BOOKS IN EUROPEAN LANGUAGES


 
Cover Маслов В.П., Шведов О.Ю. Метод комплексного ростка в задаче многих частиц и квантовой теории поля
Id: 1023
 
15.9 EUR

Метод комплексного ростка в задаче многих частиц и квантовой теории поля

URSS. 360 pp. (Russian). Hardcover. ISBN 5-8360-0062-X.

В монографии исследуется проблема построения асимптотических решений уравнений для функций, число аргументов которых стремится к бесконечности при стремлении малого параметра к нулю. Данные уравнения возникают в статистической физике и в квантовой теории большого числа полей. Рассмотрена проблема перенормировки квантовой теории поля в гамильтоновом формализме, в котором возникают дополнительные трудности, связанные с расходимостями Штюкельберга и теоремой Хаага. Отмечено, что асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений с малым параметром при операторе дифференцирования и развиваемые в монографии асимптотические методы решения задач статистической физики и квантовой теории поля можно рассмотреть с единой точки зрения, если ввести понятие абстрактного канонического оператора.

Книга рассчитана на научных работников --- специалистов в области асимптотических методов, статистической физики, квантовой теории поля, а также на аспирантов и студентов соответствующих специальностей.


Predislovie

V knige rassmatrivaetsya problema postroeniya priblizhennikh reshenij uravnenij dlya funktsij, chislo argumentov kotorikh stremitsya k beskonechnosti pri stremlenii malogo parametra k nulyu. Dannie uravneniya chasto vstrechayutsya v prilozheniyakh. V to zhe vremya, izvestnie asimptoticheskie metodi [] primenimi tol'ko k uravneniyam dlya funktsij fiksirovannogo chisla argumentov.

V knige razvivaetsya novij asimptoticheskij metod, pozvolyayuschij stroit' approksimatsii dlya funktsij bol'shogo chisla argumentov. Pri etom okazivaetsya, chto razlichnie uravneniya, otvechayuschie razlichnim fizicheskim zadacham, mogut bit' issledovani s pomosch'yu edinogo metoda.

V statisticheskoj fizike chasto issleduetsya zadacha N klassicheskikh chastits, nakhodyaschikhsya vo vneshnem pole i vzaimodejstvuyuschikh mezhdu soboj, pri sleduyuschikh predpolozheniyakh: vneshnij potentsial poryadka edinitsi, a koeffitsient pri potentsiale vzaimodejstviya raven1/N. Dannaya fizicheskaya zadacha otvechaet mnogochastichnomu uravneniyu Liuvillya (uravnenie (9) 3.1 knigi) dlya funktsii plotnosti raspredeleniya veroyatnosti, kotoraya zavisit ot 6N+1 argumentov, odin iz kotorikh igraet rol' vremeni,3N argumentov yavlyayutsya koordinatami chastits,3N -- impul'sami.

Izvestnie metodi issledovaniya etoj problemi pri bol'shikh N [] zaklyuchayutsya v sleduyuschem. Vmesto zadachi o postroenii asimptotiki dlyaN-chastichnoj funktsii raspredeleniya veroyatnosti rassmatrivaetsya zadacha o postroenii approksimatsij dlya tak nazivaemikh k-chastichnikh raspredelenij, poluchayuschikhsya iz N-chastichnoj plotnosti integrirovaniem po vsem argumentam, krome6k+1 (sm. p.3.1.4). Eti chastichnie raspredeleniya udovletvoryayut tsepochke uravnenij BBGKI (Bogolyubova--Borna--Grina--Kirkvuda--Ivona) [] (sm. p.2.1.3). Issledovanie etoj tsepochki uravnenij pozvolyaet postroit' asimptotiku dlya chastichnikh raspredelenij. Eta asimptotika virazhaetsya cherez reshenie izvestnogo v statisticheskoj fizike uravneniya Vlasova. Etu asimptotiku mozhno ispol'zovat' dlya postroeniya approksimatsij srednikh znachenij nablyudaemikh velichin spetsial'nogo vida.

