Воевода О.Д., Савенко О.Ю. Некоторые проблемы геодинамики:
Вычислительная сейсмология

Оглавление

Contens

Анонс к части I

O.D. Voevoda. Some prodlems in Earth dynamics

This work is concerned with the problem of describing how the Earth's material can deform in response to possible earth motions. We derive equations applicable to the internal and the internal problem in the dynamics of an earth that is interacting with other bodies by the law of gravitation. The internal problem determines mutual motions of points in the material of the body, while the external problem determines motions of the body as a whole. All the equations determine the Earth's motions relative to its time-averaged reference motions. It is shown that the Earth as a whole can move as an undeformable body when considered on the average over time. We provide an example by examining the effects of earthquake ruptures on the Earth's motion.

О.Д. Воевода. Некоторые вопросы динамики Земли

В работе рассмотрена задача описания способности материала Земли деформироваться на её возможные движения. Проведены вывод и анализ уравнений внутренней и внешней задач динамики Земли, которая взаимодействует с другими телами в соответствии с законом тяготения. Внутренняя задача определяет взаимные движения точек материала тела. Внешняя задача определяет движения тела как целого. Все уравнения определяют движения Земли относительно её средних по времени отсчётных движений. Показано, что в среднем по времени Земля в целом может двигаться как недеформируемое тело. В качестве примера рассмотрено влияние очагов землетрясений на движения Земли.

Введение

Гравитационное взаимодействие Земли с другими космическими телами проявляется в изменении положения центра масс Земли в пространстве, вращении Земли как целого и изменении взаимного положения точек материала Земли.

Результаты исследований движений Земли опубликованы в очень большом количестве журнальных статей и книг. При отборе цитируемой литературы использован принцип минимальной достаточности. В список литературы включены в основном те публикации, которые имеют непосредственное отношение к содержанию настоящей работы.

Основные сведения о движениях Земли и различных способах их теоретического описания представлены, например, в книгах.

Общим для всех движений Земли является то, что они реализуются в протяженном деформируемом теле с внутренней структурой. Это тело взаимодействует с другими аналогичными телами в соответствии с законом тяготения. Задача геодинамики состоит в описании взаимосвязи всех движений Земли. В силу сложности объекта исследования, для решения этой задачи используются различные модели Земли.

Простейшей моделью Земли является материальная точка, которая движется в гравитационном поле других материальных точек. Более общей является модель Земли в виде протяженного тела, которое занимает часть пространства. Теория движения такой Земли рассматривалась в рамках моделей недеформируемого или деформируемого тел.

В теориях движения Земли как недеформируемого тела основное внимание было сосредоточено на исследовании вращения Земли. Основу теории движений недеформируемой Земли составляет уравнение Эйлера. Это уравнение используется в теории систем ориентации и в механике космических аппаратов.

Уравнение Эйлера определяет баланс момента импульса недеформируемого тела постоянной массы. Это уравнение позволяет найти вектор угловой скорости вращения Земли, если известен тензор инерции Земли и момент внешних гравитационных сил относительно центра масс Земли. Из уравнения Эйлера следует, что ориентация Земли в пространстве определяется фигурой Земли, распределением плотности внутри Земли и гравитационным взаимодействием Земли с другими космическими телами.

В теории двмжений недеформируемой Земли ее тензор инерции считается известной величиной. Данные о тензоре инерции Земли, т.е. о ее фигуре и внутреннем строении, получены методами небесной механики, геодезии, гравиметрии и сейсмологии. Заметим, что процесс распространения волн не совместим с моделью недеформируемого тела. Поэтому в задачах теории движений недеформируемой Земли формально недопустимо использовать данные сейсмологии для уточнения модели внутреннего строения Земли.

Современная теория движений эллипсоидальной недеформируемой Земли в гравитационном поле двух материальных точек – Солнца и Луны представлена в работах Х.Киношита с соавторами. Результаты этих работ с высокой точностью соответствуют данным наблюдений о вращении Земли.

