Петровский А.Б.

Пространства множеств и мультимножеств

Soderzhanie

Predislovie

Metricheskie i drugie prostranstva rasstoyanij igrayut vazhnuyu rol' v matematike i ee prilozheniyakh, formiruya osnovu mnogikh prikladnikh metodov izucheniya i analiza okruzhayuschego nas mira. Neredko suschestvuet neobkhodimost' v issledovanii strukturi sovokupnosti ob'ektov, abstragiruyas' ot ikh konkretnoj prirodi, no uchitivaya ikh vzaimnoe raspolozhenie i osnovivayas' na ikh svojstvakh, kotorie mozhno okharakterizovat' temi ili inimi priznakami ob'ektov. V etikh sluchayakh ob'ekti obichno predstavlyayut tochkami nekotorogo mnogomernogo priznakovogo prostranstva i operiruyut s nimi, ispol'zuya moschnij i khorosho razvitij matematicheskij apparat teorii metricheskikh prostranstv mnozhestv.

Esli priglyadet'sya bolee vnimatel'no, to mozhno zametit', chto nashe okruzhenie sostoit iz raznikh, no mnogokratno povtoryayuschikhsya elementov, kotorie v opredelennikh situatsiyakh mogut schitat'sya nerazlichimimi. Zhivaya priroda i nezhivaya materiya postroeni iz mnogoobraznikh, no povtoryayuschikhsya molekul, kotorie obrazovani iz povtoryayuschikhsya atomov, a te, v svoyu ochered', -- iz povtoryayuschikhsya elementarnikh chastits. Zritel'nie obrazi i zvuki takzhe sostavleni iz otdel'nikh tipovikh fragmentov. Tak, naprimer, vsya muzika est', po suschestvu, raznoobraznie sochetaniya dolej semi not, a izobrazheniya -- kombinatsii standartnikh tsvetovikh i graficheskikh elementov. Slova skladivayutsya iz otdel'nikh povtoryayuschikhsya bukv, a lyuboj tekst, v tom chisle i tot, chto vi sejchas chitaete, predstavlyaet soboj sovokupnost' otdel'nikh slov. I, kstati, soderzhaschayasya v koshel'ke kazhdogo cheloveka nalichnost' est' lish' tot ili inoj nabor kakikh-to denezhnikh banknot i monet raznogo nominala.

Imeetsya shirokij krug zadach, otlichitel'noj osobennost'yu kotorikh yavlyaetsya mnozhestvennost' i povtoryaemost' dannikh, opisivayuschikh kak sami rassmatrivaemie ob'ekti, tak i ikh svojstva. S tochki zreniya matematiki takie mnogopriznakovie ob'ekti mozhno predstavit' kak mul'timnozhestva ili mnozhestva s povtoryayuschimisya elementami. Mul'timnozhestvo mozhno rassmatrivat' ili kak odnu iz chastnikh form mnozhestva (tak obichno prinyato schitat', naprimer, v kombinatornoj matematike), ili kak samostoyatel'noe ponyatie, bolee obschee, chem mnozhestvo.

V teorii mnozhestv neyavno predpolagaetsya, khotya eto spetsial'no i ne ogovarivaetsya, chto vse elementi mnozhestva razlichni. Odnako printsipial'nogo zapreta na prisutstvie vo mnozhestve neskol'kikh odinakovikh elementov net.

Vmeste s tem okazalos', chto vozmozhnost' mnogokratnogo vkhozhdeniya elementov v mul'timnozhestvo sozdaet novoe kachestvo, kotoroe otlichaet mul'timnozhestvo ot obichnogo "ordinarnogo" mnozhestva i porozhdaet suschestvenno bol'shee, chem u mnozhestv, raznoobrazie vidov i osobennostej mul'timnozhestv. Pri etom pochti vsegda imeetsya vozmozhnost' proverit' pravil'nost' sdelannikh predpolozhenij i zaklyuchenij, osuschestviv "predel'nij perekhod" ot mul'timnozhestv k mnozhestvam.