Okazivaetsya, chto po izvestnim approksimatsiyam dlya chastichnikh raspredelenij nel'zya, voobsche govorya, odnoznachno najti approksimatsii pri  dlya srednikh znachenij ot ogranichennikh ravnomerno po N nablyudaemikh obschego vida. Dlya vichisleniya takikh srednikh znachenij neobkhodimo ispol'zovat' approksimatsiyu ne dlya funktsij konechnogo chisla argumentov, a dlya N-chastichnogo raspredeleniya. Asimptotika N-chastichnoj plotnosti ne mozhet bit' najdena s pomosch'yu asimptoticheskogo analiza tsepochki BBGKI, dlya postroeniya takoj asimptotiki neobkhodim printsipial'no novij metod.

Imenno takoj metod i razvivaetsya v monografii. Mi stroim asimptotiku resheniya zadachi Koshi dlya mnogochastichnogo uravneniya Liuvillya. Asimptoticheskaya formula virazhaetsya ne tol'ko cherez reshenie izvestnogo uravneniya Vlasova [], no i cherez resheniya novikh uravnenij. Sootvetstvuyuschie asimptoticheskie formuli privedeni v §3.1 i 3.4 knigi.

Postroennie asimptotiki pozvolyayut po-novomu vzglyanut' na problemu khaosa. So vremen Bol'tsmana v statisticheskoj fizike izvestno predpolozhenie o molekulyarnom khaose, kotoroe zaklyuchaetsya v tom, chto chastitsi yavlyayutsya nezavisimimi, t.e. N-chastichnaya funktsiya plotnosti raspredeleniya veroyatnosti raspadaetsya na proizvedenie odnochastichnikh. Oslablennaya formulirovka etogo predpolozheniya, rassmotrennaya M.Katsem [], zaklyuchaetsya v tom, chto korrelyatsionnie funktsii konechnogo ranga raspadayutsya pri bol'shikh N na proizvedeniya odnochastichnikh funktsij. Eto svojstvo bilo dokazano metodom tsepochek BBGKI. Razvivaemij v monografii metod pozvolyaet ne tol'ko podtverdit' dannij rezul'tat, no i postroit' approksimatsiyu dlya N-chastichnoj plotnosti, kotoraya ravna v nachal'nij moment vremeni proizvedeniyu odnochastichnikh. Okazivaetsya, chto v ostal'nie momenti vremeniN-chastichnaya plotnost' ne blizka k proizvedeniyu odnochastichnikh, t.e. gipoteza o sokhranenii khaosa v sil'nom smisle narushaetsya. Analogichnie approksimatsii postroeni takzhe dlya temperaturnogo kanonicheskogo raspredeleniya Gibbsa v ravnovesnoj statisticheskoj mekhanike.

Pomimo zadach klassicheskoj statisticheskoj mekhaniki, razvivaemij v knige metod postroeniya asimptoticheskikh reshenij mnogochastichnikh uravnenij pozvolyaet rassmatrivat' i zadachi kvantovoj mekhaniki mnogikh chastits i kvantovoj statistiki. Dannie zadachi takzhe issledovalis' ranee [] metodom tsepochek BBGKI [] po analogii s zadachej mnogikh klassicheskikh chastits; stroilis' approksimatsii dlya velichin, virazhayuschikhsya cherez mnogochastichnie funktsii, a ne dlya samikh mnogochastichnikh funktsij. Eti asimptotiki virazhayutsya cherez resheniya izvestnikh uravnenij samosoglasovannogo polya (Khartri i Khartri--Vignera).

V kvantovoj mekhanike sostoyaniya sistemi N chastits zadayutsya v fiksirovannij moment vremeni N-chastichnimi volnovimi funktsiyami -- funktsiyami N argumentov, yavlyayuschikhsya koordinatami chastits. Eti funktsii udovletvoryayut evolyutsionnomu uravneniyu Shredingera. V sluchae, esli vneshnij potentsial poryadka edinitsi, a potentsial vzaimodejstviya mezhdu chastitsami poryadkaO(1/N), evolyutsionnoe uravnenie prinimaet vid formuli (1) 3.1, k nemu primenim razvivaemij v knige metod. Mnogochastichnoe uravnenie Vignera takzhe mozhet bit' issledovano s pomosch'yu etogo metoda. Asimptotiki dlya mnogochastichnoj funktsii, privedennie v §3.2 i 3.3, virazhayutsya ne tol'ko cherez resheniya izvestnikh uravnenij samosoglasovannogo polya, no i cherez resheniya novikh uravnenij. Issledovana problema sokhraneniya khaosa v kvantovom sluchae.