Необходимо отметить работы В.А.Фока в которых получены уравнения внутренней и внешней задач динамики жидких или газовых протяженных тел. Эти тела взаимодействуют между собой в соответствии с законом тяготения. это взаимодействие проявляется в виде изменения положения центра масс тела в пространстве и в виде вращения тела как целого относительно мгновенной оси вращения, которая проходит через центр масс тела. Предполагается, что тело в целом двигается "наподобие" недеформируемого тела.

В работах  найдена полная система уравнений внешней задачи динамики N таких тел. Эта система уравнений устанавливает взаимную связь орбитального и вращательного движений каждого из недеформируемых тел. Поэтому угловая скорость вращения протяженного тела зависит от положения центра масс тела на орбите. По-видимому, работы  были незамечены геофизиками.

Анализ работ  позволяет предположить, что теория движений Земли как недеформируемого тела справедлива для описания достаточно медленных изменений ориентации Земли в пространстве. Характерная длительность таких изменений велика по сравнению с периодом вращения Земли относительно своего центра масс.

Одновременно с развитием теории движений недеформируемой Земли происходило и развитие теории движений деформируемой Земли. Значительные успехи были достигнуты в теории распространения сейсмических волн в Земле. До настоящего времени предпринимаются попытки анализа взаимосвязи движений деформируемого материала Земли с ее движениями как целого. Основное внимание уделяется теории движений деформируемой Земли.

Вращение деформируемой Земли как целого относительно своего центра масс определяется уравнением Лиувилля. Это уравнение определяет баланс момента импульса деформируемого тела постоянной массы. Уравнение Лиувилля связывает изменение во времени вектора угловой скорости вращения Земли и ее тензора инерции с моментом внешних гравитационных сил относительно центра масс Земли. Из уравнения Лиувилля следует, что ориентация Земли в пространстве зависит не только от фигуры Земли, ее внутреннего строения и гравитационного взаимодействия с другими космическими телами, но и от способности материала Земли деформироваться.

Тензор инерции деформируемой Земли зависит от времени в связанной с Землей системе координат. Эта зависимость определяется физической природой тех процессов в Земле, которые сопровождаются изменениями взаимных положений точек ее материала. Эти изменения могут быть как быстрыми, так и медленными.

Быстрые изменения угловой скорости вращения Земли, ее тензора инерции и положения центра масс могут быть вызваны возникновением и развитием очагов землетрясений. Медленные изменения угловой скорости вращения Земли, ее тензора инерции и положения центра масс могут быть связаны с долговременными глобальными движениями в недрах Земли, формированием ее рельефа и тому подобными процессами.

По определению, угловая скорость вращения Земли, ее тензор инерции и положение центра масс есть интегральные характеристики Земли. Это значит, что различные локальные движения материала Земли могут вызвать одинаковые изменения указанных интегральных характеристик Земли. Поэтому анализ только уравнения Лиувилля не позволяет однозначно установить, какие из возможных движений материала Земли реализуются в действительности. Вследствие этого, естественным образом, возникает задача согласованного описания локальных движений материала Земли и ее движений как целого. Необходимость анализа такой задачи была отчетливо сформулирована в работах М.С.Молоденского.

Для описания взаимной связи локальных движений Земли и её движений как целого совместно с уравнением Лиувилля используется уравнение Навье. В общем случае это уравнение определяет динамические изменения взаимного положения точек материала деформируемого тела. Совместное использование уравнения динамики деформируемого тела и уравнений его движения как целого в принципе позволяет построить теорию возможных движений деформируемой Земли.

Достаточно полное представление о современном состоянии этой теории можно получить из работ Г.Морица и А.Мюллера, М.С.Молоденского, Х.Гетино и Х.Феррандиса, С.М.Молоденского, Т.Сосао и Е.Гроте. Подробный критический анализ различных вариантов теории движений деформируемой Земли проведен В.Дехантом с соавторами.

Естественно, что любые движения деформируемого тела можно описать только относительно некоторого начального (отсчетного) состояния этого тела. Вообще говоря, отсчетное состояние тела может быть как гипотетическим, так и реализующимся в действительности. Содержательный анализ понятия "отсчетное состояние" тела можно найти в книгах.