Teoreticheskim aspektam mul'timnozhestv posvyascheno sravnitel'no malo rabot. Mnozhestva s povtoreniyami traditsionno izuchalis' v kombinatornoj matematike [Sach77], [Aig79], [BS89]. D.Knut bil, po-vidimomu, pervim, kto obratil vnimanie na neobkhodimost' rassmotreniya mul'timnozhestv kak samostoyatel'nogo matematicheskogo ob'ekta. Vo 2 tome ego mnogotomnoj monografii po programmirovaniyu [Knu69] dani opredeleniya mul'timnozhestva, ob'edineniya, peresecheniya i slozheniya dvukh mul'timnozhestv, ukazani nekotorie svojstva etikh operatsij i primeri primeneniya mul'timnozhestv.

Nebol'shaya svodka osnovnikh ponyatij, otnosyaschikhsya k mul'timnozhestvam, privedena v prilozhenii k knige [Pet81] (v russkom perevode etoj knigi mul'timnozhestva nazvani komplektami), gde k upomyanutim vishe operatsiyam dobavleno vichitanie mul'timnozhestv. Ryad svojstv etikh operatsij bil rassmotren v rabote [Yag86]. Pozdnee bili vvedeni operatsii pryamogo proizvedeniya [BS89] i arifmeticheskogo umnozheniya dvukh mul'timnozhestv [Knu92], operatsii simmetricheskoj raznosti mul'timnozhestv, dopolneniya i umnozheniya mul'timnozhestva na chislo, pryamoj stepeni mul'timnozhestva [Petr94]. Operatsii nad proizvol'nim chislom mul'timnozhestv i ikh svojstva predstavleni v [Petr03].

Ponyatie nechetkogo mul'timnozhestva bilo predlozheno Yagerom [Yag86], operatsii nad nechetkimi mul'timnozhestvami issledovalis' v rabotakh [Li90], [Reb93], [Reb94]. Problemi uporyadocheniya mul'timnozhestv izuchalis' v rabotakh [DM79], [HO80], [JL82], [Lom01], [SeS03]. Metricheskie prostranstva mul'timnozhestv i nekotorie ikh svojstva rassmotreni v rabotakh [Petr94], [Petr92], [Petr94], [Petr95], v pervoj iz nikh vvedeno ponyatie otnosheniya na mul'timnozhestve. Kombinatornie aspekti teorii mul'timnozhestv osvescheni v rabotakh [Lip82], [BS89], [Petr00]. V poslednej rabote opredeleni ponyatiya razlozheniya, razbieniya, pokritiya i perekritiya mul'timnozhestv.

Pervoe sistematicheskoe i posledovatel'noe izlozhenie nachal teorii mul'timnozhestv v dukhe "naivnoj" teorii mnozhestv bilo predprinyato avtorom v knige "Osnovnie ponyatiya teorii mul'timnozhestv", opublikovannoj v 2002 godu. V nej vvedeni osnovnie kharakteristiki mul'timnozhestv. Rassmotreni vozmozhnie vidi mul'timnozhestv i sposobi ikh sopostavleniya. Opredeleni operatsii nad mul'timnozhestvami i issledovani ikh svojstva. Ustanovleni pravila dlya vichisleniya moschnosti i razmernosti proizvol'nogo chisla mul'timnozhestv. Ukazani razlichnie sposobi predstavleniya mul'timnozhestv.

Nastoyaschaya kniga, posvyaschennaya issledovaniyu prostranstv mnozhestv i mul'timnozhestv, sluzhit v opredelennoj mere prodolzheniem knigi [Petr02a], odnako vpolne ot nee nezavisima. Dlya udobstva chitatelya v glave 0 sobrani naibolee vazhnie ponyatiya i opredeleniya teorii mul'timnozhestv, nuzhnie dlya ponimaniya predstavlennogo dalee materiala. Dlya kratkosti izlozheniya opuscheni dokazatel'stva teorem, kotorie mozhno najti v pervoj knige.