Zadacha o spektre mnogochastichnogo gamil'toniana v kvantovoj mekhanike takzhe yavlyaetsya ves'ma aktual'noj. N.N.Bogolyubovim [] bil najden asimptoticheskij spektr v sluchae, esli vneshnij potentsial dlya sistemi N chastits raven nulyu, a potentsial vzaimodejstviya zavisit tol'ko ot raznosti koordinat chastits. N.N.Bogolyubov pokazal takzhe, chto etot spektr otvechaet yavleniyu sverkhtekuchesti. Razvivaemij v monografii podkhod pozvolyaet stroit' serii asimptoticheskikh sobstvennikh znachenij i sobstvennikh funktsij mnogochastichnogo gamil'toniana i issledovat' vopros o sverkhtekuchesti pri nalichii vneshnego polya. Eti serii postroeni v 3.3.

Problema approksimatsii srednikh znachenij nablyudaemikh velichin rassmotrena v naibolee obschem vide (dlya sluchaya abstraktnoj gamil'tonovoj algebri) v 3.5.

Asimptoticheskij metod, primenimij k postroeniyu priblizhennikh reshenij mnogochastichnikh uravnenij Shredingera, Liuvillya i Vignera, razvivaetsya v glave 2. Asimptoticheskie formuli stroyatsya s pomosch'yu mnogochastichnogo kanonicheskogo operatora, kotorij vvoditsya v 2.2. Dokazatel'stvo asimptoticheskikh formul proizvoditsya v 2.7 (sm. takzhe 5.3) sleduyuschim obrazom: snachala s pomosch'yu formul kommutatsii mnogochastichnogo kanonicheskogo operatora s drugimi operatorami dokazivaetsya, chto postroennie asimptotiki priblizhenno udovletvoryayut mnogochastichnomu uravneniyu, zatem otsenivaetsya obratnij operator s pomosch'yu metoda []. Khotya vse vichisleniya provedeni dlya sluchaya, kogda koeffitsient pri potentsiale vzaimodejstviya stremitsya k nulyu kak1/N, otsenku nevyazki mozhno provesti dlya proizvol'nogo koeffitsienta, i v kazhdom konkretnom sluchae otsenit', mala pogreshnost' ili net.

V glave 5 rassmatrivaetsya esche odin tip mnogochastichnikh uravnenij -- uravnenie s operatornoznachnim simvolom. Eti uravneniya voznikayut pri issledovanii sistem k chastits, vzaimodejstvuyuschikh s rassmotrennoj v glave 3N-chastichnoj sistemoj. Rassmatrivaetsya sluchaj, kogda k ostaetsya fiksirovannim,N stremitsya k beskonechnosti, massa kazhdoj iz k chastits stremitsya k nulyu kak 1/N, vneshnij potentsial dlya etikh chastits poryadka N, potentsial vzaimodejstviya s kazhdoj iz N chastits poryadka edinitsi. Dannaya sistema ne mozhet bit' issledovana dazhe metodom tsepochek BBGKI.

V 5.3 postroeni asimptoticheskie resheniya takikh uravnenij. Pri etom okazivaetsya, chto uravneniem samosoglasovannogo polya yavlyaetsya v dannom sluchae ne izvestnoe uravnenie Khartri, a beskonechnij nabor novikh, bolee slozhnikh uravnenij (nezavisimikh). Odnomu resheniyu lyubogo iz etikh uravnenij otvechaet seriya asimptoticheskikh reshenij mnogochastichnogo uravneniya s operatornoznachnim simvolom. Okazivaetsya takzhe, chto dlya etogo tipa uravnenij svojstvo khaosa nevipolneno dazhe v slabom smisle.

