Лебег А. Об измерении величин.
Пер. с фр. Изд. 4

Содержание

Предисловие

1. В начальной и средней школе, так же как и в историческом процессе развития человеческих знаний, число имеет две основные функции: натуральное (целое положительное) число является орудием счета предметов, рациональное и действительное число – орудием измерения величин. С этой точки зрения нет столь глубокого различия между рациональными и иррациональными действительными числами. Из педагогических соображений надолго задерживаются на рациональных числах, так как их легко записать в форме дробей; однако то употребление, которое им с самого начала придается, должно было бы сразу привести к действительным числам во всей их общности.

Конечно, практические измерения производятся всегда лишь с конечной степенью точности, и, для того чтобы прийти к положительному утверждению иррациональности какого-либо отношения (например, диагонали квадрата к его стороне), надо подняться на более высокую ступень абстракции, чем та, которая соответствует наивному приближенному измерению величин. Однако уже на первых шагах наивного измерения возможность выразить отношение двух величин отношением двух целых чисел является случайным обстоятельством: при заданной точности это можно сделать очень многими, примерно равноценными способами. Так, измеряя отношение длины окружности к диаметру с точностью до 1/10000, мы могли бы колебаться между выражениями

333/106, 355/113, 688/219;

лишь более точные измерения показали бы нам, что второе из этих выражений много лучше, чем два других.

Часто стараются создать иллюзию непосредственного перехода от целых чисел к дробным обращением к примерам, вроде деления четырех яблок между тремя лицами. При этом умалчивают, что операция

(4 яблока): 3 = 1+1/3 яблока

осмыслена лишь в том случае, если все четыре яблока одинаковой величины. "Одно яблоко" выступает здесь неизбежно как единица меры объема или веса. Считать можно самые разнородные предметы: два чемодана и арбуз могут составлять три предмета, взятые с собой в дорогу; но два чемодана и пол-арбуза не составляют 2+1/2 предмета, – употребление дробных чисел предполагает однородность как самих предметов, так и их частей, т.е. по существу всегда связано с измерением величин.

В полном соответствии со сказанным выше находится то обстоятельство, что натуральные числа и после создания более широкой концепции действительного числа сохраняют всю свою самостоятельность. Им посвящена обширная наука – теория чисел со своими своеобразными проблемами. Рациональные же числа, оставаясь важным частным случаем действительных чисел, не дали повода к образованию отдельной ветви математики, которая изучала бы их самих по себе. Лишь вопросы приближения иррациональных чисел при помощи рациональных до настоящего времени представляют собой живую область математических исследований.

Между тем очень распространено мнение, что наиболее "научным" подходом к введению рациональных чисел является подход со стороны произвольного расширения области целых чисел для достижения неограниченной осуществимости действия деления. Многие считают при этом, что полная строгость возможна только, если вновь вводимые "пары чисел" пишутся в необычной форме (a, b), а не в виде обыкновенных вульгарных дробей a/b. Что касается последнего обстоятельства, мнимой необходимости особого обозначения "пар" в виде (а, b), то это просто результат недомыслия. Сама же концепция расширения области чисел с точки зрения неограниченной осуществимости действий очень почтенна и является лишь частным случаем одного из основных способов образования новых понятий в современной алгебре. Однако она становится вполне убедительной только после доказательства единственности предлагаемого метода расширения. Действительно, можно доказать, что минимальное алгебраическое поле, содержащее целые числа, изоморфно полю рациональных чисел. Вся эта концепция слишком абстрактна не только для того, чтобы в явном виде преподаваться в средней школе, но и для того, чтобы служить опорой для учителя в этом преподавании. Кроме того, надо ясно понимать, что с этой, чисто алгебраической точки зрения, следующим этапом за введением рациональных чисел является отнюдь не введение действительных чисел, а создание над рациональными числами алгебраически замкнутого тела, т.е. введение алгебраических чисел. С точки зрения чистой алгебры нет никаких оснований считать число sqrt(+2) более простым, чем число sqrt(-2), а число pi вообще излишне.