Tri sleduyuschie glavi knigi nosyat, v osnovnom, oznakomitel'nij kharakter i prednaznacheni, glavnim obrazom, dlya tekh, kto pozhelaet vosstanovit' svoi znaniya iz oblastej matematicheskogo analiza i funktsional'nogo analiza. V glave 1 dayutsya opredeleniya metricheskogo prostranstva, metriki, drugikh vidov rasstoyanij i prostranstv. Rassmotreni razlichnie sposobi obrazovaniya metricheskikh prostranstv. Ustanovleni nekotorie svojstva metrik i metricheskikh prostranstv. Opredeleni ponyatiya posledovatel'nosti elementov mnozhestva, skhodimosti i predela posledovatel'nosti, privedeni vazhnejshie svojstva skhodyaschikhsya posledovatel'nostej. Dani ponyatiya gomeomorfizma i izometrii prostranstv.

V glave 2 izlagayutsya osnovnie svojstva metricheskikh prostranstv: otkritost' i zamknutost', zamikanie, svyaznost', plotnost', separabel'nost', polnota i popolnenie, kompaktnost'. Otmechena svyaz' metricheskikh i topologicheskikh prostranstv.

Ponyatiya skhodimosti posledovatel'nosti tochek k predelu rasprostraneni v glave 3 na funktsii odnoj i mnogikh peremennikh, posledovatel'nosti funktsij, mnozhestv i mul'timnozhestv. Kratko rassmotreni svojstva neprerivnikh, poluneprerivnikh i odnostoronne neprerivnikh funktsij. Ustanovleni nekotorie vazhnie svojstva skhodyaschikhsya posledovatel'nostej mnozhestv i mul'timnozhestv. Rezul'tati, otnosyaschiesya k posledovatel'nostyam mul'timnozhestv, yavlyayutsya novimi.

Glava 4 soderzhit izlozhenie osnovnikh ponyatij prostranstv s meroj. Ukazani svojstva additivnoj meri mnozhestva, predlozheni novie pravila dlya ee vichisleniya. Sformulirovani neobkhodimie i dostatochnie usloviya izmerimosti mnozhestva. Vvedeni novie ponyatiya skhodimosti posledovatel'nosti izmerimikh mnozhestv pochti vsyudu i po mere na prostranstve s polnoj meroj, issledovani ikh svojstva. Privedeni osnovnie svojstva izmerimikh funktsij.

Osnovnie polozheniya teorii prostranstv s meroj mul'timnozhestva rassmatrivayutsya v glave 5. Mera mul'timnozhestva opredelyaetsya kak neotritsatel'naya dejstvitel'naya funktsiya mul'timnozhestva, obladayuschaya svojstvom sil'noj additivnosti, kotoroe yavlyaetsya bolee obschim, chem additivnost' meri mnozhestva. Ustanovleni osnovnie svojstva meri mul'timnozhestva, predlozheni pravila dlya ee vichisleniya. Sformulirovani neobkhodimie i dostatochnie usloviya izmerimosti mul'timnozhestva. Vvedeni novie ponyatiya skhodimosti posledovatel'nosti izmerimikh mul'timnozhestv pochti vsyudu i po mere na prostranstve s polnoj meroj, issledovani ikh svojstva.

V glave 6 rassmotreni naibolee izvestnie primeri funktsional'nikh metricheskikh prostranstv: vektornie prostranstva, prostranstva ogranichennikh i skhodyaschikhsya chislovikh posledovatel'nostej, prostranstva neprerivnikh, ogranichennikh i izmerimikh funktsij, otmecheni osnovnie svojstva etikh prostranstv.

