| Предисловие авторов к первому изданию |
| Обозначения |
| Глава I. | Общие сведения |
| | § 1.1. | Тригонометрические ряды |
| | § 1.2. | Тригонометрические ряды и гармонические функции |
| | § 1.3. | Тригонометрические ряды Фурье |
| | § 1.4. | Мера и интеграл |
| | § 1.5. | Классы Lp |
| | § 1.6. | Пространство Lp и его метрика |
| | § 1.7. | Сходимость в Lp (сильная сходимость) |
| | § 1.8. | Свертка двух периодических функций |
| | § 1.9. | Ортогональные системы в L2 |
| | § 1.10. | Примеры ортогональных систем |
| | § 1.11. | Некоторые дальнейшие общие сведения |
| Глава II. | Ряды Фурье в гильбертовом пространстве |
| | § 2.1. | Общие ряды Фурье в L2 |
| | § 2.2. | Теорема Рисса – Фишера |
| | § 2.3. | Полные системы и теорема Парсеваля |
| | § 2.4. | Теорема Мерсера |
| | § 2.5. | Замкнутость и полнота |
| | § 2,6. | Полнота тригонометрической системы |
| | § 2.7. | Теоремы Парсеваля и Рисса – Фишера для тригонометрических рядов |
| | § 2.8. | Некоторые теоремы о других системах |
| | § 2.9. | Теорема Вейерштрасса |
| Глава III. | Дальнейшие свойства тригонометрических рядов Фурье |
| | § 3.1. | Элементарные свойства коэффициентов Фурье |
| | § 3.2. | Теорема Римана – Лебега |
| | § 3.3. | Некоторые простые неравенства |
| | § 3.4. | Порядок величины коэффициентов Фурье |
| | § 3.5. | Функции ограниченной вариации |
| | § 3.6. | Некоторые элементарные формулы |
| | § 3.7. | Один специальный тригонометрический ряд |
| | § 3.8. | Интегрирование рядов Фурье |
| | § 3.9. | Одна элементарная теорема о сходимости |
| | § 3.10. | Ряды с убывающими коэффициентами |
| | § 3.11. | Ряды с убывающими коэффициентами (продолжение) |
| | § 3.12. | Явление Гиббса |
| Глава IV. | Сходимость рядов Фурье |
| | § 4.1. | Введение |
| | § 4.2. | Проблема сходимости для рядов Фурье |
| | § 4.3. | Условия непрерывности в точке |
| | § 4.4. | Признак Дини |
| | § 4.5. | Функции ограниченной вариации; признак Жордана |
| | § 4.6. | Признак Лебега |
| | § 4.7. | Другой признак равномерной сходимости |
| | § 4.8. | Сопряженный ряд |
| | § 4.9. | Проблема сходимости для сопряженного ряда |
| | § 4.10. | Критерий для сходимости сопряженного ряда |
| | § 4.11. | Порядок величин sn(theta) и ^sn(theta) |
| | § 4.12. | Расходимость в точке непрерывности |
| | § 4.1З. | Функции Лебега ортонормированной системы |
| | § 4.14. | Константы Лебега тригонометрической системы (T) |
| Глава V. | Суммируемость рядов Фурье |
| | § 5.1. | Введение |
| | § 5.2. | Линейные и регулярные методы суммирования |
| | § 5.3. | Методы (C, 1) и A |
| | § 5.4. | A-методы и их ядра |
| | § 5.5. | Суммируемость ряда Фурье в точке непрерывности или скачка |
| | § 5.6. | Суммируемость почти всюду |
| | § 5.7. | (C, 1)-суммируемость рядов Фурье |
| | § 5.8. | (C, 1)-суммируемость сопряженных рядов |
| | § 5.9. | Суммируемость (A) |
| | § 5.10. | A-суммируемость сопряженных рядов |
| | § 5.11. | Некоторые приложения теорем 70–76 |
| | § 5.12. | Продифференцированные ряды от рядов Фурье |
| Глава VI. | Приложения теорем главы V |
| | § 6.1. | Введение |
| | § 6.2. | Расходящийся почти всюду ряд Фурье |
| | § 6.3. | Ряды Фурье с положительными коэффициентами |
| | § 6.4. | Еще одна теорема Колмогорова |
| | § 6.5. | Сильная суммируемость рядов Фурье |
| | § 6.6. | Еще один метод суммирования |
| | § 6.7. | Приложения |
| | § 6.8. | Существование сопряженной функции |
| | § 6.9. | Множители сходимости в рядах Фурье |