В действительности, конечно, никто и не пытается излагать в школе идеи современной абстрактной алгебры. Но часто учащимся сообщают ошибочное утверждение, что подлинно научное построение рациональных чисел не должно иметь ничего общего с измерением величин. Часто говорят, что правила действия над дробями есть лишь "удобные соглашения", сохраняющие неизменными законы действий.

Одна из основных задач книги Лебега состоит в том, чтобы показать, что подход к построению рациональных и действительных чисел с точки зрения измерения величин нисколько не менее научен, чем, например, введение рациональных чисел в виде "пар". Для школы же он имеет несомненные преимущества. Первым преимуществом является соответствие этого подхода историческому развитию математики и имеющемуся у учащихся повседневному опыту. Вторым же – то обстоятельство, что он делает необходимым введение действительных чисел. Действительные числа появляются при этом в форме десятичных дробей, т.е. в гораздо более осязаемой форме, чем "дедекиндовские сечения" в системе рациональных чисел (которые сами суть не что иное, как "пары" целых чисел).

Поэтому вполне прав Лебег, когда он в предлагаемых теперь русскому читателю очерках после натуральных чисел переходит сразу к происхождению и логической природе действительных чисел. Прав он и тогда, когда утверждает, что с педагогической стороны для школы существует одна нераздельная задача – привести к возможно более ясному пониманию концепции действительного числа. Мне хочется подчеркнуть здесь важность этой общей установки, так как в изложении самого Лебега она связана с более спорным предложением о сокращении изучения в школе простых дробей.

2. В чем же основной интерес книги Лебега? Мне кажется, в следующем: у математиков существует склонность, уже владея законченной математической теорией, стыдиться ее происхождения. По сравнению с кристаллической ясностью развития теории, начиная с уже готовых ее основных понятий и допущений, кажется грязным и неприятным занятием копаться в происхождении этих основных понятий и допущений. Все здание школьной алгебры и весь математический анализ2 могут быть воздвигнуты на понятии действительного числа без всякого упоминания об измерении конкретных величин (длин, площадей, промежутков времени и т.д.). Поэтому на разных ступенях обучения с разной степенью смелости неизменно проявляется одна и та же тенденция: возможно скорее разделаться с введением чисел и дальше уже говорить только о числах и соотношениях между ними. Против этой тенденции и протестует Лебег.

Что общепринятая система с педагогической стороны дефектна, видно хотя бы из тех трудностей, которые затем возникают при усвоении учащимися независимости смысла геометрических и физических формул от выбора единиц измерения и понятия "размерности" геометрических и физических формул.

Дело, однако, не в отдельных дефектах, а в том, что отрыв в школьном преподавании математических понятий от их происхождения приводит к полной беспринципности и логической дефектности курса. Лебег прав, когда утверждает, что, например, старые учебники, считавшие понятие площади чем-то ясным и само собой разумеющимся, стояли выше, чем некоторые современные, которые предлагают "условиться" называть площадью круга такой-то предел. Создание на почве выкристаллизовавшихся из практики понятий формальных определений на своем месте имеет смысл, но только тогда, когда это будут общие определения общих понятий. Имеет смысл дать формальное определение площади вообще, вывести из этого определения общие свойства площадей и доказать, что в применении к кругу общее определение приводит к такому-то результату. Но бессмысленно "уславливаться", что понимать под площадью отдельных фигур, так как причина выбора именно этих "соглашений" остается не раскрытой.

Поднимаясь к современным исследованиям о понятии длины кривой, площади поверхности и интеграла, Лебег показывает, как уже в чисто научной области забвение реального происхождения понятий может сбить с пути исследователя. На примере своих собственных открытий Лебег старается показать, как тесно они связаны с анализом реальных процессов измерения. Таким образом, в центре внимания на протяжении всей книги Лебега стоит борьба за возвращение математическим понятиям их первоначального материального содержания. В этой борьбе я и вижу основной интерес книги Лебега.