V glavakh 7 i 8 vvodyatsya novie tipi prostranstv i novie vidi metrik. Glavi imeyut skhodnuyu strukturu i opisivayut prostranstva izmerimikh mnozhestv i izmerimikh mul'timnozhestv. Rassmotreni razlichnie sposobi vvedeniya metrik (psevdometrik) na sigma-algebrakh izmerimikh mnozhestv i mul'timnozhestv, porozhdennikh meroj mnozhestva ili mul'timnozhestva. Issledovani osobennosti, geometricheskie svojstva i svojstva neprerivnosti raznikh vidov rasstoyanij mezhdu mnozhestvami i mezhdu mul'timnozhestvami. Vvedeni ponyatiya skhodimosti posledovatel'nostej izmerimikh mnozhestv i mul'timnozhestv po metrike, izuchena ikh svyaz' so skhodimost'yu pochti vsyudu i po mere. Rassmotreni metricheskie i topologicheskie svojstva prostranstv izmerimikh mnozhestv i izmerimikh mul'timnozhestv. Pokazana svyaz' takikh prostranstv s prostranstvami ogranichennikh chislovikh posledovatel'nostej i vektornimi prostranstvami. Sformulirovani i dokazani neobkhodimie i dostatochnie usloviya suschestvovaniya na etikh prostranstvakh raznikh vidov metrik -- osnovnoj, polnost'yu usrednennoj i lokal'no usrednennoj. Pri perekhode ot mul'timnozhestv k mnozhestvam metricheskie prostranstva izmerimikh mul'timnozhestv stanovyatsya sootvetstvuyuschimi prostranstvami izmerimikh mnozhestv.

Primeri prakticheskogo primeneniya vnov' razrabotannogo teoreticheskogo instrumentariya privodyatsya v glave 9. Zdes' opisani raznie sposobi predstavleniya ob'ektov, kotorie mogut suschestvovat' v neskol'kikh "ekzemplyarakh" s otlichayuschimisya znacheniyami kolichestvennikh i kachestvennikh priznakov, kharakterizuyuschikh ikh svojstva, v tom chisle predstavlenie ob'ektov s pomosch'yu mul'timnozhestv, i raznie sposobi gruppirovaniya takikh ob'ektov. Obraztsami mnogopriznakovikh ob'ektov podobnogo roda sluzhat ob'ekti, parametri kotorikh odnovremenno izmeryayutsya neskol'kimi razlichnimi metodami, proekti, otsenennie neskol'kimi nezavisimimi ekspertami po mnogim kachestvennim kriteriyam, tekstovie dokumenti, soderzhanie kotorikh otrazhaetsya s pomosch'yu klyuchevikh slov ili leksicheskikh edinits, raspoznavaemie graficheskie simvoli -- pechatnie ili rukopisnie, diagnozi zabolevanij, postavlennie patsientam konsiliumom vrachej, rezul'tati golosovanij i sotsiologicheskikh oprosov raznikh grupp naseleniya, i mnogoe drugoe. Vkrattse obsuzhdayutsya osnovnie idei razlichnikh raznovidnostej ierarkhicheskogo i neierarkhicheskogo klasternogo analiza v metricheskikh prostranstvakh mul'timnozhestv. Predlozheni metodi resheniya dvukh konkretnikh zadach klassifikatsii i uporyadocheniya mnogopriznakovikh ob'ektov. V svoe vremya imenno potrebnost' resheniya takikh prakticheskikh zadach pobudila avtora zanyat'sya izucheniem mul'timnozhestv.

Kniga budet interesna i polezna i "chistim" matematikam, spetsializiruyuschimsya v oblastyakh diskretnoj matematiki, algebri, funktsional'nogo analiza, i issledovatelyam, zanyatim razrabotkoj teorii i primeneniem metodov prinyatiya reshenij, iskusstvennim intellektom i ekspertnimi sistemami, analizom i raspoznavaniem obrazov, yazikami programmirovaniya, matematicheskoj lingvistikoj, setyami Petri, i mnogimi drugim spetsialistam, stalkivayuschimsya v svoej professional'noj deyatel'nosti s neobkhodimost'yu analiza i obrabotki raznoobraznoj (chislovoj i simvol'noj, raznorodnoj i protivorechivoj) informatsii. Osobuyu nadezhdu avtor vozlagaet na molodikh i pitlivikh lyudej, kogo mozhet uvlech' novaya, pochti sovsem ne izvedannaya oblast' nauki, v kotoroj "est' razgulyat'sya gde na vole" i teoretikam, i prikladnikam.

