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Cover Boss V. Lecciones de Matemática: Teoría de grupos
Id: 134574
23.9 EUR

Lecciones de Matemática:
Teoría de grupos. T.8

URSS. 224 pp. (Spanish). ISBN 978-5-396-00703-1.
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  • Paperback

Summary

El presente libro se caracteriza por una exposición breve y clara de los temas tratados, valiéndose de analogías y sin entrar en detalles innecesarios. Se presta especial atención a la interrelación de los resultados y al enfoque general del material considerado.

El presente tomo de la serie tiene el objetivo de trasladar la teoría de grupos de la categoría de disciplinas especializadas al conjunto de las disciplinas matemáticas de conocimiento... (More)


Índice
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A nuestros lectores7
Prólogo a la serie «Lecciones de Matemática»8
Prólogo al octavo tomo10
Capítulo 1. Transformaciones y simetría11
1.1. Factores del «doble fondo»11
1.2. Grupo de transformaciones18
1.3. Invariancia de las ecuaciones diferenciales19
1.4. Similitud y análisis dimensional24
1.5. Relación con el análisis de grupos29
1.6. La simetría del Universo34
1.7. Paradojas de la simetría40
1.8. Geometría proyectiva43
Capítulo 2. Conceptos fundamentales46
2.1. Definiciones, ejemplos y anticipaciones46
2.2. Grupo de permutaciones53
2.3. Clases laterales55
2.4. Divisores normales y grupos cociente58
2.5. Clases de conjugación61
2.6. Automorfismo y homomorfismo62
2.7. Sobre el papel de los invariantes66
2.8. Complementos69
Capítulo 3. Instrumentos principales72
3.1. Acción de un grupo sobre un conjunto72
3.2. Estabilizadores73
3.3. Órbitas75
3.4. p-grupos finitos76
3.5. Teoremas de Sylow77
3.6. Problemas79
Capítulo 4. Grupos abelianos80
4.1. Variante conmutativa80
4.2. Grupos finitamente generados82
4.3. Producto directo y suma directa83
4.4. Naturaleza cíclica de los grupos abelianos85
4.5. Grupos de homología87
4.6. Clasificación de las variedades92
4.7. Primer grupo de homotopía93
Capítulo 5. Teoría de la representación de grupos95
5.1. Representaciones matriciales95
5.2. Subespacios invariantes98
5.3. Representaciones ortogonales99
5.4. Operadores invariantes101
5.5. Caracteres103
Capítulo 6. Grupos resolubles105
6.1. Series normales105
6.2. Subgrupo conmutador y resolubilidad107
6.3. Grupos simples109
6.4. Ejemplo111
Capítulo 7. Relaciones determinantes112
7.1. Conjunto generador112
7.2. Grupos libres113
7.3. Identidades en los grupos114
7.4. Relaciones determinantes115
7.5. Problema de Burnside116
Capítulo 8. Estructuras algebraicas117
8.1. ¿Adónde nos lleva la abstracción?118
8.2. Anillos, cuerpos y campos123
8.3. Ideales126
8.4. Anillos euclídeos129
8.5. Campos de residuos130
8.6. Álgebras132
8.7. Estructuras booleanas134
Capítulo 9. Polinomios136
9.1. A modo de recordatorio136
9.2. Algoritmo de Euclides y divisibilidad138
9.3. Reducibilidad de polinomios141
9.4. Existencia de raíces143
9.5. Derivada de un polinomio146
9.6. Funciones racionales147
9.7. Polinomios simétricos148
9.8. Invariancia de grupo149
9.9. ¿Cómo reaccionar ante las asociaciones?151
Capítulo 10. Números algebraicos154
10.1. Extensiones de campos154
10.2. Extensiones algebraicas157
10.3. Extensiones normales158
10.4. Teorema del elemento primitivo160
10.5. Campos ciclotómicos161
Capítulo 11. Teoría de Galois164
11.1. Observaciones preliminares164
11.2. Grupo de Galois165
11.3. Panorama general167
11.4. Correspondencia de Galois168
11.5. Extensión radical simple171
11.6. Extensiones cíclicas174
11.7. Resultado principal174
11.8. Ecuaciones irresolubles176
11.9. Construcciones con compás y regla177
11.10. Complemento178
Capítulo 12. Grupos de Lie180
12.1. Grupos paramétricos180
12.2. Invariantes e integrales primeras185
12.3. Funciones invariantes y conjuntos190
12.4. Sobre la separación de variables192
12.5. Caso multiparamétrico194
12.6. Grupos locales198
12.7. Álgebras de Lie199
12.8. Ecuaciones diferenciales203
12.9. Prolongaciones infinitesimales208
12.10. Búsqueda de los grupos admisibles210
12.11. Ecuaciones en derivadas parciales211
12.12. Comentarios213
Abreviaturas y notaciones215
Bibliografía217
Índice de materias219