С одной стороны, выбор модели отсчетного состояния Земли должен обеспечить возможность эффективного формального построение теории движений Земли. С другой стороны, для получения содержательных результатов модель отсчетного состояния Земли должна быть физически определенной. Это значит, что характеристики этой модели, хотя бы в принципе, должны определяться из соответствующих наблюдений или экспериментов. Таким образом, рациональный выбор модели отсчетного состояния Земли является существенным элементом теории ее движения.

В задачах геодинамики отсчетное состояние Земли определяется либо моделью недеформируемого тела, либо моделью гидростатически равновесного состояния тела. Очевидно, что недеформируемое состояние Земли не реализуется в действительности. Гидростатически равновесное состояние может реализоваться в стационарно вращающемся жидком или газовом шаре, центр масс которого двигается без ускорения. В гидростатически равновесном состоянии может находиться и твердый деформируемый шар под действием только его собственной гравитации. Перечисленные условия существования гидростатически равновесного состояния также не реализуются в действительности.

Ранее было отмечено, что основу любой задачи геодинамики должна составлять система согласованных друг с другом уравнений движения протяженного деформируемого тела, которое взаимодействует с другими телами в соответствии с законом тяготения.

Такие уравнения, по меньшей мере, должны удовлетворять следующим требованиям:

Первое, при пренебрежении способностью материала тел деформироваться эти уравнения должны сводиться к известным уравнениям движения системы недеформируемых тел.

Второе, если тела очень удалены друг от друга, то эти же уравнения должны сводиться к уравнениям движения системы материальных точек.

Третье, уравнения должны описывать движения деформируемого тела относительно такого отсчетного состояния, которое, хотя бы в принципе, может реализоваться в действительности.

Перечисленные требования сохраняют сущность движения взаимодействующих друг с другом тел, обеспечивают преемственность различных теорий и возможность корректного сравнения их результатов с наблюдаемыми закономерностями движения Земли.

По-видимому, задаче построения и анализа согласованной (в указанном выше смысле) системы уравнений движения Земли не уделялось достаточного внимания. Это обстоятельство не поддается какому-либо рациональному объяснению.

Для получения согласованной системы уравнений движения Земли целесообразно использовать метод моментов.

Фактически, метод моментов был применен в упомянутых выше работах В.А.Фока. Эффективность этого метода была продемонстрирована в теории фигур равновесия вращающихся жидких или газовых протяженных тел. Попытка применения метода моментов для вывода уравнений движения твердой деформируемой Земли была предпринята в работе автора. В настоящей работе эта попытка реализована последовательно и полно.

В первой главе приведен вывод и анализ уравнений движения протяженного деформируемого тела, которое взаимодействует с аналогичными телами в соответствии с законом тяготения. В отсчётном состоянии тело является недеформируемым. Подробно рассмотрен случай шарообразного тела, которое удалено от других аналогичных тел. Предполагается, что в материале тела реализуются малые перемещения и деформации. Движения такого тела представлены как суперпозиция движений недеформируемого отсчетного тела и тех движений, которые обусловлены способностью материала тела деформироваться.

Получены уравнения внутренней и внешней задач динамики деформируемого тела. При пренебрежении способностью материала тела деформироваться, эти уравнения сводятся к уравнениям движения недеформируемого тела. Если тело очень удалено от других тел, то эти же уравнения сводятся к уравнениям движения материальной точки. Таким образом обеспечивается преемственность теорий движения Земли в рамках ее различных моделей.

Во второй главе обоснованы условия, которые позволяют физически корректно использовать уравнения движения деформируемого тела для описания движений Земли. Рассмотрено среднее по времени состояние Земли, которое можно считать реализующимся в действительности. Показано, что в среднем по времени Земля в целом может двигаться как недеформируемое тело, а ее средние по времени движения определяются полной системой уравнений. В силу этого, характеристики Земли в отсчётном состоянии в принципе могут быть определены из соответствующих наблюдений. Среднее по времени состояние Земли выбрано в качестве её отсчётного состояния. Это позволяет использовать уравнения движения деформируемого тела для описания движений Земли и дает возможность корректного сравнения теоретических результатов с данными соответствующих наблюдений.

