh povtoryayuschikhsya bukv, a lyuboj tekst, v tom chisle i tot, chto vi
sejchas chitaete, predstavlyaet soboj sovokupnost' otdel'nikh slov. I, kstati,
soderzhaschayasya v koshel'ke kazhdogo cheloveka nalichnost' est' lish' tot ili
inoj nabor kakikh-to denezhnikh banknot i monet raznogo nominala.
Imeetsya shirokij krug zadach, otlichitel'noj osobennost'yu kotorikh yavlyaetsya
mnozhestvennost' i povtoryaemost' dannikh, opisivayuschikh kak sami rassmatrivaemie
ob'ekti, tak i ikh svojstva. S tochki zreniya matematiki takie
mnogopriznakovie ob'ekti mozhno predstavit' kak mul'timnozhestva ili
mnozhestva s povtoryayuschimisya elementami. Mul'timnozhestvo mozhno rassmatrivat'
ili kak odnu iz chastnikh form mnozhestva (tak obichno prinyato schitat',
naprimer, v kombinatornoj matematike), ili kak samostoyatel'noe ponyatie, bolee
obschee, chem mnozhestvo.
V teorii mnozhestv neyavno predpolagaetsya, khotya eto spetsial'no i ne ogovarivaetsya,
chto vse elementi mnozhestva razlichni. Odnako printsipial'nogo
zapreta na prisutstvie vo mnozhestve neskol'kikh odinakovikh elementov net.
Vmeste s tem okazalos', chto vozmozhnost' mnogokratnogo vkhozhdeniya elementov
v mul'timnozhestvo sozdaet novoe kachestvo, kotoroe otlichaet mul'timnozhestvo
ot obichnogo "ordinarnogo" mnozhestva i porozhdaet suschestvenno bol'shee,
chem u mnozhestv, raznoobrazie vidov i osobennostej mul'timnozhestv. Pri
etom pochti vsegda imeetsya vozmozhnost' proverit' pravil'nost' sdelannikh
predpolozhenij i zaklyuchenij, osuschestviv "predel'nij perekhod" ot mul'timnozhestv
k mnozhestvam.
Teoreticheskim aspektam mul'timnozhestv posvyascheno sravnitel'no malo
rabot. Mnozhestva s povtoreniyami traditsionno izuchalis' v kombinatornoj
matematike [Sach77], [Aig79], [BS89]. D.Knut bil, po-vidimomu, pervim, kto
obratil vnimanie na neobkhodimost' rassmotreniya mul'timnozhestv kak samostoyatel'nogo
matematicheskogo ob'ekta. Vo 2 tome ego mnogotomnoj monografii
po programmirovaniyu [Knu69] dani opredeleniya mul'timnozhestva, ob'edineniya,
peresecheniya i slozheniya dvukh mul'timnozhestv, ukazani nekotorie
svojstva etikh operatsij i primeri primeneniya mul'timnozhestv.
Nebol'shaya svodka osnovnikh ponyatij, otnosyaschikhsya k mul'timnozhestvam,
privedena v prilozhenii k knige [Pet81] (v russkom perevode etoj knigi mul'timnozhestva
nazvani komplektami), gde k upomyanutim vishe operatsiyam dobavleno
vichitanie mul'timnozhestv. Ryad svojstv etikh operatsij bil rassmotren
v rabote [Yag86]. Pozdnee bili vvedeni operatsii pryamogo proizvedeniya [BS89]
i arifmeticheskogo umnozheniya dvukh mul'timnozhestv [Knu92], operatsii simmetricheskoj
raznosti mul'timnozhestv, dopolneniya i umnozheniya mul'timnozhestva
na chislo, pryamoj stepeni mul'timnozhestva [Petr94]. Operatsii nad
proizvol'nim chislom mul'timnozhestv i ikh svojstva predstavleni v [Petr03].
Ponyatie nechetkogo mul'timnozhestva bilo predlozheno Yagerom [Yag86],
operatsii nad nechetkimi mul'timnozhestvami issledovalis' v rabotakh [Li90],
[Reb93], [Reb94]. Problemi uporyadocheniya mul'timnozhestv izuchalis' v rabotakh
[DM79], [HO80], [JL82], [Lom01], [SeS03]. Metricheskie prostranstva mul'timnozhestv
i nekotorie ikh svojstva rassmotreni v rabotakh [Petr94], [Petr92],
[Petr94], [Petr95], v pervoj iz nikh vvedeno ponyatie otnosheniya na mul'timnozhestve.