Отмечу здесь же, что, на мой взгляд, позиция Лебега страдает двумя дефектами. Лебег, мне кажется, недооценивает самостоятельности математики, того, что математика изучает материальный мир с особой точки зрения, что ее непосредственным объектом являются пространственные формы и количественные отношения действительного мира. Сами эти формы и отношения в их чистом виде, а не конкретные материальные тела являются той реальностью, которая изучается математикой. Отказывая в реальности этим формам и отношениям, Лебег, казалось бы, ведет борьбу с платонизмом и его особым миром "идей". В действительности это недиалектическое упрощение основного, совершенно правильного тезиса о том, что математика изучает материальный мир, естественно приводит Лебега ко второй ошибке, прямо противоположного свойства, и, вопреки его собственным исходным тенденциям, в конечном счете – к объявлению предметом изучения математики лишь "метафизически" осуществимых бесконечных последовательностей символа (п.55). Результат поистине неожиданный!

Точка зрения Лебега на измерение величии, на целые и действительные числа и его трактовка упомянутого выше вопроса о размерности величин станут достаточно ясными читателю, прочитавшему главы I, II, III, IV и VI. Менее подготовленному читателю можно посоветовать прочесть именно эти главы (пропустив главу V) и затем (пропустив главу VII) сразу заключение (главу VIII).

С другой стороны, можно представить себе читателя (более подготовленного), которого заинтересуют по преимуществу главы V, VI и VII (глава VI входит, таким образом, в обе группы). Здесь та же основная тенденция – выяснение реального происхождения математических понятий – проведена на материале понятий длины кривой, площади поверхности и интеграла, принадлежащих в своем полном объеме дифференциальной геометрии и анализу.

Особенно остро стоит вопрос о понятии площади поверхности. В элементарной геометрии, кроме площадей поверхностей цилиндра и конуса, для которых общая проблема может быть обойдена развертыванием на плоскость, "вычисляется" площадь поверхности шара. Вычисление это, однако, не имеет определенного смысла, пока само понятие площади поверхности не определено. Далеко не всем известно, что дело вовсе не в затруднительности привести такое определение в школьном учебнике, а в том, что корректное элементарно-геометрическое определение площади поверхности, пригодное хотя бы в простейших случаях, вообще было найдено лишь к концу XIX века и излагается лишь в специальных мемуарах. В учебниках анализа и дифференциальной геометрии площадь поверхности определяется как интеграл

J = int int sqrt(1+p²+q²)dxdy

Обычные "доказательства" того, что этот интеграл действительно выражает площадь поверхности, не выдерживают критики по той причине, что нельзя доказать равенство интеграла площади поверхности, не определив сначала, что такое площадь. Это обстоятельство является уже подлинным скандалом для общепринятого изложения дифференциальной геометрии. Надо надеяться, что книга Лебега окажет влияние на содержание соответствующих глав университетских учебников.

Было бы ошибкой думать, что читатель получит из изложения Лебега окончательные, правильные ответы на все философские и педагогические вопросы, возникающие в связи с измерением величин, теорией действительных чисел, определением длины кривой, площади поверхности и интеграла. Критике философских и педагогических установок Лебега посвящены два следующих пункта моего предисловия. Но во всяком случае Лебег доставляет читателю богатый материал для того, чтобы самому разобраться во всех этих вопросах.

Кончая обзор конкретного содержания книги Лебега, укажу еще, что в ней рассыпано немало отдельных остроумных замечаний и оригинальных способов доказательств (например, доказательство независимости определения площади от выбора системы координат в п.29). Поэтому можно думать, что удовольствие от непосредственного общения с таким первоклассным математическим умом, каким является Лебег, с лихвой искупит для достаточно подготовленного читателя некоторую растрепанность изложения, переходящего прихотливым и внезапным образом от непринужденной, пространной болтовни к необычайной краткости формулировок. В частности, все формулировки с бесконечно малыми и пределами, будучи по существу точными, рассчитаны на читателя, который самостоятельно умеет переводить их на язык epsilon и delta.

