| Introducción a la serie "Lecciones de Matemática" |
| Prólogo al sexto tomo |
| 1 | Algoritmos y computabilidad |
| | 1.1. | Cálculos universales |
| | 1.2. | ?`Qué es un algoritmo? |
| | 1.3. | Computabilidad |
| | 1.4. | Ejemplos y comentarios |
| | 1.5. | Problema de la indeterminación |
| | 1.6. | Conjuntos enumerables |
| | 1.7. | Procedimientos efectivos |
| | 1.8. | Máquinas de Turing |
| | 1.9. | Sobre el funcionamiento de las máquinas de Turing |
| | 1.10. | Funciones recursivas |
| | 1.11. | Conjuntos diofánticos |
| | 1.12. | Comentarios y complementos |
| 2 | Incompletitud de la aritmética |
| | 2.1. | Teoremas de G\"odel |
| | 2.2. | Imposibilidad de formalización de la verdad |
| | 2.3. | Consistencia |
| | 2.4. | Ecuaciones no resolubles |
| | 2.5. | Sobre las verdades aritméticas |
| | 2.6. | ?`Es posible ayudar a la aritmética desde afuera? |
| | 2.7. | Demostración del segundo teorema de G\"odel |
| | 2.8. | Paradojas lingüísticas |
| 3 | Funciones universales y enumeraciones |
| | 3.1. | Funciones universales |
| | 3.2. | Conjuntos universales |
| | 3.3. | Isomorfismo de enumeraciones de G\"odel |
| | 3.4. | Teorema del punto fijo |
| | 3.5. | Teorema de Rice |
| | 3.6. | Enumeraciones y g\"odelización |
| 4 | Deducibilidad |
| | 4.1. | Conflicto con la definición de verdad |
| | 4.2. | Problema HSI de Tarski |
| | 4.3. | Algoritmos normales de Márkov |
| | 4.4. | Sistemas de Post |
| | 4.5. | Problema de la equivalencia de palabras |
| | 4.6. | Tag-problemas |
| | 4.7. | Gramáticas formales |
| | 4.8. | Teoría y práctica |
| 5 | Lógica matemática |
| | 5.1. | ?`En qué consiste su misión? |
| | 5.2. | Variables, conectivas y funciones |
| | 5.3. | Álgebra de Boole |
| | 5.4. | Fórmulas, proposiciones, predicados |
| | 5.5. | Sintaxis y semántica |
| | 5.6. | Cálculo proposicional |
| | 5.7. | Lenguajes de primer orden |
| | 5.8. | Interpretaciones y modelos |
| | 5.9. | El lenguaje de la aritmética |
| | 5.10. | Carácter aritmético de las funciones computables |
| | 5.11. | Medios prohibidos |
| | 5.12. | Comentarios |
| 6 | El lenguaje diofántico y el décimo problema de Hilbert |
| | 6.1. | Conjuntos diofánticos y funciones diofánticas |
| | 6.2. | Problemas indecidibles |
| | 6.3. | Polinomio universal |
| | 6.4. | Resultados técnicos |
| | 6.5. | Complementos |
| 7 | Matemática constructiva |
| | 7.1. | Números constructivos |
| | 7.2. | Sucesión de Specker |
| | 7.3. | Conflicto con el axioma de elección |
| | 7.4. | Infinito actual |
| | 7.5. | Instrumento o realidad |
| 8 | Teorías axiomáticas |
| | 8.1. | Aritmética de Peano |
| | 8.2. | Paradoja de la categoricidad |
| | 8.3. | Axiomática de Zermelo--Fraenkel |
| | 8.4. | Geometría no euclídea |
| | 8.5. | La hipótesis del continuo |
| 9 | Teoría de modelos |
| | 9.1. | El aspecto lógico |
| | 9.2. | Qué se encuentra tras los resultados de Gentzen |
| | 9.3. | La paradoja de Skolem |
| | 9.4. | Modelos de estructuras booleanas |
| | 9.5. | Cómo el modelo destruye el esquema |
| | 9.6. | Modelos abstractos y modelos concretos |
| | 9.7. | ?`En qué consiste la idea general? |
| | 9.8. | Bases finitas |
| 10 | Grados de indecidibilidad |
| | 10.1. | Reducibilidad |
| | 10.2. | Conjuntos productivos y conjuntos creativos |
| | 10.3. | Conjuntos inmunes |
| | 10.4. | Máquinas con oráculo |
| | 10.5. | Grados de Turing |
| | 10.6. | Jerarquías de los grados |