Kombinatornie aspekti teorii mul'timnozhestv osvescheni v rabotakh
[Lip82], [BS89], [Petr00]. V poslednej rabote opredeleni ponyatiya razlozheniya,
razbieniya, pokritiya i perekritiya mul'timnozhestv.
Pervoe sistematicheskoe i posledovatel'noe izlozhenie nachal teorii
mul'timnozhestv v dukhe "naivnoj" teorii mnozhestv bilo predprinyato avtorom
v knige "Osnovnie ponyatiya teorii mul'timnozhestv", opublikovannoj
v 2002 godu. V nej vvedeni osnovnie kharakteristiki mul'timnozhestv. Rassmotreni
vozmozhnie vidi mul'timnozhestv i sposobi ikh sopostavleniya. Opredeleni
operatsii nad mul'timnozhestvami i issledovani ikh svojstva. Ustanovleni
pravila dlya vichisleniya moschnosti i razmernosti proizvol'nogo chisla
mul'timnozhestv. Ukazani razlichnie sposobi predstavleniya mul'timnozhestv.
Nastoyaschaya kniga, posvyaschennaya issledovaniyu prostranstv mnozhestv
i mul'timnozhestv, sluzhit v opredelennoj mere prodolzheniem knigi [Petr02a],
odnako vpolne ot nee nezavisima. Dlya udobstva chitatelya v glave 0 sobrani
naibolee vazhnie ponyatiya i opredeleniya teorii mul'timnozhestv, nuzhnie dlya
ponimaniya predstavlennogo dalee materiala. Dlya kratkosti izlozheniya opuscheni
dokazatel'stva teorem, kotorie mozhno najti v pervoj knige.
Tri sleduyuschie glavi knigi nosyat, v osnovnom, oznakomitel'nij kharakter
i prednaznacheni, glavnim obrazom, dlya tekh, kto pozhelaet vosstanovit'
svoi znaniya iz oblastej matematicheskogo analiza i funktsional'nogo analiza.
V glave 1 dayutsya opredeleniya metricheskogo prostranstva, metriki, drugikh vidov
rasstoyanij i prostranstv. Rassmotreni razlichnie sposobi obrazovaniya
metricheskikh prostranstv. Ustanovleni nekotorie svojstva metrik i metricheskikh
prostranstv. Opredeleni ponyatiya posledovatel'nosti elementov mnozhestva,
skhodimosti i predela posledovatel'nosti, privedeni vazhnejshie svojstva
skhodyaschikhsya posledovatel'nostej. Dani ponyatiya gomeomorfizma i izometrii
prostranstv.
V glave 2 izlagayutsya osnovnie svojstva metricheskikh prostranstv: otkritost'
i zamknutost', zamikanie, svyaznost', plotnost', separabel'nost',
polnota i popolnenie, kompaktnost'. Otmechena svyaz' metricheskikh i topologicheskikh
prostranstv.
Ponyatiya skhodimosti posledovatel'nosti tochek k predelu rasprostraneni
v glave 3 na funktsii odnoj i mnogikh peremennikh, posledovatel'nosti
funktsij, mnozhestv i mul'timnozhestv. Kratko rassmotreni svojstva neprerivnikh,
poluneprerivnikh i odnostoronne neprerivnikh funktsij. Ustanovleni
nekotorie vazhnie svojstva skhodyaschikhsya posledovatel'nostej mnozhestv
i mul'timnozhestv. Rezul'tati, otnosyaschiesya k posledovatel'nostyam mul'timnozhestv,
yavlyayutsya novimi.
Glava 4 soderzhit izlozhenie osnovnikh ponyatij prostranstv s meroj.
Ukazani svojstva additivnoj meri mnozhestva, predlozheni novie pravila dlya
ee vichisleniya. Sformulirovani neobkhodimie i dostatochnie usloviya izmerimosti
mnozhestva. Vvedeni novie ponyatiya skhodimosti posledovatel'nosti izmerimikh
mnozhestv pochti vsyudu i po mere na prostranstve s polnoj meroj, issledovani
ikh svojstva. Privedeni osnovnie svojstva izmerimikh funktsij.