Avtor virazhaet chuvstvo glubokogo uvazheniya i iskrennej priznatel'nosti akademiku Olegu Ivanovichu Larichevu, skoropostizhno skonchavshemusya v yanvare 2003 goda, s kotorim avtora svyazivali mnogoletnyaya lichnaya druzhba, tvorcheskie i sluzhebnie otnosheniya.

Avtor iskrenne priznatelen svoim kollegam i druz'yam, v pervuyu ochered' M.Yu.Sterninu, G.I.Shepelevu, V.D.Noginu, E.A.Solov'evoj, S.I.Matorinu, I.A.Kvasnikovu, L.M.Ostroumovoj, S.V.Shamaninu, O.I. i G.I.Germanenko, E.M.Babinoj, V.O.Lisitsinoj za ikh dobrozhelatel'nuyu podderzhku, a takzhe V.M.Afanas'evu, V.I.Vishnevskoj, L.S.Gnedenko, V.V.Kuznetsovoj, V.Yu.Ladininoj, A.V.Litvinovoj, N.V.Morozovoj, G.V.Rojzenzonu, A.V.Ryabovoj, Z.F.Filipenkovoj, E.M.Furems i mnogim drugim, sposobstvovavshim po mere svoikh vozmozhnostej napisaniyu knigi i podgotovke ee k izdaniyu.

Avtor gluboko blagodaren retsenzentam V.I.Bogachevu i S.I.Travkinu, a takzhe A.N.Bogachevoj, ch'i konstruktivnie soveti i zamechaniya pozvolili uluchshit' soderzhanie knigi i ispravit' zamechennie netochnosti.

Osobaya priznatel'nost' moim detyam, Il'e, Tanyushe, vnuku Danile, krestniku Vane, s ponimaniem otnosyaschimsya k tomu, chto avtor udelyaet bol'she vremeni napisaniyu knig, chem obscheniyu s nimi.

Avtor s blagodarnost'yu otmechaet vklad v podgotovku knigi Rossijskogo fonda fundamental'nikh issledovanij, kotorij na protyazhenii mnogikh let okazivaet podderzhku mnogim rossijskim uchenim, i v chastnosti, avtoru (proekti RFFI 95--01--00083, 96--01--01621, 99--01--00476, 01--01--00514, 02--01--01077), Rossijskoj akademii nauk, finansiruyuschej dannuyu tematiku v ramkakh programm fundamental'nikh issledovanij RAN "Matematicheskoe modelirovanie i intellektual'nie sistemi" i Otdeleniya informatsionnikh tekhnologij i vichislitel'nikh sistem RAN "Fundamental'nie osnovi informatsionnikh tekhnologij i sistem", a takzhe Ministerstva promishlennosti, nauki i tekhnologij Rossii, chastichno podderzhavshego issledovaniya v ramkakh proektov po federal'noj tselevoj nauchno-tekhnicheskoj programme "Issledovaniya i razrabotki po prioritetnim napravleniyam razvitiya nauki i tekhniki" na 2002--2006 godi.

Avtor budet iskrenne rad, esli ego rabota vizovet interes i privlechet vnimanie issledovatelej k bolee glubokomu i vsestoronnemu izucheniyu mul'timnozhestv -- etogo dostatochno davno izvestnogo, no prakticheski malo "osvoennogo" ob'ekta klassicheskoj matematiki, kotorij uzhe nashel i, kak mne dumaetsya, najdet esche mnogo novikh i neozhidannikh prilozhenij.