В третьей главе рассмотрены примеры применения полученных уравнений для анализа некоторых задач геодинамики. Основное внимание уделено исследованию влияния очага землетрясения на движения Земли как целого. Этот пример выбран по двум причинам. Первая, очаг землетрясения есть единственный часто повторяющийся динамический процесс в Земле, который может влиять на все ее движения. Вторая, научные интересы автора долгое время связаны с теорией очага землетрясения.

Очаг землетрясения рассматривается как динамически развивающийся разрыв сплошности материала Земли. Получена система уравнений, которая определяет влияние очага землетрясения на движения Земли. Найдены приближенные формулы, которые позволяют оценить влияние характеристик очага землетрясения на угловую скорость вращения Земли, ее тензор инерции и ускорение центра масс Земли. Рассмотрено квазистатическое приближение уравнений движения Земли с очагом землетрясения, что позволило выявить возможное влияние тектонических разломов на движения Земли как целого.

Большая часть исследований и публикация их результатов поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проекты РФФИ 03–05–64320–а, 04–05–64449–а, 05–05–65266-а, 08–05–07009–д).

Автор благодарен В.И.Осауленко за постоянное внимание к работе и ее критическое обсуждение.

Анонс к части II

O.D. Voevoda, O.Yu. Savenko. A model for deformation of cracked rock

This discussion is concerned with whether it is possible to develop a model for the deformation of cracked rocks. A simple model of the process is considered using as an example a specimen having plane cracks that are circular in plan view. It is suggested to describe the deformation properties of such a specimen as a whole using effective modulus of elasticity. An attempt is made to describe the effects which the evolution of the crack system in a loaded specimen has on these modulus.

О.Д. Воевода, О.Ю. Савенко. Модель процесса деформирования трещиноватой горной породы

В работе обсуждаются возможности построения модели процесса деформирования трещиноватой горной породы. Рассмотрена простейшая модель этого процесса на примере образца с плоскими круглыми в плане трещинами. Деформационные свойства такого образца как целого предложено описывать его эффективными модулями упругости. Предпринята попытка описания влияния эволюции системы трещин в нагружаемом образце на указанные модули упругости.

Введение

Горные породы принадлежат к классу так называемых структурированных сред. По-видимому, до настоящего времени не существует формального определения понятия "структура". Поэтому рассмотрим основные признаки горной породы как объекта, который принято называть структурированной средой.

При описании горных пород отмечают их неоднородность на разных масштабных уровнях. Неоднородность проявляется в несовпадении одноименных характеристик физических свойств горной породы в ее разных точках. Объем, в пределах которого сохраняются устойчивыми значения характеристик какого-либо свойства горной породы, принято называть блоком или представительным элементом горной породы. Вообще говоря, выделенный по указанному признаку объем может быть представительным элементом структуры в отношении одного из физических свойств горной породы и не быть таковым в отношении других ее свойств.

При механическом воздействии на горную породу происходит взаимное перемещение блоков, которое в основном реализуется по их границам. Под действием нагрузки на границах блоков образуются разрывы сплошности материала горной породы. Эти разрывы реализуются в виде микротрещин, макротрещин, разломов и являются неотъемлемыми элементами структуры горной породы.

Модель разрыва сплошности в виде трещины является наиболее физически обоснованной и формально исследованной. Трещиной принято называть поверхность разрыва (скачка) вектора перемещений. Линия, ограничивающая поверхность трещины, называется ее контуром. Скачок вектора перемещений на поверхности трещины зависит от действующих в теле (горной породе) нагрузок.

Исследование условий, которые необходимы для развития трещины, составляет предмет теории предельного равновесия трещин. Принципиальный вклад в теорию предельного равновесия трещин внесли А.Гриффитс, Д.Ирвин, Г.И.Баренблатт и многие другие исследователи. Обзор и анализ задач этой теории и вообще механики трещин можно найти, например, в книгах Г.П.Черепанова и Л.Н.Слепяна.

Одним из наиболее обоснованных является локальный энергетический критерий разрушения. В силу этого критерия в окрестности каждой точки контура трещины справедливо неравенство GDeltaS меньше или равно Delta\Gamma, где Delta\Gamma есть энергия, которая необходима для образования новой поверхности DeltaS, G есть поверхностная плотность потока упругой энергии в край трещины. Величины Delta\Gamma и G соответственно называют энергией разрушения и силой, движущей трещину. Если Delta\Gamma отождествить с поверхностной энергией, то G меньше или равно 2g, где g есть плотность поверхностной энергии. Неравенство в последней формуле соответствует невозможности распространения трещины, а равенство – ее предельному равновесию. Величина g характеризует физические свойства конкретного материала и определяется экспериментально.

