| Prólogo a "Ecuaciones diferenciales" |
| Introducción |
| 1 | Ecuaciones diferenciales de primer orden |
| | §1. | Ecuaciones de variables separables |
| | | 1.1. | Ecuaciones diferenciales de variables separables |
| | | 1.2. | Separación de variables mediante un cambio lineal del argumento |
| | §2. | Problemas geométricos y físicos que conducen a ecuaciones de variables separables |
| | | 2.1. | Uso del significado geométrico de la derivada |
| | | 2.2. | Uso del significado físico de la derivada |
| | §3. | Ecuaciones homogéneas y ecuaciones reducibles a homogéneas |
| | | 3.1. | Ecuaciones homogéneas |
| | | 3.2. | Ejemplo de ecuación reducible a una ecuación homogénea |
| | | 3.3. | Ecuación homogénea generalizada |
| | §4. | Ecuaciones lineales y ecuaciones reducibles a lineales |
| | | 4.1. | Ecuaciones lineales de primer orden |
| | | 4.2. | Cambio de papeles entre la función y el argumento |
| | | 4.3. | Ecuaciones reducibles a ecuaciones lineales |
| | | 4.4. | Ecuación de Minding--Darboux |
| | §5. | Ecuaciones diferenciales exactas. Factor integrante |
| | | 5.1. | Ecuación diferencial exacta |
| | | 5.2. | Factor integrante |
| | | 5.3. | Ecuación diferencial para el factor integrante |
| | §6. | Ecuación de Euler--Riccati |
| | | 6.1. | Ecuación de Euler--Riccati. Ecuación especial de Riccati |
| | | 6.2. | Ecuación canónica de Euler--Riccati |
| | §7. | Ecuaciones no resueltas respecto a la derivada |
| | | 7.1. | Ecuaciones no resueltas respecto a la derivada |
| | | 7.2. | Integral general de la ecuación F(y')=0 |
| | | 7.3. | Representación de la solución en forma paramétrica. Resolución de ecuaciones incompletas |
| | §8. | Existencia y unicidad de las soluciones |
| | | 8.1. | Existencia y unicidad de la solución del problema de Cauchy. Teoremas de Picard, de Peano y de Osgood |
| | | 8.2. | Existencia y unicidad de la solución del problema de Cauchy para una ecuación no resuelta respecto a la derivada |
| | | 8.3. | Prolongación de la solución del problema de Cauchy |
| | | 8.4. | Existencia y unicidad de la solución del problema vectorial de Cauchy |
| | §9. | Soluciones singulares |
| | | 9.1. | Solución singular. Curva discriminante |
| | | 9.2. | Envolvente como solución singular |
| | §10. | Problemas de trayectorias |
| | | 10.1. | Trayectorias isógonas y ortogonales |
| | | 10.2. | Evoluta y evolvente |
| Respuestas |
| Índice de materias |
La intención de los autores al proponer a los lectores el presente libro es
exponer una colección de problemas no triviales resueltos detalladamente, que
sirvan de ayuda en el proceso de asimilación de la teoría de las ecuaciones
diferenciales.
La singularidad del objeto de la teoría de ecuaciones diferenciales (el
contenido abarcado y su fuerte relación con la teoría de límites y
funciones, con el cálculo diferencial e integral, con la teoría de series y
con otros campos de las matemáticas) determina lo específico de su método. El
método de las ecuaciones diferenciales es, en esencia, el método del análisis
matemático. Por esto, hay razones para afirmar que las
ecuaciones diferenciales constituyen el desarrollo posterior, la
generalización del análisis matemático a la clase de las funciones
implícitas, definidas mediante ecuaciones que contienen la variable
independiente, la función y sus derivadas. Así, podemos afirmar que el
cálculo integral de funciones de una variable no es otra cosa que la teoría
de la integración de la clase de ecuaciones diferenciales del tipo y'=f(x)
mediante funciones elementales.
Cada parágrafo del libro está dotado del material teórico mínimo necesario
para la resolución de los ejercicios correspondientes. Por otro lado, el
libro contiene ejemplos que no son tradicionales en este tipo de guías,
relacionados con la teoría de la prolongación de la solución del problema de
Cauchy, las ecuaciones no lineales en derivadas parciales de primer orden,
algunos métodos numéricos de resolución de ecuaciones diferenciales y la
aplicación de los criterios de existencia de los ciclos límites en el plano
fase. Todos los capítulos contienen ejercicios propuestos.
El libro contiene más de doscientos cincuenta ejercicios resueltos
escrupulosamente.
