| Introducción a la serie "Lecciones de Matemática" |
| Prólogo al presente volumen |
| 1 | Conjuntos, espacios, aplicaciones |
| | 1.1. | Operaciones y correspondencias |
| | 1.2. | Axioma de elección |
| | 1.3. | Desigualdades |
| | 1.4. | Espacios métricos |
| | 1.5. | Espacios lineales |
| | 1.6. | Transformaciones continuas |
| | 1.7. | Convexidad |
| | 1.8. | Dificultades iniciales |
| 2 | Espacios métricos y espacios normados |
| | 2.1. | De nuevo sobre la métrica |
| | 2.2. | Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados |
| | 2.3. | Convergencia |
| | 2.4. | Completamiento de un espacio |
| | 2.5. | Categorías de Baire |
| | 2.6. | Espacios de Banach y espacios de Hilbert |
| | 2.7. | Espacios cociente |
| | 2.8. | Efectos anormales |
| 3 | Teoría de la medida |
| | 3.1. | Medida de Lebesgue |
| | 3.2. | Sobre lo que no se ha hablado aún |
| | 3.3. | Funciones medibles |
| | 3.4. | Integral de Lebesgue |
| | 3.5. | Los espacios L1 y Loo |
| | 3.6. | Tipos de convergencia |
| | 3.7. | Paso al límite bajo el signo de la integral |
| | 3.8. | Continuidad absoluta de la integral de Lebesgue |
| | 3.9. | Construcción de Stieltjes |
| | 3.10. | Producto de medidas. Teorema de Fubini |
| | 3.11. | Problemas y complementos |
| 4 | Compacidad |
| | 4.1. | Conjuntos compactos |
| | 4.2. | Criterios de compacidad en C y Lp |
| | 4.3. | Instrumentos y propiedades |
| 5 | Punto de vista topológico |
| | 5.1. | Espacios topológicos |
| | 5.2. | Espacios lineales |
| | 5.3. | Topología débil |
| | 5.4. | Problemas y complementos |
| 6 | Operadores lineales en espacios normados |
| | 6.1. | Conceptos fundamentales |
| | 6.2. | Teorema de Hahn--Banach |
| | 6.3. | Espacios duales |
| | 6.4. | Convergencia débil |
| | 6.5. | Compacidad débil |
| | 6.6. | Convexidad ideal |
| | 6.7. | Principio de acotación uniforme |
| | 6.8. | Teorema de la aplicación abierta |
| | 6.9. | Operadores cerrados |
| | 6.10. | Operador inverso |
| | 6.11. | Operadores compactos |
| | 6.12. | Proyectores |
| | 6.13. | Complementos |
| 7 | Operadores en espacios de Hilbert |
| | 7.1. | Preámbulo |
| | 7.2. | Base ortonormal |
| | 7.3. | Series ortogonales |
| | 7.4. | Operadores adjuntos |
| | 7.5. | Problemas y complementos |
| 8 | Funciones generalizadas |
| | 8.1. | Conceptos fundamentales |
| | 8.2. | Derivación |
| | 8.3. | Convolución de funciones generalizadas |
| | 8.4. | Ecuaciones diferenciales |
| | 8.5. | Series divergentes |
| 9 | Ecuaciones |
| | 9.1. | Ecuaciones lineales |
| | 9.2. | Elección del espacio |
| | 9.3. | Ecuaciones de Fredholm |
| | 9.4. | Iteraciones sucesivas |
| | 9.5. | Métodos de proyección |
| | 9.6. | Regularización |
| | 9.7. | Complementos |
| 10 | Teoría espectral |
| | 10.1. | Conceptos fundamentales |
| | 10.2. | Planteamiento general |
| | 10.3. | Radio espectral |
| | 10.4. | Operadores compactos |
| | 10.5. | Operadores autoadjuntos |
| | 10.6. | Funciones de operadores |
| 11 | Elementos de análisis no lineal |
| | 11.1. | Operadores no lineales |
| | 11.2. | Derivadas y diferenciales |
| | 11.3. | Gradiente de un funcional |
| | 11.4. | Principio de contracción |
| | 11.5. | Teorema de la función implícita |
| | 11.6. | Principio de Schauder |
| | 11.7. | Vectores propios |
| 12 | Operadores positivos |
| | 12.1. | Conos en los espacios de Banach |
| | 12.2. | Operadores positivos |
| | 12.3. | Estimación del radio espectral |
| | 12.4. | Espectro positivo |
| | 12.5. | Puntos fijos |
| | 12.6. | Principio de Birkhoff--Tarski |
| | 12.7. | Problemas y complementos |
| 13 | Resumen de las definiciones y resultados fundamentales |
| | 13.1. | Espacios métricos y espacios normados |
| | 13.2. | Integral y medida de Lebesgue |
| | 13.3. | Compacidad y topología |
| | 13.4. | Operadores y funcionales lineales |
| | 13.5. | Funciones generalizadas |
| | 13.6. | Ecuaciones lineales |
| | 13.7. | Teoría espectral |
| | 13.8. | Elementos de análisis no lineal |
| | 13.9. | Operadores positivos |
| | 13.10. | Espacios |
| Abreviaturas y notaciones |
| Bibliografía |
| Índice de materias |
Introducción a la serie "Lecciones de Matemática"
Los aviones nos permiten volar, pero el
llegar al aeropuerto depende de uno mismo.