Osnovnie polozheniya teorii prostranstv s meroj mul'timnozhestva rassmatrivayutsya
v glave 5. Mera mul'timnozhestva opredelyaetsya kak neotritsatel'naya
dejstvitel'naya funktsiya mul'timnozhestva, obladayuschaya svojstvom
sil'noj additivnosti, kotoroe yavlyaetsya bolee obschim, chem additivnost' meri
mnozhestva. Ustanovleni osnovnie svojstva meri mul'timnozhestva, predlozheni
pravila dlya ee vichisleniya. Sformulirovani neobkhodimie i dostatochnie
usloviya izmerimosti mul'timnozhestva. Vvedeni novie ponyatiya skhodimosti
posledovatel'nosti izmerimikh mul'timnozhestv pochti vsyudu i po mere
na prostranstve s polnoj meroj, issledovani ikh svojstva.
V glave 6 rassmotreni naibolee izvestnie primeri funktsional'nikh
metricheskikh prostranstv: vektornie prostranstva, prostranstva ogranichennikh
i skhodyaschikhsya chislovikh posledovatel'nostej, prostranstva neprerivnikh,
ogranichennikh i izmerimikh funktsij, otmecheni osnovnie svojstva etikh prostranstv.
V glavakh 7 i 8 vvodyatsya novie tipi prostranstv i novie vidi metrik.
Glavi imeyut skhodnuyu strukturu i opisivayut prostranstva izmerimikh mnozhestv
i izmerimikh mul'timnozhestv. Rassmotreni razlichnie sposobi vvedeniya
metrik (psevdometrik) na sigma-algebrakh izmerimikh mnozhestv i mul'timnozhestv,
porozhdennikh meroj mnozhestva ili mul'timnozhestva. Issledovani
osobennosti, geometricheskie svojstva i svojstva neprerivnosti raznikh vidov
rasstoyanij mezhdu mnozhestvami i mezhdu mul'timnozhestvami. Vvedeni ponyatiya
skhodimosti posledovatel'nostej izmerimikh mnozhestv i mul'timnozhestv
po metrike, izuchena ikh svyaz' so skhodimost'yu pochti vsyudu i po mere. Rassmotreni
metricheskie i topologicheskie svojstva prostranstv izmerimikh mnozhestv
i izmerimikh mul'timnozhestv. Pokazana svyaz' takikh prostranstv s prostranstvami
ogranichennikh chislovikh posledovatel'nostej i vektornimi prostranstvami.
Sformulirovani i dokazani neobkhodimie i dostatochnie usloviya
suschestvovaniya na etikh prostranstvakh raznikh vidov metrik -- osnovnoj,
polnost'yu usrednennoj i lokal'no usrednennoj. Pri perekhode ot mul'timnozhestv
k mnozhestvam metricheskie prostranstva izmerimikh mul'timnozhestv
stanovyatsya sootvetstvuyuschimi prostranstvami izmerimikh mnozhestv.
Primeri prakticheskogo primeneniya vnov' razrabotannogo teoreticheskogo
instrumentariya privodyatsya v glave 9. Zdes' opisani raznie sposobi predstavleniya
ob'ektov, kotorie mogut suschestvovat' v neskol'kikh "ekzemplyarakh"
s otlichayuschimisya znacheniyami kolichestvennikh i kachestvennikh priznakov, kharakterizuyuschikh
ikh svojstva, v tom chisle predstavlenie ob'ektov s pomosch'yu
mul'timnozhestv, i raznie sposobi gruppirovaniya takikh ob'ektov. Obraztsami
mnogopriznakovikh ob'ektov podobnogo roda sluzhat ob'ekti, parametri kotorikh
odnovremenno izmeryayutsya neskol'kimi razlichnimi metodami, proekti,
otsenennie neskol'kimi nezavisimimi ekspertami po mnogim kachestvennim
kriteriyam, tekstovie dokumenti, soderzhanie kotorikh otrazhaetsya s pomosch'yu
klyuchevikh slov ili leksicheskikh edinits, raspoznavaemie graficheskie simvoli -- pechatnie ili rukopisnie, diagnozi zabolevanij, postavlennie patsientam
konsiliumom vrachej, rezul'tati golosovanij i sotsiologicheskikh oprosov raznikh
grupp naseleniya, i mnogoe drugoe. Vkrattse obsuzhdayutsya osnovnie idei
razlichnikh raznovidnostej ierarkhicheskogo i neierarkhicheskogo klasternogo
analiza v metricheskikh prostranstvakh mul'timnozhestv. Predlozheni metodi
resheniya dvukh konkretnikh zadach klassifikatsii i uporyadocheniya mnogopriznakovikh
ob'ektov. V svoe vremya imenno potrebnost' resheniya takikh prakticheskikh
zadach pobudila avtora zanyat'sya izucheniem mul'timnozhestv.