Na pervij vzglyad, postroenie priblizhennikh reshenij mnogochastichnikh uravnenij i kvaziklassicheskoe priblizhenie k uravneniyam kvantovoj mekhaniki yavlyayutsya sovershenno raznimi problemami. Okazivaetsya, odnako, chto mezhdu etimi zadachami suschestvuet ves'ma interesnaya svyaz', kotoraya takzhe rassmotrena v knige.

V oboikh sluchayakh suschestvuet metod postroeniya asimptotik "v slabom smisle", pozvolyayuschij stroit' approksimatsii lish' dlya srednikh znachenij nablyudaemikh velichin spetsial'nogo vida. V teorii kvaziklassicheskogo priblizheniya takim metodom yavlyaetsya podkhod, osnovannij na teoreme Erenfesta, v teorii mnogikh tel -- podkhod, osnovannij na tsepochke BBGKI. Eti metodi pozvolyayut virazit' iskomie velichini cherez (tochnie) resheniya "klassicheskikh" uravnenij, kotorie yavlyayutsya "bolee prostimi", chem pervonachal'nie uravneniya: v sluchae kvaziklassiki eto sistema obiknovennikh differentsial'nikh uravnenij (sistema Gamil'tona) vmesto uravneniya v chastnikh proizvodnikh, v teorii mnogikh chastits eto uravnenie samosoglasovannogo polya na funktsiyu konechnogo chisla argumentov vmesto uravneniya na funktsiyu bol'shogo chisla argumentov.

Odnako metod postroeniya asimptotik "v slabom smisle" ne pozvolyaet stroit' approksimatsii dlya srednikh znachenij ogranichennikh nablyudaemikh velichin obschego vida. Tak, v kvaziklassicheskoj kvantovoj mekhanike suschestvuyut priblizhennie resheniya uravneniya Shredingera tipa "volnovikh paketov". S pomosch'yu teoremi Erenfesta mozhno opredelit', vdol' kakoj klassicheskoj traektorii dvigaetsya etot volnovoj paket, no nel'zya opredelit', kak izmenyaetsya forma etogo volnovogo paketa so vremenem. Analogichno, v teorii mnogikh tel s pomosch'yu metoda BBGKI nel'zya opredelit', approksimiruetsya li mnogochastichnaya funktsiya proizvedeniem odnochastichnikh.

Takim obrazom, dlya postroeniya asimptotik "v sil'nom smisle" neobkhodimi podkhodi, otlichayuschiesya ot teoremi Erenfesta v kvaziklassicheskoj kvantovoj mekhanike i ot metoda BBGKI v statisticheskoj fizike. V kvantovoj mekhanike takim podkhodom yavlyaetsya teoriya kompleksnogo rostka, kotoraya pozvolyaet opredelit' ne tol'ko klassicheskuyu traektoriyu, vdol' kotoroj dvizhetsya volnovoj paket, no i izmenenie formi volnovogo paketa so vremenem. Dlya resheniya poslednego voprosa neobkhodimo ispol'zovat' resheniya uravnenij, otlichayuschikhsya ot klassicheskoj sistemi Gamil'tona. Analogom teorii kompleksnogo rostka yavlyaetsya razvivaemij v knige metod postroeniya asimptotik reshenij mnogochastichnikh uravnenij, kotorij takzhe pozvolyaet stroit' approksimatsiyu dlya srednikh znachenij nablyudaemikh velichin obschego vida, trebuya ispol'zovaniya reshenij uravnenij, otlichayuschikhsya ot izvestnikh uravnenij samosoglasovannogo polya.

Pomimo sistem, kvaziklassicheskikh po vsem peremennim, v kvantovoj mekhanike rassmatrivayutsya takzhe sistemi, kvaziklassicheskie po odnim peremennim i "kvantovie" po drugim []. Sistema Gamil'tona dlya takikh sistem yavlyaetsya "mnogoznachnoj": kazhdoe iz sobstvennikh znachenij operatornoznachnogo simvola operatora Gamil'tona yavlyaetsya funktsiej Gamil'tona. Analogom takikh kvantovomekhanicheskikh sistem yavlyayutsya mnogochastichnie sistemi, rassmotrennie v glave 5.

