Костицын В.И.

Теория многомерных пространств. Изд. 2, испр. и доп.

Oglavlenie

Vvedenie

V XX veke blagodarya kvantovoj mekhanike, spetsial'noj i obschej teorii otnositel'nosti neobichajno rasshirilis' granitsi nauchnogo poznaniya.

Poiski tekh nachal, iz kotorikh postroeno mnogoobrazie mira, priveli k posledovatel'noj smene fizicheskikh teorij prostranstva S i vremeni T.

Esli rassmatrivat' tol'ko tri fundamental'nie konstanti:

• c -- skorost' sveta v vakuume;
• G -- gravitatsionnaya postoyannaya;
• h = h/2pi -- kvantovaya postoyannaya,

to smenu fizicheskikh teorij prostranstva i vremeni mozhno izobrazit' tsepochkoj:

(0, G, 0) --> (c, 0, 0) --> (c, G, 0) --> (0, 0, h) --> (c, G, H)

gde (0, G, 0) -- n'yutonova teoriya gravitatsii; (c, 0, 0) -- spetsial'naya teoriya otnositel'nosti; (c, G, 0) -- obschaya teoriya otnositel'nosti; (0, 0, h) -- kvantovaya mekhanika; (c, G, H) -- relyativistskaya kvantovaya teoriya gravitatsii.

Do sozdaniya v 1905 godu spetsial'noj teorii otnositel'nosti fizicheskoe tvekhmernoe prostranstvo S³ i odnomernoe vremya T¹ bili absolyutnimi i obrazovivali n'yutonovo mnogoobrazie N⁴:

N⁴_abs = S³_abs x T¹_abs.

Spetsial'naya teoriya otnositel'nosti zamenila absolyutnoe prostranstvo-vremya na otnositel'noe, a n'yutonovo mnogoobrazie -- na psevdoevklidovo mnogoobrazie Minkovskogo:

M⁴_otn = S³_otn x T¹_otn.

Dostatochno glubokoe proniknovenie v oblast' gravitatsionnikh yavlenij potrebovalo zameni geometrii Minkovskogo na geometriyu Rimana R⁴:

R⁴_otn = S³_otn x T³_otn.

Fizicheskoe nazvanie poluchennoj takim obrazom novoj geometrii -- teoriya kalibrovochnikh polej; matematicheskoe -- geometriya rassloennikh prostranstv.

Geometriya rassloennikh prostranstv beret za osnovu prostranstvo-vremya Minkovskogo, no pri etom izmenyaet ponyatie "mirovaya tochka". Tochka teper' -- ne to, chto ne imeet chastej, a tselij mir, ustroennij vpolne opredelennim obrazom. Mozhno skazat', chto rol' kazhdoj tochki v geometrii rassloennikh prostranstv ispolnyaet nekotoroe n-mernoe (vnutrennee) prostranstvo Sⁿ.

Tochno tak zhe, kak v evklidovom prostranstve perekhod ot odnoj sistemi koordinat k drugoj ne menyaet geometricheskogo vzaimootnosheniya razlichnikh figur, tak i izmenenie sistemi otscheta (kalibrovochnoe preobrazovanie) v rassloennikh prostranstvakh ne dolzhno menyat' fizicheskuyu situatsiyu v kazhdom vnutrennem prostranstve.

Na osnove teorii kalibrovochnikh polej Vajnberg, Gleshou i Salam ob'edinili elektromagnitnie i slabie vzaimodejstviya (nobelevskaya premiya 1979 goda).

Sozdaniyu edinoj teorii chetirekh fundamental'nikh vzaimodejstvij (sil'nogo, slabogo, elektromagnitnogo i gravitatsionnogo) meshaet problema, k resheniyu kotoroj, na pervij vzglyad, ne vidno dazhe podkhodov. Rech' idet o nesovmestimosti kvantovikh predstavlenij s rimanovoj strukturoj prostranstva-vremeni. Inimi slovami, v tsepochke smeni fizicheskikh teorij otsutstvuet kvantovaya teoriya otnositel'nosti -- c, 0 h-teoriya.