| | § 6.10. | Теорема Куттнера |
| Глава VII. | Общие тригонометрические ряды |
| | § 7.1. | Общие сведения |
| | § 7.2. | Коэффициенты сходящегося тригонометрического ряда |
| | § 7.3. | Метод суммирования Римана |
| | § 7.4. | Обобщенная вторая производная непрерывной функции |
| | § 7.5. | Одна теорема о выпуклых функциях |
| | § 7.6. | Теоремы Кантора и Дю Буа Реймонда |
| | § 7.7. | Неограниченные функции. Теорема Валле-Пуссена |
| | § 7.8. | Обобщения |
| Примечания |
Предисловие авторов к первому изданию
В основу этой книги положены лекции, которые каждый
из нас читал в Кембридже и в других местах. По рядам
Фурье существует много книг, но мы надеемся, что найдется
место еще для одной, написанной в современном духе,
достаточно сжатой, чтобы быть включенной в эту серию,
и достаточно полной, чтобы служить введением к известной
книге Зигмунда.
Мы не писали эту книгу для физиков или для начинающих;
она рассчитана на математиков, в первую очередь
интересующихся теорией и имеющих известную подготовку,
В частности, мы предполагаем знакомство с элементами лебеговой
теории интегрирования: невозможно без нее как
следует понять теорию рядов Фурье, а опыт показывает, что
она вполне под силу каждому серьезному студенту. Все
необходимые для этого сведения могут быть вполне и легко
почерпнуты из глав X–XII "Теории функций" Титчмарша.
Что же касается теории тригонометрических рядов, то наша
книга формально содержит все необходимое, однако мы сознаем,
что практически все наши читатели будут уже иметь
некоторое знакомство с предметом (хотя бы с основным
содержанием XIII главы книги Титчмарша).
Мы, естественно, вынуждены были опустить многое
из того, что хотели бы включить в эту книгу. В частности,
нам не хватило места для неравенства Юнга и Хаусдорфа,
для теоремы Марселя Рисса о сопряженных рядах, для теорем
о суммировании в смысле Чезаро общего порядка,
а также для теорем единственности для суммируемых рядов.
Мы не приводим также результатов, относящихся к специальным
рядам, за исключением нескольких, потребовавшихся нам
для иллюстрации общей теории.
Примечания в конце книги не являются систематическими.
Мы поместили лишь те ссылки и комментарии, которые
мы могли делать кратко и которые, как нам казалось, будут
полезны. В частности, мы не пытались дать полное представление
об истории предмета: Эйлер, сам Фурье, Пуассон
и Дирихле едва упоминаются в этой книге. Совершенно невозможно
в очерке типа этой книги воздать должное этим
великим математикам, создавшим теорию рядов Фурье.
Мы выражаем благодарность мисс С.М.Эдмондс,
д-ру В. X. Дж.Фуксу, д-ру А.Дж. Макинтайру
и д-ру А.К.Оффорду за помощь при чтении корректур
и многие ценные замечания.
Кембридж и Абердин,
сентябрь 1943
Г. X. Харди, В.В.Рогозинский
Харди Годфри Гарольд Выдающийся английский математик, профессор Кембриджского и Оксфордского университетов. Известен своими исследованиями по теории чисел и теории функций. Большинство работ выполнил совместно с Дж. Литлвудом. В теории чисел занимался диофантовыми приближениями и, в частности, вопросами распределения дробных долей, аддитивной теорией чисел, теорией простых чисел и теорией дзета-функции. В теории функций занимался теорией тригонометрических рядов и исследованием неравенств. Ряд трудов посвящен теории интегральных преобразований и интегральных уравнений. Ему принадлежат также работы по генетике. Член Лондонского королевского общества, иностранный почетный член Академии наук СССР.