Voznikaet vopros, mozhno li vvesti obschie ponyatiya, chastnimi sluchayami kotorikh yavlyayutsya ponyatiya, voznikayuschie v teorii kvaziklassicheskikh asimptotik i v teorii postroeniya priblizhennikh reshenij mnogochastichnikh uravnenij. Okazivaetsya, chto takoe obobschenie vozmozhno. Ono rassmotreno v glave 1, sm. takzhe [].

Vvoditsya novoe ponyatie abstraktnogo kanonicheskogo operatora, chastnimi sluchayami kotorogo yavlyayutsya kanonicheskij operator, ispol'zuemij v teorii kompleksnogo rostka v tochke, i mnogochastichnij kanonicheskij operator, ispol'zuemij dlya postroeniya asimptotik reshenij mnogochastichnikh uravnenij. Okazivaetsya, chto kazhdomu abstraktnomu kanonicheskomu operatoru mozhno odnoznachno sopostavit' fazovoe prostranstvo s simplekticheskoj strukturoj. Dlya teorii kvaziklassicheskogo priblizheniya takim fazovim prostranstvom yavlyaetsya2n-mernoe veschestvennoe linejnoe prostranstvo\{(p,q)\mid p,q\in {\Bbb R}^{n} \}s simplekticheskoj strukturojdp\land dq, dlya zadachi mnogikh tel -- edinichnaya sfera v kompleksnom gil'bertovom prostranstve.

Okazivaetsya, chto mozhno ustanovit' universal'nie tozhdestva na asimptoticheskie resheniya abstraktnikh uravnenij. Tozhdestva mogut bit' primeneni kak k asimptotikam, postroennim s pomosch'yu traditsionnoj teorii kompleksnogo rostka v konechnomernoj kvantovoj mekhanike, tak i k asimptotikam resheniya mnogochastichnikh uravnenij, kotorie polucheni s pomosch'yu nashego metoda. Eti tozhdestva ustanovleni v glave 1 monografii. Ispol'zuya tol'ko poluchennie tozhdestva (i ne ispol'zuya dazhe evolyutsionnie uravneniya dvizheniya!), mozhno poluchit' dostatochno shirokij klass rezul'tatov (v chastnosti, mnogie izvestnie rezul'tati, otnosyaschiesya k traditsionnoj teorii kvaziklassicheskogo priblizheniya, v tom chisle dlya zadach s operatornoznachnim simvolom), a takzhe najti spektr mnogochastichnogo gamil'toniana, reshit' voprosi o tom, imeet li mesto sverkhtekuchest', vipolnyaetsya li svojstvo sokhraneniya khaosa v sil'nom smisle i t.d. V chastnosti, nesokhranenie khaosa okazivaetsya pryamim sledstviem nelinejnosti uravneniya Vlasova. Otmetim, chto neposredstvennaya proverka tozhdestv dlya uravnenij s operatornoznachnim simvolom yavlyaetsya netrivial'noj zadachej.

Tozhdestva glavi 1 pozvolyayut opredelit' ponyatie formal'nogo asimptoticheskogo resheniya uravnenij dvizheniya kak funktsii, dlya kotoroj vipolneni tozhdestva. Eto opredelenie ne ispol'zuet samikh uravnenij dvizheniya. Poetomu dannoe ponyatie mozhno ispol'zovat' dlya razvitiya novogo podkhoda k probleme asimptoticheskogo kvantovaniya, kotoraya intensivno issleduetsya v poslednie godi []. Analogichnij podkhod mozhet bit' ispol'zovan takzhe dlya postroeniya novoj aksiomatiki relyativistskoj kvantovoj teorii polya.

Vse rezul'tati knigi polucheni dvumya sposobami: iskhodya iz poluchennikh universal'nikh tozhdestv (etot sposob opisan bolee podrobno) i pryamoj podstanovkoj asimptoticheskoj formuli v uravnenie (opisan menee podrobno). Poetomu monografiya ne povtoryaet opublikovannie stat'i avtorov [, --, --51, --, --,,, ], a dopolnyaet ikh. V chastnosti, v 1.5 mi illyustriruem teoriyu abstraktnogo kanonicheskogo operatora na primere metoda kompleksnogo rostka v teorii kvaziklassicheskogo priblizheniya, a v §2.3--2.6 -- na primere postroeniya formal'nikh asimptoticheskikh reshenij v zadache mnogikh tel.