Para estudiar normalmente cualquier disciplina matemática son necesarios,
al menos, cuatro ingredientes:
[1)] un maestro con el que se pueda conversar;
[2)] un libro de texto habitual, lo suficientemente detallado;
[3)] un libro de problemas normal y corriente;
[4)] un libro de texto no sujeto a rutina, que ofrezca una
imagen general, muestre los motivos, los enlaces, nos diga para
qué es necesaria cada cosa.
El sistema educativo nunca ha llegado a ocuparse de una forma contundente del cuarto punto.
Evidentemente, este objetivo se ha perseguido más de una vez e incluso
se ha intentado lograr, solo que en la mayoría de los casos se ha pretendido
conservar simultáneamente las funciones inherentes al libro de texto.
Esta "sobrecarga" hace que el centro de atención se desplace, y que, ya desde el segundo o tercer capítulo,
las intenciones iniciales comiencen a "navegar a la deriva" sin llegar a alcanzar nunca el resultado deseado.
Tales objetivos sólo son factibles en el "mundo de las ideas";
el resultado de la integración de una raqueta de tenis con una mancuerna es un artefacto que,
aunque no salte a la vista, no prestará adecuadamente las funciones de ninguna de las dos.
La serie "Lecciones de Matemática" ha sido creada con el objetivo de satisfacer precisamente las condiciones del cuarto punto.
La idea central de esta serie es la economía de palabras y de medios.
Tras las declaraciones de brevedad y claridad, es verdad que los 20 tomos
planificados pueden causar una impresión diametralmente opuesta, pero esa
considerable cantidad se debe no al exceso de detalles, sino a la formidable extensión de la matemática.
Es necesario indicar a quién está dirigida esta serie. Decir que está
orientada a todos podría parecer ingenuo, pero en cierta medida así es.
Un libro de apariencia asequible y con demostraciones de evidente estructura:
un libro así siempre gusta tenerlo a mano.
No es un secreto que incluso los especialistas del más alto nivel han de esforzarse considerablemente para dominar los
campos de la matemática que se encuentran fuera de su propia especialidad.
Nuestra serie ofrece un camino corto que facilita tanto asimilar rápidamente nuevos temas
como refrescar los que ya se estudiaron en su día.
?`A quién está destinada esta serie: a los fuertes o a
los débiles? ?`A los centros de enseñanza habituales o a los
especializados en matemática o física? De nuevo podemos responder
que a todos. Puede parecer extraño, pero nuestro objetivo no es reglamentar
qué es lo que se debe saber. El material se describe con ayuda de un lenguaje
sencillo, de manera simple y clara, con el único fin de que cualquier persona pueda
extraer algo útil para sí misma y seguir adelante.
La gran avalancha de información que nos abruma hoy hace que los
instrumentos del ayer dejen de desempeñar su función. Por esta razón, es
necesario aprender a estudiar de una nueva forma; no porque el material
a asimilar haya aumentado demasiado, sino porque en la vida han aparecido
muchos otros temas de interés; por este motivo, casi nadie está dispuesto a dedicarle mucho tiempo a algo en particular.