Все сказанное делает понятным, что книга Лебега не должна рассматриваться как учебное пособие при прохождении какого-либо определенного курса, а является лишь интересным материалом для знакомства с идеями одного из замечательных математиков современности и для дальнейших самостоятельных размышлений читателя.

3, Лебег всячески старается отгородиться от философии вообще, а в особенности от "метафизики". Беру слово "метафизика" в кавычках, так как Лебег употребляет его без большого разбора. Как это обычно бывает, такое отгораживание является лишь своеобразным способом настойчивого проведения и отстаивания вполне определенной философской позиции.

Положительной стороной этой позиции является признание Лебегом материалистического положения о неразрывности теории и практики, познания и деятельности. Положение это принимается Лебегом как в его историческом аспекте (все развитие математики определяется предъявляемыми к ней требованиями практики), так и в логическом аспекте (математические предложения являются концентратом нашего опыта, относящегося к действительному миру, руководящим нашей дальнейшей практической деятельностью, а не относятся к особому миру идеальных математических сущностей или не являются продуктом свободного творчества нашего духа).

Отсюда вполне последовательно вытекает у Лебега борьба с условностью математических определений, с теориями, основывающими математику на "произвольных соглашениях". Ни в коей мере не отрицая законности и важности аксиоматического метода, Лебег прямо заявляет, что он не принимает "свободы определений", что, по его мнению бывают хорошие и плохие определения. Хорошими, по Лебегу, являются те определения, которые правильно отражают большой запас опыта, относящегося к действительному, материальному миру. Лебег настаивает при этом, что нельзя продуктивно заниматься математикой, забыв о ее происхождении: анализ первичных данных опыта вновь и вновь оказывается необходимым для продуктивного направления дальнейших исследований. Особенно интересно у Лебега стремление действительно перестроить формальное изложение математики так, чтобы оно соответствовало естественному развитию реального, прикладного смысла понятий. Эта тенденция несомненно вполне соединима с полной строгостью формального изложения, не принимающего других допущений, кроме явно формулированных аксиом. Последнее обстоятельство недостаточно оттенено в книге Лебега: обобщение данных опыта у него нигде не доводится до построения действительно исчерпывающей аксиоматики.

Но за всеми этими несомненно материалистическими высказываниями у Лебега стоит скептицизм субъективного идеалиста, каким он все же является. Забывая, что продуктивная практика может быть основана лишь на действительном познании внешнего мира, он заявляет, что для него математика есть только прикладная наука, что она не имеет никакого собственного предмета изучения, а лишь суммирует приемы, при помощи которых мы систематизируем наши наблюдения.

Даже в целых числах Лебег отказывается видеть что-либо большее, чем просто слова (символы). Слова пять, fifly, ftinf, cinq не предполагают, по Лебегу, за собой никакого общего предмета, к которому они относятся. Число, отличное от обозначающего его слова, кажется Лебегу таинственной мистической сущностью, интересной лишь для "метафизики", в которой математик совершенно не нуждается. Правильно начиная с того, что понятие числа возникает из операции счета и что числа отражают действительные свойства пересчитываемых групп предметов, Лебег уже совершенно неправильно продолжает: "для того чтобы считать, употребляют некоторое собрание слов или фразу (один, два, три, четыре, пять, ...); слова этой фразы и называются числами".

Точно так же действительные числа, в форме бесконечных десятичных дробей, возникают, по Лебегу, из операции измерения и являются не чем иным, как символами, которыми мы обозначаем результат измерения. Но здесь уже сам Лебег замечает непоследовательность своей точки зрения. Оказывается, несмотря на все усилия, "метафизику" не удалось изгнать: "геометрическое измерение начинается как физический процесс, но завершение его имеет характер метафизический" (п.55).

Так неизбежно чистый эмпиризм впадает в метафизику худшего сорта: чистота его принципов все разно безнадежно утеряна, а вместо убедительной и увлекательной идеи действительного числа получен лишь жалкий суррогат в виде бесконечной строчки, состоящей из лишенных смысла значков!