Kniga budet interesna i polezna i "chistim" matematikam, spetsializiruyuschimsya
v oblastyakh diskretnoj matematiki, algebri, funktsional'nogo analiza,
i issledovatelyam, zanyatim razrabotkoj teorii i primeneniem metodov
prinyatiya reshenij, iskusstvennim intellektom i ekspertnimi sistemami,
analizom i raspoznavaniem obrazov, yazikami programmirovaniya, matematicheskoj
lingvistikoj, setyami Petri, i mnogimi drugim spetsialistam, stalkivayuschimsya
v svoej professional'noj deyatel'nosti s neobkhodimost'yu analiza
i obrabotki raznoobraznoj (chislovoj i simvol'noj, raznorodnoj i protivorechivoj)
informatsii. Osobuyu nadezhdu avtor vozlagaet na molodikh i pitlivikh
lyudej, kogo mozhet uvlech' novaya, pochti sovsem ne izvedannaya oblast' nauki,
v kotoroj "est' razgulyat'sya gde na vole" i teoretikam, i prikladnikam.
Avtor virazhaet chuvstvo glubokogo uvazheniya i iskrennej priznatel'nosti
akademiku Olegu Ivanovichu Larichevu, skoropostizhno skonchavshemusya
v yanvare 2003 goda, s kotorim avtora svyazivali mnogoletnyaya lichnaya druzhba,
tvorcheskie i sluzhebnie otnosheniya.
Avtor iskrenne priznatelen svoim kollegam i druz'yam, v pervuyu ochered'
M.Yu.Sterninu, G.I.Shepelevu, V.D.Noginu, E.A.Solov'evoj, S.I.Matorinu,
I.A.Kvasnikovu, L.M.Ostroumovoj, S.V.Shamaninu, O.I. i G.I.Germanenko,
E.M.Babinoj, V.O.Lisitsinoj za ikh dobrozhelatel'nuyu podderzhku, a takzhe
V.M.Afanas'evu, V.I.Vishnevskoj, L.S.Gnedenko, V.V.Kuznetsovoj, V.Yu.Ladininoj,
A.V.Litvinovoj, N.V.Morozovoj, G.V.Rojzenzonu, A.V.Ryabovoj,
Z.F.Filipenkovoj, E.M.Furems i mnogim drugim, sposobstvovavshim po mere
svoikh vozmozhnostej napisaniyu knigi i podgotovke ee k izdaniyu.
Avtor gluboko blagodaren retsenzentam V.I.Bogachevu i S.I.Travkinu,
a takzhe A.N.Bogachevoj, ch'i konstruktivnie soveti i zamechaniya pozvolili
uluchshit' soderzhanie knigi i ispravit' zamechennie netochnosti.
Osobaya priznatel'nost' moim detyam, Il'e, Tanyushe, vnuku Danile, krestniku
Vane, s ponimaniem otnosyaschimsya k tomu, chto avtor udelyaet bol'she
vremeni napisaniyu knig, chem obscheniyu s nimi.
Avtor s blagodarnost'yu otmechaet vklad v podgotovku knigi Rossijskogo
fonda fundamental'nikh issledovanij, kotorij na protyazhenii mnogikh let
okazivaet podderzhku mnogim rossijskim uchenim, i v chastnosti, avtoru (proekti
RFFI 95--01--00083, 96--01--01621, 99--01--00476, 01--01--00514, 02--01--01077),
Rossijskoj akademii nauk, finansiruyuschej dannuyu tematiku v ramkakh programm
fundamental'nikh issledovanij RAN "Matematicheskoe modelirovanie
i intellektual'nie sistemi" i Otdeleniya informatsionnikh tekhnologij i vichislitel'nikh
sistem RAN "Fundamental'nie osnovi informatsionnikh tekhnologij
i sistem", a takzhe Ministerstva promishlennosti, nauki i tekhnologij
Rossii, chastichno podderzhavshego issledovaniya v ramkakh proektov po federal'noj
tselevoj nauchno-tekhnicheskoj programme "Issledovaniya i razrabotki
po prioritetnim napravleniyam razvitiya nauki i tekhniki" na 2002--2006 godi.
Avtor budet iskrenne rad, esli ego rabota vizovet interes i privlechet
vnimanie issledovatelej k bolee glubokomu i vsestoronnemu izucheniyu
mul'timnozhestv -- etogo dostatochno davno izvestnogo, no prakticheski malo
"osvoennogo" ob'ekta klassicheskoj matematiki, kotorij uzhe nashel i, kak mne
dumaetsya, najdet esche mnogo novikh i neozhidannikh prilozhenij.