V glave 4 rassmotreno nekotoroe obobschenie predlozhennogo vo vtoroj glave metoda, kotoroe primenimo i dlya sistem s peremennim chislom chastits. Asimptotiki mogut bit' evristicheski postroeni sleduyuschim obrazom: mozhno zapisat' iskhodnie (vtorichno-kvantovannie) uravneniya cherez operatori rozhdeniya i unichtozheniya, vibrat' dlya etikh operatorov takoe predstavlenie, v kotorom vtorichno-kvantovannoe uravnenie imelo bi vid beskonechnomernogo obobscheniya uravneniya Shredingera, i primenit' k preobrazovannomu uravneniyu teoriyu lagranzhevikh (izotropnikh) mnogoobrazij s kompleksnim rostkom []. K sozhaleniyu, traditsionnaya traktovka etoj teorii ne ochen' udobna dlya obobscheniya na beskonechnomernij sluchaj, poetomu v §4.3--4.4 privedeno otlichayuscheesya ot traditsionnogo izlozhenie metoda kompleksnogo rostka na lagranzhevom mnogoobrazii. Dannij podkhod k teorii lagranzhevikh mnogoobrazij s kompleksnim rostkom osnovan na postroenii asimptotik, otvechayuschikh izotropnim mnogoobraziyam, v vide superpozitsij asimptotik tipa volnovikh paketov. Superpozitsii volnovikh paketov, yavlyayuschikhsya asimptoticheskimi resheniyami kvantovogo uravneniya, rassmatrivalis' ranee v rabote [], superpozitsii gaussovskikh volnovikh paketov fiksirovannoj formi -- v rabote []. V §4.3--4.4 rassmotreni superpozitsii proizvol'nikh volnovikh paketov.

Okazivaetsya, chto ponyatie lagranzhevogo mnogoobraziya s kompleksnim rostkom mozhet bit' obobscheno i na obschij sluchaj abstraktnogo kanonicheskogo operatora. V 4.5 (sm. takzhe []) opredelyayutsya formal'nie asimptoticheskie resheniya uravnenij dvizheniya, otvechayuschie lagranzhevomu mnogoobraziyu s kompleksnim rostkom.

V 4.7 privoditsya obobschenie teorii lagranzhevikh mnogoobrazij s kompleksnim rostkom na beskonechnomernij sluchaj. Pri spetsial'nom vibore odnomernogo izotropnogo mnogoobraziya postroennie asimptotiki perekhodyat v asimptotiki glavi 2. Stroyatsya asimptotiki v prostranstve Foka, otvechayuschie konechnomernim izotropnim mnogoobraziyam s beskonechnomernimi kompleksnimi rostkami. Pri spetsial'nom vibore odnomernogo izotropnogo mnogoobraziya postroennie asimptotiki perekhodyat v asimptotiki glavi 2. V kachestve esche odnogo primera prilozheniya postroennoj teorii rassmotrena zadacha dvukh tipov chastits, prichem chislo chastits kazhdogo tipa veliko. Stroyatsya dvumernie invariantnie izotropnie mnogoobraziya i otvechayuschie im serii asimptoticheskikh sobstvennikh znachenij i sobstvennikh funktsij.

Primenyaemij k mnogochastichnim uravneniyam podkhod mozhno nazvat' beskonechnomernim obobscheniem teorii lagranzhevikh mnogoobrazij s kompleksnim rostkom. Otmetim, chto teoriya kompleksnogo rostka, kotoraya chasto primenyaetsya v teorii differentsial'nikh uravnenij dlya funktsij konechnogo chisla argumentov, bila obosnovana tol'ko v konechnomernom sluchae. V monografii razvivaetsya beskonechnomernoe obobschenie teorii kompleksnogo rostka.

Esche odnim prilozheniem beskonechnomernoj teorii lagranzhevikh mnogoobrazij s kompleksnim rostkom yavlyaetsya postroenie asimptotik v kvantovoj teorii polya. Odnako strogoe obosnovanie etikh asimptotik natikaetsya na problemu pridaniya matematicheskogo smisla samoj kvantovoj teorii polya [, --]. Bez resheniya etoj problemi, podkhodi k kotoroj bili razrabotani tol'ko v chastnikh sluchayakh [], nevozmozhno i dumat' ob obosnovanii evristicheskikh asimptoticheskikh formul, kotorie takzhe stroyatsya v monografii.