По достижении предельного равновесия возможно как устойчивое, так и неустойчивое развитие трещины. Устойчивым является такое развитие трещины, для поддержания которого необходимо увеличение действующей на тело нагрузки. Неустойчивое развитие трещины не требует для своего поддержания данного увеличения. Если известна связь F=F(S) между предельным значением F нагрузки и соответствующей ему площадью S трещины, то области устойчивых и неустойчивых состояний равновесия соответственно определяются неравенствами dF/dS>0 и dF/dS<0.

В 60-е годы прошлого века началось интенсивное применение теории предельного равновесия трещин и общих представлений механики разрушения в теориях очага землетрясения и процесса его подготовки. Однако опыт непосредственного применения механики разрушения для описания процессов развития трещин в материале недр Земли не полностью оправдал возлагавшихся на нее надежд. Одна из причин этого обусловлена трудностью экспериментального определения плотности поверхностной энергии в столь сложной среде, как горная порода. Поскольку плотность поверхностной энергии является локальной характеристикой материала, то её значения могут сильно различаться в различных точках материала по остальным характеристикам, который идентифицируется как одна и та же горная порода.

В такой ситуации исследователи обратили свое внимание на так называемый концентрационный критерий разрушения, который был предложен С.Н.Журковым и его коллегами. В соответствии с этим критерием потеря несущей способности (разрушение) объема нагружаемого материала начинается тогда, когда в этом объеме концентрируется некоторое критическое количество трещин.

Известно, что под действием нагрузки около контура трещины возникает концентрация напряжений, которая проявляется на расстоянии порядка размера трещины. Поэтому размер трещины определяет характерный размер области ее влияния на напряженное состояние материала. Если имеющиеся в материале трещины попадают в зону их взаимного влияния, то между трещинами возникает взаимодействие. Это приводит к слиянию трещин, которое вызывает разрушение нагружаемого тела.

Взаимодействие трещин является убедительным основанием для использования концентрационного критерия разрушения в механике горных пород. В качестве меры концентрации трещин естественно выбрать отношение суммарного объема областей влияния трещин к объему материала образца горной породы.

Основная информация о процессе разрушения горных пород извлекается из экспериментов с образцами этих пород. При этом обязательно исследуется зависимость относительного изменения размеров образца от приложенных к нему нагрузок. Иногда регистрируется акустическая активность, которая сопровождает образование трещин в деформируемом образце, и определяется положение источников этой активности. Часто регистрируется изменение времен пробега ультразвуковых волн через нагружаемый образец.

Исследование зависимости относительного изменения размеров образца от приложенных к нему нагрузок выявило типичные свойства горных пород.

1. При растяжении и сжатии трещиноватого образца существенно различаются величины одноименных коэффициентов деформации. Это явление известно как "разномодульность" материалов.

2. В подвергнутом сдвигу трещиноватом образце имеет место так называемое дилатансионное изменение объема образца, которое обусловлено раскрытием трещин.

3. Способность трещин открываться или закрываться обуславливает существенное влияние гидростатического давления на деформационные свойства образца.

Деформирование образцов горных пород сопровождается излучением ультразвуковых импульсов. Экспериментально установлено, что существует устойчивая связь между количеством источников ультразвуковых импульсов и их интенсивностями. Эту связь, которую принято называть законом повторяемости, обычно записывают в виде

lgN(I)=lgN(I⁰)-Alg(I-I⁰),

где N(I) и N(I⁰) – число импульсов интенсивностей I и I⁰ соответственно, а A есть некоторая постоянная.

Необходимо отметить, что закон повторяемости соблюдается для всех сейсмических событий, от трещин в образцах горных пород до землетрясений. Это обстоятельство свидетельствует о подобии сейсмических явлений в горной породе.