La serie "Lecciones de Matemática" pretende ser un experimento en esta
dirección. El tiempo dirá si es acertado o no. De todos
modos, esta serie es un producto de nueva generación: las mismas "ruedas",
el mismo "volante", el mismo contenido matemático, pero con un aspecto
diferente.
Prólogo al presente volumen
El conjunto de aclaraciones que se deben hacer es
siempre inagotable.
El análisis funcional es una disciplina peculiar. Aquí para comprender es
necesario vendarse los ojos, ya que el tema se desarrolla en un campo donde la
intuición es incapaz de ayudarnos. Es verdad que en el álgebra lineal la
intuición tampoco nos ayuda, pero puede ser reemplazada por la imaginación.
Podemos razonar en el plano y, por lo general, obtener resultados válidos en el
espacio n-dimensional. Esto crea con el tiempo una confusión que, no obstante,
resulta útil, ya que la fuerza de la costumbre es enorme.
Sin embargo, cuando la dimensión es infinita, este método nos conduce
frecuentemente a conclusiones erróneas. Como resultado, en lugar de una
agradable ilusión, surge una desagradable fobia que nos obliga a estudiar
a ciegas.
Por esta razón, en el análisis funcional, como en ninguna otra rama de la matemática,
debemos concentrar
nuestra atención en los detalles que podrían guiarnos: los motivos y
dificultades, el significado de los resultados obtenidos y, finalmente, la
comprensión, que no puede ser encerrada en los marcos del esquema
"teorema -- demostración".
Opiniones de los lectores de la serie
Para comprender una materia es necesario despo-jarla de los
detalles, desnudar su estructura central, comprender cómo se
llegó a la idea de uno u otro teorema. Éste es un trabajo arduo,
y no siempre se dispone de las fuerzas y el tiempo necesarios
para llevarlo a cabo. En los libros de la serie "Lecciones de
Matemática", precisamente éste es el trabajo realizado por el
autor.
La popularidad de los libros de V. Boss entre los estudiantes y
el profesorado de Rusia es fácil de explicar. En sus libros se
transmite lo que aún no
se ha llegado a asimilar, lo que no se encuentra en otros
libros: visión general, motivación e interreílación. Y lo más
importante: la facilidad con la que
se accede a cualquier tema.
El contenido de todos los libros ha sido planificado
cuidadosamente. Los temas se entrelazan con una técnica
impecable. Las demostraciones extensas han sido comprimidas
hasta obtener unas pocas líneas de razonamientos matemáticos. Es
difícil creer que una sola persona haya sido capaz de cumplir
una tarea de tal envergadura: exponer toda la matemática en tan
sólo 20 tomos de esta clase.
Las "Lecciones de Matemática" de V. Boss constituyen una
excelente y muy completa colección. Como libros de texto, no
siempre se adaptan a las normas pedagógicas tradicionales.
Posiblemente sea esto lo que tanto atrae a los lectores.
* * *
La gran avalancha de información que nos abruma hoy hace que los
instrumentos
del ayer dejen de desempeñar
su función. Por esta razón, es necesario aprender a estudiar
de una nueva forma. La serie "Lecciones de Matemática"
pretende ser un experimento
en esta dirección. El tiempo
será juez de si fue o no acertado.
De todos modos, esta serie es un producto de nueva generación:
las mismas "ruedas", el mismo "volante",
el mismo contenido matemático... pero con un aspecto diferente.
V. Boss
* * *
Libros de la serie "Lecciones de Matemática" de V. Boss publicados ya en ruso:
1. Análisis. 2. Ecuaciones diferenciales. 3. Álgebra lineal. 4.
Probabilidad. Información. Estadística.
5. Análisis funcional. 6. De Diofanto a Turing. 7. Optimización.
8. Teoría de grupos. 9. Funciones
de variable compleja. 10. Búsqueda exhaustiva y algoritmos
efectivos. 11. Ecuaciones de la física
matemática. 12. Contraejemplos y paradojas. 13. Topología. 14.
Teoría de números.
15. Operadores no lineales y puntos fijos