Впрочем, на общем фоне основной тенденции книги – воспринимать математику как действительное познание внешнего мира – все это воспринимается как нарочитый маскарад. Зачем было бы возиться с выяснением действительного происхождения математических понятий, если в результате будут получены не настоящие общие понятия, однозначно отвечающие своему назначению, а символические конструкции совершенно случайного характера?

4. Основной положительной педагогической идеей Лебега (не говоря уже о единстве теории и практики) является возможность полного единства преподавания математики на разных ступенях обучения: одни и те же понятия, и в основном в одной и той же форме, сначала воспринимаются наглядно на примерах, потом формулируются более отчетливо и, наконец, подвергаются тонкому логическому анализу.

В применении к действительным числам для такого единого изложения наиболее подходит точка зрения бесконечных десятичных дробей. В начальной школе учащиеся знакомятся с операцией измерения, получают из нее конечные десятичные дроби и изучают арифметические действия над десятичными дробями. На примере периодических дробей, возникающих при делении, уже забрасывается первая идея о том, что число может выражаться и бесконечной дробью. В средней школе подробнее разбирается вопрос о точности измерений, устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками полупрямой и бесконечными десятичными дробями, формулируется общее понятие действительного числа, доказывается существование иррациональных чисел. В последнем классе средней школы или в высшей школе проводится строгое логическое изложение, следующее тем же самым общим линиям.

Номинализм Лебега, т.е. нежелание видеть в абстрактных математических понятиях ничего, кроме слов, вместе с утрированным практицизмом приводит его к спорному предложению сократить место, занимаемое в школьном курсе простыми дробями: если десятичные дроби являются не способом записи чисел, а самими числами, то, конечно, введение простых дробей лишь осложняет дело. Аналогичные соображения приводят Лебега к серьезной методологической ошибке. Ему хорошо известно, что соотношения между длинами, площадями и объемами, которыми интересуются в геометрии, не зависят от выбора единиц измерения. Тем не менее он настаивает на том, что геометрические величины суть не что иное, как числа, отнесенные к геометрическим фигурам (глава VI). Лебег не только не хочет из соображений "экономии мышления" рассмотреть геометрические величины сами но себе, до измерения определенной единицей меры, но и не может этого сделать. В самом деле, выделяя (абстрагируя) общее, имеющееся у всех равновеликих между собой плоских фигур, мы получаем понятие площади в чистом виде. Но для того чтобы обозначить различные площади определенными символами, надо выбрать единицу меры. А без отнесения каждому предмету определенного символа сами предметы для Лебега не существуют (так как они и являются для Лебега лишь самыми этими символами).

Получается курьезное положение с самим заглавием книги: книга посвящена измерению величин, действительные числа появляются в результате измерения величин, в конце же концов оказывается, что сами величины суть не что иное, как отнесенные к известным объектам действительные числа. Концепция главы VI формально корректна: можно ввести сначала действительные числа, как последовательность десятичных знаков, не упоминая ничего об измерении величин, а после этого определить величины, как это сделано в главе VI. Но это коренным образом противоречит задаче, которую поставил себе автор.

Мне представляется более удачным выходом собрать те общие свойства длин, площадей и объемов, которые позволяют выражать их при выбранной единице меры числами, и называть "системой величин" всякую совокупность объектов, обладающую этими свойствами. Но это уже не что иное, как аксиоматический метод, который не должен казаться скомпрометированным своей связью с конвенционализмом (учением об условности математических определений). Действительно, когда Гильберт в "Основаниях геометрии" предлагает называть "пространством" любую совокупность объектов и отношений, удовлетворяющую его аксиомам, то вместе с Лебегом следует протестовать, если из определения Гильберта делают заключение о произвольности выбора объекта изучения в математике. Однако то же самое определение Гильберта можно воспринимать совсем противоположным образом. Можно утверждать, что система аксиом, лежащих в основе геометрии, является замечательным, концентрированным выражением результата наших усилий, направленных к познанию действительности. Успех, заключающийся в ее создании, тем более замечателен, что она не только отражает с очень большой точностью свойства окружающего нас пространства при обычной интерпретации ее основных понятий (точек, прямых, плоскостей и т.д.), но также хорошо приспособлена и для выражения совсем других закономерностей внешнего мира, при других ее интерпретациях. Таким образом, абстрактная (аксиоматизированная) геометрия больше связана с действительностью, чем геометрия в ее традиционной форме. Аксиоматический метод может и должен являться методом выделения и закрепления для дальнейшего отчетливого изучения тех общих форм (количественных и пространственных) действительного мира, изучение которых составляет предмет математики с точки зрения диалектического материализма. Тогда естественно будет преодолен разрыв между аксиоматизированной абстрактной математикой и живым чувством действительности, на котором так настаивает Лебег.