| 11 | Resumen de las definiciones y resultados fundamentales |
| | 11.1. | Algoritmos y computabilidad |
| | 11.2. | Incompletitud de la aritmética |
| | 11.3. | Funciones universales y enumeraciones |
| | 11.4. | Deducibilidad |
| | 11.5. | Lógica matemática |
| | 11.6. | Lenguaje diofántico y el décimo problema de Hilbert |
| | 11.7. | Matemática constructiva |
| | 11.8. | Teorías axiomáticas |
| | 11.9. | Teoría de modelos |
| | 11.10. | Grados de indecidibilidad |
| Abreviaturas y notaciones |
| Bibliografía |
| Índice de materias |
Introducción a la serie "Lecciones de Matemática"
Los aviones nos permiten volar, pero el
llegar al aeropuerto depende de uno mismo.
Para estudiar normalmente cualquier disciplina matemática son necesarios,
al menos, cuatro ingredientes:
1) un maestro con el que se pueda conversar;
2) un libro de texto habitual, lo suficientemente detallado;
3) un libro de problemas normal y corriente;
4) un libro de texto no sujeto a rutina, que ofrezca una
imagen general, muestre los motivos, los enlaces, nos diga para
qué es necesaria cada cosa.
El sistema educativo nunca ha llegado a ocuparse de una forma contundente del cuarto punto.
Evidentemente, este objetivo se ha perseguido más de una vez e incluso
se ha intentado lograr, solo que en la mayoría de los casos se ha pretendido
conservar simultáneamente las funciones inherentes al libro de texto.
Esta "sobrecarga" hace que el centro de atención se desplace, y que, ya desde el segundo o tercer capítulo,
las intenciones iniciales comiencen a "navegar a la deriva" sin llegar a alcanzar nunca el resultado deseado.
Tales objetivos sólo son factibles en el "mundo de las ideas";
el resultado de la integración de una raqueta de tenis con una mancuerna es un artefacto que,
aunque no salte a la vista, no prestará adecuadamente las funciones de ninguna de las dos.
La serie "Lecciones de Matemática" ha sido creada con el objetivo de satisfacer precisamente las condiciones del cuarto punto.
La idea central de esta serie es la economía de palabras y de medios.
Tras las declaraciones de brevedad y claridad, es verdad que los 20 tomos
planificados pueden causar una impresión diametralmente opuesta, pero esa
considerable cantidad se debe no al exceso de detalles, sino a la formidable extensión de la matemática.
Es necesario indicar a quién está dirigida esta serie. Decir que está
orientada a todos podría parecer ingenuo, pero en cierta medida así es.
Un libro de apariencia asequible y con demostraciones de evidente estructura:
un libro así siempre gusta tenerlo a mano.
No es un secreto que incluso los especialistas del más alto nivel han de esforzarse considerablemente para dominar los
campos de la matemática que se encuentran fuera de su propia especialidad.
Nuestra serie ofrece un camino corto que facilita tanto asimilar rápidamente nuevos temas
como refrescar los que ya se estudiaron en su día.
?`A quién está destinada esta serie: a los fuertes o a
los débiles? ?`A los centros de enseñanza habituales o a los
especializados en matemática o física? De nuevo podemos responder
que a todos. Puede parecer extraño, pero nuestro objetivo no es reglamentar
qué es lo que se debe saber. El material se describe con ayuda de un lenguaje
sencillo, de manera simple y clara, con el único fin de que cualquier persona pueda
extraer algo útil para sí misma y seguir adelante.