A nuestros lectores
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El ritmo de acceso a la nueva información científica y tecnológica ha tenido una importancia decisiva en el desarrollo de los países y del progreso de la humanidad como un todo. En el mundo actual este factor sigue siendo primordial.

El inicio de la era postindustrial, la globalización y el avance espectacular de la tecnología dieron lugar a un aumento exponencial de los flujos de información, lo que reiteradamente, y cada vez de forma más asidua, conduce incluso al hecho de que la información se haga obsoleta ya antes de ser publicada. El curso inexorable del progreso requiere que las personas tengan un ágil acceso tanto a los últimos logros en humanidades, ciencias y tecnologías, como a los diferentes intentos de exposición y descripción de los fundamentos del conocimiento.

Nuestra editorial se plantea el reto de agilizar para los lectores hispanohablantes la dinámica de acceso al patrimonio intelectual creado originalmente en ruso, respetando simultáneamente lo que siempre ha sido el objetivo primordial de Editorial URSS: el nivel de calidad científica, pedagógica y lingüística de nuestros textos.

Con este fin nos dirigimos a ustedes, queridos lectores. Es nuestro propósito aumentar la cantidad de traducciones al español. Para ello rea- lizaremos pequeñas tiradas iniciales, y quedaremos abiertos al perfeccio- namiento estilístico y a la corrección de las potenciales inexactitudes que hayan podido deslizarse en las etapas de preparación de la publicación.

Vuestros solidarios comentarios y consejos, sin lugar a dudas, contribuirán a mejorar las ediciones posteriores de estas traducciones.

Agradecemos de antemano a todos los que puedan contribuir con su ayuda al enriquecimiento del patrimonio intelectual en español con el legado científico creado en nuestro país.

P. S.: Aquellos lectores que estén interesados en la revisión científica y estilística de traducciones a través de editor@URSS.ru pueden ponerse en contacto con nosotros.

Editorial URSS, Moscú


Prólogo a la serie
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«Lecciones de Matemática»

La inspiración viene cuando la mente se

pierde al nivel de «dos por dos», mientras que

es necesario calcular por millones.

Para estudiar normalmente cualquier disciplina matemática son nece- sarios, al menos, cuatro ingredientes:

1) un maestro con el que se pueda conversar;

2) un libro de texto habitual, lo suficientemente detallado;

3) un libro de problemas normal y corriente;

4) un libro de texto no sujeto a rutina, que ofrezca una imagen general, muestre los motivos, los enlaces, nos diga para qué es necesaria cada cosa.

El sistema educativo nunca ha llegado a ocuparse de una forma contundente del cuarto punto. Evidentemente, este objetivo se ha perseguido más de una vez e incluso se ha intentado lograr, solo que en la mayoría de los casos se ha pretendido conservar simultáneamente las funciones inherentes al libro de texto. Esta «sobrecarga» hace que el centro de atención se desplace, y que, ya desde el segundo o tercer capítulo, las intenciones iniciales comiencen a «navegar a la deriva» sin llegar a alcanzar nunca el resultado deseado. Tales objetivos sólo son factibles en el «mundo de las ideas»; el resultado de la integración de una raqueta de tenis con una mancuerna es un artefacto que, aunque no salte a la vista, no prestará adecuadamente las funciones de ninguna de las dos.