V glave 6 rassmatrivaetsya kvaziklassicheskaya teoriya polya.

V 6.2 stroyatsya serii asimptoticheskikh sobstvennikh znachenij i sobstvennikh funktsij v skalyarnoj teorii polya i kvantovoj elektrodinamike. V chastnom sluchae asimptoticheskie sobstvennie znacheniya perekhodyat v poluchaemie s pomosch'yu izvestnogo metoda kvantovaniya v okrestnosti solitonov; postroeni takzhe asimptoticheskie sobstvennie funktsii.

V 6.3 rassmotreni uravneniya, otvechayuschie sisteme kchastits, vzaimodejstvuyuschikh s kvantovannim polem. Pokazano, chto pri opredelennikh sootnosheniyakh na parametri primenima operatornoznachnaya teoriya kompleksnogo rostka. Postroennie asimptotiki ne mogut bit' polucheni s pomosch'yu metodov tipa kvantovaniya v okrestnosti solitonov [, --, ] i teorii protsessov v sil'nikh vneshnikh polyakh [].

V kvantovoj teorii polya voznikayut raskhodimosti. Dlya ikh ustraneniya primenyaetsya protsedura perenormirovki. Rassmotren vopros o tom, kak proyavlyayutsya dannie raskhodimosti v glavnom poryadke kvaziklassicheskogo razlozheniya.

Metodi glavi 2 mogut bit' primeneni takzhe k sistemam bol'shogo chisla kvantovannikh polej. V glave 7 (sm. takzhe []) dlya takikh sistem postroeni spektral'nie serii, kotorie ne mogut bit' najdeni s pomosch'yu izvestnikh asimptoticheskikh metodov (1/N-razlozheniya, kvantovaniya v okrestnosti solitonov). Provedena protsedura perenormirovki spektra.

Avtori iskrenne priznatel'ni I.Ya.Aref'evoj, V.P.Belavkinu, V.V.Belovu, E.M.Vorob'evu, V.L.Dubnovu, V.V.Kucherenko, V.E.Nazajkinskomu, O.N.Najde, Yu.B.Orochko, L.D.Faddeevu, A.M.Chebotarevu, V.M.Chetverikovu i D.V.Shirkovu, s kotorimi v raznoe vremya obsuzhdalis' temi etoj knigi.

Avtori blagodaryat takzhe E.A.Dergachevu, E.V.Zapletinu, O.S.Smirnovu i M.V.Chesalovu, kotorie nabrali etu knigu v formate.