La gran avalancha de información que nos abruma hoy hace que los
instrumentos del ayer dejen de desempeñar su función. Por esta razón, es
necesario aprender a estudiar de una nueva forma; no porque el material
a asimilar haya aumentado demasiado, sino porque en la vida han aparecido
muchos otros temas de interés; por este motivo, casi nadie está dispuesto a dedicarle mucho tiempo a algo en particular.
La serie "Lecciones de Matemática" pretende ser un experimento en esta
dirección. El tiempo dirá si es acertado o no. De todos
modos, esta serie es un producto de nueva generación: las mismas "ruedas",
el mismo "volante", el mismo contenido matemático, pero con un aspecto
diferente.
El fundamento es necesario, pero no porque vivir en el sótano
sea cómodo.
Cuando nos referimos al intervalo que abarca "desde Diofanto
hasta Turing", tenemos en cuenta la matemática discreta en la parte
relacionada con sus "fundamentos". La computabilidad, la deducibilidad,
los teoremas de G\"odel y los problemas indecidibles: he aquí los temas
que conforman este tomo.
?`Cuál es la motivación? Como tal, ella no existe: los
fundamentos de la matemática a menudo encuentran obstáculos insuperables
y permanecen sin cambios en el punto de partida. Pero ?`qué se puede
esperar cuando se anda por el borde de un abismo? Allí, en el límite donde
lo posible se transforma en imposible; la vida, en muerte; los teoremas,
en paradojas... En realidad, no debemos esperar nada. Sin embargo, de la
misma manera que ocurre cuando se busca el sentido de la vida, en este
caso los efectos secundarios desempeñan el papel principal.
Opiniones de los lectores de la serie
Para comprender una materia es necesario despo-jarla de los
detalles, desnudar su estructura central, comprender cómo se
llegó a la idea de uno u otro teorema. Éste es un trabajo arduo,
y no siempre se dispone de las fuerzas y el tiempo necesarios
para llevarlo a cabo. En los libros de la serie "Lecciones de
Matemática", precisamente éste es el trabajo realizado por el
autor.
La popularidad de los libros de V. Boss entre los estudiantes y
el profesorado de Rusia es fácil de explicar. En sus libros se
transmite lo que aún no
se ha llegado a asimilar, lo que no se encuentra en otros
libros: visión general, motivación e interreílación. Y lo más
importante: la facilidad con la que
se accede a cualquier tema.
El contenido de todos los libros ha sido planificado
cuidadosamente. Los temas se entrelazan con una técnica
impecable. Las demostraciones extensas han sido comprimidas
hasta obtener unas pocas líneas de razonamientos matemáticos. Es
difícil creer que una sola persona haya sido capaz de cumplir
una tarea de tal envergadura: exponer toda la matemática en tan
sólo 20 tomos de esta clase.
Las "Lecciones de Matemática" de V. Boss constituyen una
excelente y muy completa colección. Como libros de texto, no
siempre se adaptan a las normas pedagógicas tradicionales.
Posiblemente sea esto lo que tanto atrae a los lectores.
* * *
La gran avalancha de información que nos abruma hoy hace que los
instrumentos
del ayer dejen de desempeñar
su función. Por esta razón, es necesario aprender a estudiar
de una nueva forma. La serie "Lecciones de Matemática"
pretende ser un experimento
en esta dirección. El tiempo
será juez de si fue o no acertado.
De todos modos, esta serie es un producto de nueva generación:
las mismas "ruedas", el mismo "volante",
el mismo contenido matemático... pero con un aspecto diferente.
V. Boss
* * *
Libros de la serie "Lecciones de Matemática" de V. Boss publicados ya en ruso:
1. Análisis. 2. Ecuaciones diferenciales. 3. Álgebra lineal. 4.
Probabilidad. Información. Estadística.
5. Análisis funcional. 6. De Diofanto a Turing. 7. Optimización.
8. Teoría de grupos. 9. Funciones
de variable compleja. 10. Búsqueda exhaustiva y algoritmos
efectivos. 11. Ecuaciones de la física
matemática. 12. Contraejemplos y paradojas. 13. Topología. 14.
Teoría de números. 15. Operadores no lineales y puntos fijos. 16. Conjuntos, teorías, modelos