Krome togo, v kvantovoj mekhanike suschestvuet sobstvennaya vnutrennyaya problema: do sikh por ne najdena fundamental'naya kvantovaya dlina dlya izmereniya prostranstvennoj protyazhennosti. Ne znaya chislennoe znachenie fundamental'noj dlini, mi nichego ne mozhem skazat' o vnutrennej strukture elementarnikh chastits. Imenno po etoj prichine vremya, proshedshee s seredini 70-kh godov proshlogo veka, bilo samim besplodnim v istorii fiziki elementarnikh chastits.

So svoej storoni, obschaya teoriya otnositel'nosti tak i ne viyavila fizicheskuyu suschnost' drugoj fundamental'noj konstanti -- gravitatsionnoj postoyannoj.

V teorii mnogomernikh prostranstv ukazannie problemi reshayutsya dialekticheski. Priznaetsya pravo na suschestvovanie kak otnositel'nogo, tak i absolyutnogo prostranstva-vremeni, prichem vnutrennie svyazi fizicheskoj sistemi opisivayutsya iz prostranstva-vremeni

M ⁿ_otn = S ⁿ_otn x T ⁿ_otn,

a vneshnie svyazi -- iz prostranstva-vremeni

M ^{n + 1}_abs = S ^{n + 1}_abs x T ^{n + 1}_abs.

Material'naya fizicheskaya sistema Mⁿ_otn n chisla izmerenij vsegda nakhoditsya vnutri sistemi Mⁿ_abs, imeyuschej n +1 chislo izmerenij.

Ideya togo, chto fizicheskoe prostranstvo-vremya imeet, vozmozhno, beskonechnoe chislo izmerenij, to est':

n = -oo, ... - 2, -1, 0, 1, 2, ... +oo,

viskazivalas' v fizike neodnokratno, no iz-za otsutstviya prostogo matematicheskogo apparata, isklyuchayuschego beskonechnosti v fizicheskikh uravneniyakh, dolzhnogo razvitiya ne poluchila.

Matematiki pervimi izuchayut strukturi, imeyuschie otnoshenie k fizicheskoj real'nosti. Dostatochno vspomnit', chto pervaya kvantovaya teoriya, postroennaya Gejzenbergom v 1925 godu, bila matrichnoj mekhanikoj, a matematicheski ekvivalentnij i bolee udobnij formalizm bil predlozhen Shredingerom neskol'ko pozzhe.

Ejnshtejn pochti 10 let posle 1907 goda provel v poiskakh matematicheskogo apparata dlya opisaniya obschej teorii otnositel'nosti. V okonchatel'nom vide obschaya teoriya otnositel'nosti stala novoj interpretatsiej teorii iskrivlennikh prostranstv, razrabotannoj Rimanom, perevedennoj v termini tyagoteniya i dopolnennoj polevim uravneniem.

Geometriya mnogomernikh prostranstv postroena na nestandartnom analize. V nestandartnom analize beskonechno malie velichini yavlyayutsya velichinami postoyannimi (§ 3). Metodi nestandartnogo analiza pozvolili reshit' problemu beskonechnostej v fizicheskoj teorii.

Sozdanie teorii mnogomernikh prostranstv potrebovalo vvesti v rassmotrenie absolyutnuyu sistemu izmereniya fizicheskikh velichin (§ 1). Osnovnoj edinitsej izmereniya prostranstva v etoj sisteme yavlyaetsya metr, a vse ostal'nie fizicheskie velichini izmeryayutsya v metrakh razlichnoj razmernosti. Absolyutnaya sistema izmereniya fizicheskikh velichin viyavila invariantnost' zakonov mekhaniki, elektrodinamiki, termodinamiki i kvantovoj mekhaniki.