Oglavlenie
Predislovie
Spisok oboznachenij
Glava 1.Abstraktnij kanonicheskij operator i simplekticheskaya geometriya
 § 1.Vvedenie
 § 2.Abstraktnij kanonicheskij operator i indutsirovannie im geometricheskie strukturi na fazovom prostranstve
 § 3.Abstraktnij kompleksnij rostok i postroenie formal'nikh asimptoticheskikh reshenij uravnenij dvizheniya
 § 4.Asimptotika resheniya zadachi Koshi
 § 5.Teoriya kompleksnogo rostka v tochke v konechnomernoj kvantovoj mekhanike
  Prilozhenie 1.A. Klassicheskaya i kvantovaya mekhanika: osnovnie opredeleniya
  Prilozhenie 1.B. Nekotorie svedeniya iz differentsial'noj geometrii
Glava 2.Mnogochastichnij kanonicheskij operator i ego svojstva
 § 1.Vvedenie
 § 2.Opredelenie mnogochastichnogo kanonicheskogo operatora
 § 3.Geometricheskie strukturi na odnochastichnom prostranstve, indutsirovannie mnogochastichnim kanonicheskim operatorom
 § 4.Kanonicheskie i sobstvennie kanonicheskie preobrazovaniya mnogoobraziya ${\fam \tw@ M}$
 § 5.Kompleksnij rostok
 § 6.Formal'nie asimptoticheskie resheniya uravnenij dvizheniya
 § 7.Kommutatsiya kanonicheskogo operatora s gamil'tonianom i osnovnaya teorema
  Prilozhenie 2.A. Metod vtorichnogo kvantovaniya
  Prilozhenie 2.B. Nekotorie svojstva edinichnoj sferi v prostranstve $L^2$
  Prilozhenie 2.V. Dokazatel'stvo suschestvovaniya reshenij nekotorikh uravnenij
Glava 3.Asimptoticheskie resheniya zadachi mnogikh tel
 § 1.Vvedenie
 § 2.Asimptoticheskie formuli dlya mnogochastichnoj matritsi plotnosti
 § 3.Asimptoticheskie resheniya $N$-chastichnogo uravneniya Shredingera pri $N\to \infty $ i sverkhtekuchest'
 § 4.Asimptotika resheniya $N$-chastichnogo uravneniya Liuvillya pri $N \to \infty $ i narushenie gipotezi khaosa dlya funktsii plotnosti
 § 5.Asimptoticheskie resheniya uravneniya, otvechayuschego uniformizatsii funktsionala na abstraktnoj gamil'tonovoj algebre
  Prilozhenie 3.A. Suschestvovanie reshenij uravnenij Khartri i Rikkati
Glava 4.Metod kompleksnogo rostka v prostranstve Foka
 § 1.Vvedenie
 § 2.Kompleksnij rostok v tochke v prostranstve Foka
 § 3.Superpozitsiya volnovikh paketov v konechnomernoj kvantovoj mekhanike
 § 4.Kanonicheskij operator, otvechayuschij lagranzhevomu mnogoobraziyu s kompleksnim rostkom
 § 5.Superpozitsiya volnovikh funktsij, otvechayuschikh abstraktnomu kanonicheskomu operatoru
 § 6.Osobennosti postanovki zadachi Koshi v sluchae topologicheski netrivial'nogo izotropnogo mnogoobraziya
 § 7.Asimptoticheskie formuli v prostranstve Foka, otvechayuschie konechnomernim izotropnim mnogoobraziyam
  Prilozhenie 4.A. Videlenie tsiklicheskoj peremennoj i postroenie tunnel'noj asimptotiki
Glava 5.Asimptoticheskie metodi v zadachakh s operatornoznachnim simvolom
 § 1.Zadachi s operatornoznachnim simvolom v kvantovoj mekhanike
 § 2.Abstraktnij kanonicheskij operator v zadachakh s operatornoznachnim simvolom
 § 3.Uravneniya s operatornoznachnim simvolom v zadache mnogikh chastits
Glava 6.Kvaziklassicheskaya teoriya polya v gamil'tonovom formalizme
 § 1.Vvedenie
 § 2.Lagranzhevi mnogoobraziya s kompleksnim rostkom v kvantovoj teorii polya
 § 3.Uravneniya s operatornoznachnim simvolom v kvantovoj teorii polya
 § 4.Trudnosti gamil'tonovoj teorii polya
 § 5.Obschaya skhema perenormirovki gamil'tonovoj teorii polya
 § 6.Preobrazovanie Faddeeva i ustranenie raskhodimostej Shtyukel'berga
 § 7.$S$-matritsa Bogolyubova i ee primenenie k perenormirovke uravnenij dvizheniya
 § 8.Perenormirovka v kvaziklassicheskoj teorii polya
 § 9.Invariantnost' uslovij na kompleksnij rostok
Glava 7.Asimptoticheskie metodi dlya sistem bol'shogo chisla polej
 § 1.Vvedenie
 § 2.$O(N)$-simmetrichnij angarmonicheskij ostsillyator kak analog mnogopolevoj sistemi
 § 3.Formalizm tretichnogo kvantovaniya i kvaziklassicheskoe priblizhenie
 § 4.O perenormirovke klassicheskikh uravnenij
 § 5.Asimptoticheskij spektr gamil'toniana bol'shogo chisla polej
Zaklyuchitel'nie zamechaniya
Spisok osnovnoj literaturi
Spisok dopolnitel'noj literaturi
Predmetnij ukazatel'