Гудстейн Р.Л. Математическая логика.
Пер. с англ. Изд. 2

Оглавление

Предисловие к русскому переводу

Интерес к математической логике – этой быстрорастущей области современной математики – также все более и более быстро возрастает. В значительной мере это связано с тем, что математическая логика – эта, казалось бы, наиболее абстрактная область математики – находит широкие и важные приложения в самых разнообразных областях науки и техники: начиная от трудных задач современной математики, таких, например, как проблема тождества слов в теории групп (работы П.С.Новикова) или проблема гомеоморфии полиэдров (работы А.А.Маркова), до конкретных задач синтеза автоматов или проблем математической лингвистики, связанных с построением больших информационных машин, способных не только хранить и выдавать научную информацию, но и обрабатывать ее.

Быстро растет и литература по математической логике, в том числе и на русском языке. Такое развитие новой (по существу) научной области естественно порождает потребность в произведении, могущем и неспециалисту дать общее представление о круге ее задач и результатов, о созданных для их решения новых методах. Эту потребность еще более усиливает то обстоятельство, что результаты математической логики относятся к таким вопросам, как, например: что значит решить задачу? что значит доказать теорему? как сделать такие понятия, как "вычислимая функция" или "алгоритм", достаточно точными, чтобы можно было доказывать теоремы о них? – вопросам, которыми естественно интересуется всякий математик и преподаватель математики.

С целью удовлетворить потребности именно этого круга читателей и написана книга Гудстейна. Книга принадлежит перу видного специалиста в области математической логики и оснований математики, известного своими работами по конструктивному математическому анализу, основанному на теории рекурсивных функций. Автору действительно удалось в книге, поразительно малой по объему, осветить даже такие вопросы математической логики и рекурсивной арифметики, для которых не нашлось места, например, в такой столь обширной и содержательной монографии, как "Введение в метаматематику" С.К.Клини. Это относится, в частности, к исчислению Х-конверсии и понятию Х-определимости, ссылки на которые постоянно встречаются в литературе; к аксиоматической теории множеств (автор излагает одну из наименее ограничительных систем этого рода – систему Mathematical Logic Куайна); к его собственному построению рекурсивной арифметики, не только не сводящему последнюю к логике, но, наоборот, в котором основные законы математической логики (исчисление высказываний и исчисление предикатов со свободными переменными) оказываются выводимыми из теорем рекурсивной арифметики. С этой же точки зрения особенно интересен пример нестандартной модели для аксиом арифметики, в которой – несмотря на наличие аксиомы полной математической индукции – натуральные числа образуют лишь правильную часть множества всех объектов системы, удовлетворяющих аксиомам. Характерный для автора подход к выбору материала – по возможности наиболее нового и свежего – сказывается даже в таких деталях, как включение в книгу очень простого по идее и интересного метода Куайна построения исчисления предикатов как исчисления естественного вывода. Существенно также то обстоятельство, что, несмотря на исключительно малый объем книги, автору удается изложить в ней – с достаточно полными доказательствами – такие знаменитые теоремы, как теоремы Гёделя о полноте узкого исчисления предикатов и о неполноте арифметики, как теорема Черча о неразрешимости узкого исчисления предикатов или теорема Сколема о невозможности охарактеризовать натуральные числа конечным или счетно-бесконечным множеством (элементарных) аксиом (см. уже упомянутые выше нестандартные модели арифметики). Вещи, до которых в других книгах – например, в том же "Введении в метаматематику" Клини – читателю пришлось бы добираться лишь после овладения большим подготовительным материалом, здесь, таким образом, становятся очень скоро доступными ему. Впрочем, может быть, лишь обманчиво доступными – точнее, лишь настолько доступными, чтобы читатель знал уже, чего ему следует ожидать и на какие вопросы искать ответ в таких книгах, как вышеупомянутый труд Клини.

Самим автором книга рассчитана на математика, еще не знакомого (или мало знакомого) с математической логикой. Нематематику читать ее будет поэтому довольно трудно. Однако и для математика отдельные места могут представить трудности, связанные преимущественно с тем, что автор иногда бывает небрежен в изложении. У нас нет оснований не верить автору в том, что строгость изложения нигде не приносилась им сознательно в жертву легкости чтения. Нам представляется, однако, что в действительности трудности при чтении книги чаще всего бывают связаны как раз с недостаточной строгостью изложения: недостаточной местами заботой автора об обеспечении однозначности смысла его формулировок. В этой связи следует отметить также отсутствие в книге сколько-нибудь подробного обсуждения некоторых используемых автором терминов (что, кстати, обусловило трудности при переводе таких, например, слов, как sentence, proposition, statement и др.).

Чтобы сделать книгу доступной более широкому кругу читателей, редакция снабдила некоторые места – преимущественно такие, которые ей показались трудными, – поясняющими примечаниями. При составлении этих примечаний в последней главе книги, содержащей изложение системы Mathematical Logic Куайна, была широко использована работа самого Куайна.

Примечания (в том числе относящиеся к методологическим вопросам) написаны в основном С.А.Яновской. Ряд примечаний к главам I и III – особенно к гл.III – принадлежит А.В.Кузнецову, Эти примечания отмечены буквами "А.К."

А.В.Кузнецовым написано и Приложение, посвященное уточнению формулировки теоремы о канонической форме для ординально-рекурсивных функций.

Предисловие

Цель этой небольшой книги – ознакомить преподавателей математики с некоторыми из замечательных результатов, полученных в математической логике в течение последних двадцати пяти лет. Книга рассчитана на математиков, имеющих лишь небольшие предварительные познания в области математической логики или даже совсем не знакомых с ней, и в значительной степени независима от других книг в том смысле, что доказательства всех наиболее важных результатов проводятся подробно. Большое число различных аспектов рассматриваемого предмета лишь кратко намечено, но строгость изложения нигде не приносилась сознательно в жертву легкости чтения, так же как нигде общность не превращалась в самоцель.

Такого рода произведение неизбежно испытывает влияние всех ведущих мыслителей своей области, и помещенные в конце книги библиографические примечания являются в некотором роде признанием этих влияний. Г-ну Дж.Хулею я приношу мою горячую благодарность за составление указателя и за любезную помощь в чтении корректур. Кроме того, я благодарен наборщикам и печатникам издательства Питман за их умение и внимательность к деталям.

Об авторе

Английский математик, видный специалист в области математической логики и оснований математики, а также методики преподавания и философии математики. Родился в Лондоне. В 1933 г. окончил с отличием Кембриджский университет. Был учеником известного английского математика Дж. Литлвуда. В 1946 г. получил степень доктора философии. В 1948 г. стал профессором университета в Лестере (Лейчестере), где и работал всю оставшуюся жизнь, в том числе на административных должностях – декана по науке, а в 1966-1969 гг. про-вице-канцлера университета.

Р. Л. Гудстейн – автор многих работ по математической логике и конструктивному математическому анализу, основанному на теории рекурсивных функций, в том числе одиннадцати учебников. Благодаря в том числе и его усилиям преподавание математической логики получило широкое развитие в университетах и школах Великобритании. Книга "Математическая логика" была написана для математиков, еще не знакомых или мало знакомых с математической логикой, и в ней, несмотря на относительно малый объем, содержится освещение даже таких вопросов, для которых не нашлось места в более обширных монографиях.