Bol'shinstvo fizikov sovershenno spravedlivo schitayut, chto nastoyaschej relyativistskoj kvantovoj teorii gravitatsii (c, G, h-teorii) poka ne suschestvuet. V teorii superstrun (Vitten i drugie), v teorii tvistorov (Rodzher Penrouz), v metode novikh peremennikh (Abi Ashteker) vijti na kolichestvennij uroven' poka ne udalos'.

Teoriya mnogomernikh prostranstv -- eto tozhe c, G, h-teoriya, no ona imeet tri vazhnie otlichiya ot suschestvuyuschikh.

Vo-pervikh, vremya v teorii mnogomernikh prostranstv imeet stol'ko zhe izmerenij, skol'ko ikh imeetsya u prostranstva. Prostranstvo i vremya rassmatrivayutsya kak dialekticheskie protivopolozhnosti, vzaimno dopolnyayuschie drug druga. Iz-za mnogomernosti vremeni skachkoobrazno izmenyaetsya skorost' protekaniya protsessov v prostranstvakh razlichnoj razmernosti. Etot fakt ne imeet nikakogo znacheniya do tekh por, poka rassmatrivayutsya protsessi, proiskhodyaschie v prostranstve kakogo-libo odnogo chisla izmerenij. Esli iz prostranstva n chisla izmerenij rassmatrivayutsya protsessi, proiskhodyaschie v prostranstvakh men'shego (mikromir), ili bol'shego (Vselennaya) chisla izmerenij, to mnogomernost' vremeni dolzhna uchitivat'sya obyazatel'no.

Vo-vtorikh, s, G i h v teorii mnogomernikh prostranstv ne yavlyayutsya velichinami postoyannimi. Pri kolichestvennom postroenii kvantovoj teorii otnositel'nosti (§ 4) ispol'zuetsya edinstvennaya postoyannaya

h/c² = const,

yavlyayuschayasya estestvennoj fundamental'noj edinitsej izmereniya prostranstva.

V-tret'ikh, v teorii mnogomernikh prostranstv ustanavlivaetsya (§ 6) svyaz' gravitatsionnoj postoyannoj so skorost'yu sveta v vakuume. Okazivaetsya, gravitatsionnaya postoyannaya yavlyaetsya proizvodnoj ot skorosti sveta i ona proportsional'na uskoreniyu rasshireniya Vselennoj:

a = 8pi x G = dc/dt

gde: a -- uskorenie rasshireniya Vselennoj.

V teorii mnogomernikh prostranstv preobrazovaniya Lorentsa i printsip neopredelennostej Gejzenberga obobschayutsya dlya prostranstv lyubogo chisla izmerenij, prichem ustanavlivayutsya ne tol'ko minimal'nie, no i maksimal'nie znacheniya vsekh fizicheskikh velichin.

Teoriej mnogomernikh prostranstv nachinaetsya zavershenie opredelennogo tipa fiziki, voskhodyaschego kornyami k drevnim poiskam takikh fundamental'nikh osnov materii, kotorie nel'zya ob'yasnit' s pomosch'yu esche bolee glubokikh printsipov.

Ob avtore

Diapazon interesov vipusknika Voenno-vozdushnoj akademii im. Yu. A. Gagarina Valentina Ivanovicha Kostitsina neobichajno shirok. Vnesya zametnij vklad v sozdanie teorii perekhvata vozdushnikh tselej i buduchi avtorom neskol'kikh izobretenij, on razrabotal konstruktsiyu privoda rotorno-lopastnogo dvigatelya -- samogo perspektivnogo dvigatelya buduschego.

Nestandartnij vzglyad na problemi prostranstva i vremeni privel V. I. Kostitsina k sozdaniyu teorii mnogomernikh prostranstv, v kotoroj s edinikh pozitsij rassmatrivayutsya yavleniya mikromira i Vselennoj.