La serie «Lecciones de Matemática» ha sido creada con el objetivo de satisfacer precisamente las condiciones del cuarto punto. La idea central de esta serie es la economía de palabras y de medios. Tras las declaraciones de brevedad y claridad, es verdad que los 20 tomos pla- nificados pueden causar una impresión diametralmente opuesta, pero esa considerable cantidad se debe no al exceso de detalles, sino a la formidable extensión de la matemática.

Es necesario indicar a quién está dirigida esta serie. Decir que está orientada a todos podría parecer ingenuo, pero en cierta medida así es.

Un libro de apariencia asequible y con demostraciones de evidente estructura: un libro así siempre gusta tenerlo a mano. No es un secreto que incluso los especialistas del más alto nivel han de esforzarse considerablemente para dominar los campos de la matemática que se encuentran fuera de su propia especialidad. Nuestra serie ofrece un camino corto que facilita tanto asimilar rápidamente nuevos temas como refrescar los que ya se estudiaron en su día.

¿A quién está destinada esta serie: a los fuertes o a los débiles?

¿A los centros de enseñanza habituales o a los especializados en matemática o física? De nuevo podemos responder que a todos. Puede parecer extraño, pero nuestro objetivo no es reglamentar qué es lo que se debe saber. El material se describe con ayuda de un lenguaje sencillo, de manera simple y clara, con el único fin de que cualquier persona pueda extraer algo útil para sí misma y seguir adelante.

La gran avalancha de información que nos abruma hoy hace que los instrumentos del ayer dejen de desempeñar su función. Por esta razón, es necesario aprender a estudiar de una nueva forma; no porque el material a asimilar haya aumentado demasiado, sino porque en la vida han aparecido muchos otros temas de interés; por este motivo, casi nadie está dispuesto a dedicarle mucho tiempo a algo en particular.

La serie «Lecciones de Matemática» pretende ser un experimento en esta dirección. El tiempo dirá si es acertado o no. De todos modos, esta serie es un producto de nueva generación: las mismas «ruedas», el mismo «volante», el mismo contenido matemático, pero con un aspecto diferente.


Prólogo al octavo tomo
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La verdad no se debe revelar completamente.

Si de la aritmética se elimina todo lo concreto que introducen en ella los números, entonces quedaría sólo una base virtual, que no sería tan interesante si, como resultado de manipulaciones de otra naturaleza, no apareciera la misma abstracción. Diferentes transformaciones físicas y geométricas, la teoría de la codificación, los trucos combinatorios: todos ellos despojados de sus máscaras mostrarían una similitud ines- perada. Al igual que los verbos sin los sustantivos, las «operaciones por sí mismas», sin el material que las une a lo «terrenal», constituyen el núcleo de contacto entre las diferentes interpretaciones. Los proble- mas, despojados de todos sus atuendos, de pronto se unen, y comienza a parecer que si hacemos un esfuerzo más, esto será suficiente para aclarar que en el mundo existe un solo problema.

El título de este tomo es condicional hasta cierto grado. Hablaremos del álgebra general, pero haciendo énfasis en la teoría de grupos. Por ex- traño que parezca, los temas que trataremos, a pesar de su elegancia y valor práctico, se encuentran fuera del programa de enseñanza gene- ral. Esto se debe remediar de alguna manera. Sin olvidar que «enseñar» y «dar una idea» son cosas diferentes. Ambos elementos son importantes para asimilar una materia, pero el segundo es más importante porque el conocimiento formal sin una comprensión global es incluso peligroso.

Es más, aprender matemática sólo leyendo libros es imposible. No obs- tante, obtener una idea sí es posible. El tiempo que queda sería razonable dedicarlo a la resolución de problemas y a la conservación de la especie.