Экспериментально выявлены характерные закономерности изменения местоположения источников ультразвуковых импульсов, которые возникают при образовании трещин в деформируемом образце. В начале процесса деформирования эти источники, как правило, равномерно распределены по объему образца. По мере приближения к моменту разрушения эти источники концентрируются около поверхности, по которой впоследствии происходит полное разрушение образца. Экспериментально выявлены характерные изменения времен пробега ультразвуковых волн через деформируемый образец.

Отмеченные выше эксперименты отражают эволюцию процесса трещинообразования в деформируемом образце. Эта эволюция определяется условиями деформирования образца, его структурой и, в свою очередь, влияет на механические свойства образца в целом. Подробное описание и анализ разнообразных экспериментов с образцами горных пород можно найти в работах.

Как было отмечено выше, определённая информация о процессе разрушения горных пород извлекается из исследования зависимости относительного изменения размеров образца от действующих на него нагрузок. Такую зависимость принято называть определяющими уравнениями. Эти уравнения описывают реакцию образца как целого на внешнее силовое воздействие и содержат информацию о процессе трещинообразования в горной породе. Поэтому принципиальное значение имеют те способы описания горной породы, которые позволяют однозначно интерпретировать экспериментальные результаты и получить последовательное представление о процессе трещинообразования в горной породе.

По существу, операция усреднения используется при определении первичных понятий механики сплошных сред. По-видимому, нет никаких убедительных оснований для отказа от этих понятий и при описании свойств такого сложного объекта, как горная порода. Поэтому для сохранения преемственности соответствующих понятий целесообразно использовать способы осредненного описания механических свойств горной породы.

В качестве первичных характеристик состояния образца горной породы естественно выбрать тензоры напряжений и деформаций в некотором элементарном объеме (точке) материала образца. Эти тензоры полностью характеризуют локальное напряженно-деформированное состояние образца. Соответствие между указанными тензорами устанавливается тензором модулей упругости. В качестве тех характеристик, которые определяют напряженно-деформированное состояние образца в целом, естественно выбрать средние по объему материала всего образца тензоры напряжений и деформаций. Тогда в качестве характеристик, которые устанавливают соответствие между средними по объему напряжениями и деформациями можно выбрать средние, или, как их часто называют, эффективные, модули упругости.

Интерес к эффективным модулям упругости возник при исследовании механических свойств поликристаллов. Сведения об эффективных коэффициентах деформации сплошной поликристаллической горной породы можно найти в книге Б.П.Беликова с коллегами. Подробно способы вычисления эффективных модулей микронеоднородных сред описаны в многочисленных публикациях, например в книге Т.Д.Шермергора.

По-видимому, первые попытки определения эффективных модулей упругости трещиноватого тела принадлежат Дж.Волшу. В его работах в рамках статической теории упругости рассчитаны сжимаемость, а также модули Юнга и сдвига упругого двумерного тела с трещинами в виде отрезков прямой линии. На трехмерный случай результаты Дж.Волша были развиты и обобщены Р.Л.Салгаником, Б.Будянским и Р.О'Коннелом и другими авторами. В работах эффективные модули упругости предложено находить из длинноволновой асимптотики соответствующей стационарной задачи динамической теории упругости.

В указанных работах рассмотрена среда из линейно-упругого материала, в которой равномерно распределено большое число трещин. Предполагается, что только в этом случае среда может быть представлена совокупностью эквивалентных объемов, каждый из которых полностью представляет свойства всей среды. Этим предположением вводится понятие элементарного (представительного) объема трещиноватой среды.

Утверждается, что каждый такой объем должен содержать "достаточно много трещин для того, чтобы состояние среды могло быть описано средними по этим объемам напряжениями и деформациями" [с.149]2:23. По определению, средние тензоры напряжений и деформаций связаны между собой тензором эффективных коэффициентов деформации. При определении этого тензора применены формальные методы, развитые Дж.Эшелби и Э.Кренером в континуальной теории дефектов.

Первый метод определения эффективных коэффициентов деформации основан на вычислении энергии элементарного объема тела с трещинами. Вторая производная энергии по компонентам напряжений или деформаций отождествляется соответственно с компонентами тензора эффективных коэффициентов податливости или жесткости. Такое определение указанных тензоров справедливо только в тех случаях, когда энергия тела с трещинами не зависит от процесса, приведшего тело в данное напряженно-деформированное состояние.

Второй метод основан на формальном представлении полной деформации нагруженного элементарного объема с трещинами в виде суммы средней деформации его материала и некоторых неупругих деформаций. Последние связаны со скачками перемещений на поверхностях трещин, которые, в свою очередь, зависят от напряженного состояния тела. Это обстоятельство использовано для определения тензора эффективных коэффициентов податливости. Необходимо отметить, что наличие неупругих деформаций может быть установлено только после полной разгрузки тела. Поэтому в каждом конкретном случае необходимо обосновать формальное представление полной деформации нагружаемого элементарного объема с трещинами в виде суммы средней деформации его материала и некоторых неупругих деформаций.

Предложенные в работах способы осредненного описания механических свойств трещиноватого тела позволяют преодолеть значительные трудности, которые возникают при локальном описании напряженно-деформированного состояния столь сложной среды, как горная порода. Однако в этих работах отсутствует точное определение основного объекта теории – "элементарного объема" тела с трещинами.

Можно предположить, что введенный в указанных работах элементарный объем тела с трещинами эквивалентен тому бесконечно малому объему, который фигурирует в уравнениях механики сплошной среды. По-видимому, такая эквивалентность должна была бы обеспечить преемственность описания механических свойств трещиноватого (не сплошного) тела в терминах соответствующих понятий механики сплошной среды.

Выше было отмечено, что в качестве меры концентрации трещин естественно выбрать отношение суммарного объема областей влияния трещин к объему материала образца горной породы. Поэтому величину элементарного объема образца естественно отождествить с величиной характерного объема области влияния трещины.

При осредненном способе описании свойств трещиноватых тел часто используются методы теории вероятностей. В реальном образце горной породы каждая трещина характеризуется своим размером и ориентацией относительно некоторой системы координат. В вероятностной модели образца предполагается, что указанные характеристики трещин являются случайными величинами. При этом случайным событием считается результат соответствующего эксперимента по деформированию горной породы.

Как известно, в основе вероятностного описания какого-либо явления лежит определение соответствующего вероятностного пространства. Элементами этого пространства являются достоверное и случайное события, а также вероятность осуществления последнего. Поэтому точное определение вероятностного пространства является необходимым этапом его вероятностного описания. Однако именно на этот этап, как правило, не обращают должного внимания при описании свойств трещиноватых горных пород.

В последнее время принято считать, что системы разрывов в горной породе обладают свойством иерархичности. В силу этого, в макрообъеме горной породы невозможно выделить такой элементарный объем, который мог бы быть представительным элементом всего макрообъема. Это обстоятельство заставляет соответствующим образом модифицировать описание механических свойств горных пород в терминах средних деформаций, напряжений и эффективных модулей упругости. В иерархической системе сам масштаб осреднения характеристик системы становится характерным параметром ее состояния.

Анализ изложенного позволяет предположить, что после соответствующей модификации предложенные в упомянутых выше работах методы в принципе могут быть использованы при построении модели процесса деформирования трещиноватых горных пород.

Такая модель должна удовлетворять следующим необходимым условиям.

1. Модель в явном виде должна описывать типичные механические свойства образца. В качестве таковых будем считать разномодульность образца при его растяжении и сжатии, а также возможность изменения объема при сдвиге образца.

2. Модель должна учитывать эволюцию процесса трещинообразования при деформировании образца. Эта эволюция проявляется в виде закона повторяемости разрывов и их локализации около поверхности окончательного разрушения образца.

3. При отсутствии трещин модель должна описывать свойства сплошного деформируемого образца.

Изложенное выше определяет основную цель работы: построение и исследование модели процесса деформирования трещиноватого образца горной породы. Для достижения указанной цели целесообразно использовать результаты и методы механики деформируемого твердого тела, механики трещин и теории вероятностей.

Необходимо заметить, что ввиду сложности объекта исследования сильно ограничены возможности абсолютно строго построения соответствующей модели.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект РФФИ 06–05–64134а).

Автор благодарен Н.А.Смирновой за оформление рукописи.