Введение

Я приношу свою благодарность профессору Феру (Н. Fehr), согласившемуся поместить в своем журнале статьи, более элементарные, чем обычно в нем печатают, и не имеющие другого права на гостеприимство, кроме того, что имеют отношение к математическому преподаванию. Я особенно обязан ему потому, что эти статьи слишком велики сравнительно с их научным содержанием; ведь в них излагаются не столько факты, сколько мнения, требующие, во избежание недоразумений, аргументации в свою пользу. Вот каким образом мне пришла в голову мысль написать эти статьи.

С 1910 года я занимаюсь в обеих Ecoles normales superieures, как мужской, так и женской, подготовкой будущих преподавателей средней школы. Один из моментов этой подготовки состоит в изучении программ средней школы; я имел, таким образом, повод задуматься над этими программами и увидеть места, вызывающие обычно затруднения у молодых учителей. Я был поражен, как часто повторяются одни и те же особенности и недостатки. Знакомство с учебниками и с докладами испытательных комиссий, с одной стороны, дало мне возможность быть в курсе всех тенденций современного преподавания, а с другой – я мог судить о результатах преподавания за последние тридцать лет по принимаемым мной экзаменам на степень бакалавра или при поступлении в высшие школы. Вот почему нет ничего удивительного в том, что мне пришла в голову мысль написать статьи педагогического содержания, которые с опаской характеризую таким образом, поскольку слова "педагогический" обычно оказывается достаточно, чтобы отогнать математиков.

На страницах "Математического преподавания" я займусь рассмотрением измерения величин. Нет темы более важной: измерение величин является исходным пунктом всех приложений математики. Так как прикладная математика предшествовала, очевидно, чистой, или логике математики, то обычно думают, что начало измерения площадей и объемов лежит у самых истоков геометрии; с другой стороны, измерение доставляет число, т.е. предмет изучения анализа. Таким образом, об измерении величин говорят как в средних и старших классах средней школы, так и в высшей школе. Мне кажется, что сопоставление того, что делается на этих трех ступенях обучения, явится хорошим образцом, который лучше послужит делу формирования будущих учителей, чем то, что от них сейчас требуется: словесное щегольство отдельными уроками.

В своих статьях я буду стараться давать по возможности более простое и конкретное изложение, без ущерба для логической строгости. Эта тенденция может показаться несколько архаичной в эпоху, когда абстракция укоренилась даже в прикладных науках. Однако не нужно забывать, что те, которым мы обязаны отвлеченной научной мыслью, могли, пребывая в абстракции, заниматься тем не менее полезными вещами именно потому, что они имели особенно обостренное чувство действительности. Это чувство как раз и нужно стараться пробудить у молодежи. Только тогда, когда научатся в абстрактном видеть конкретное, а в общей теории – по-настоящему полезные частные случаи, переход к абстракции может принести нужные плоды.

В первых двух статьях, играющих роль вводных, я займусь целыми числами, потом числами общими, необходимыми для измерения величин. Переходя затем собственно к теме, я займусь площадями, объемами и величинами вообще.

Об авторе

Лебег Анри Леон

Выдающийся французский математик, член Парижской академии наук (1922), иностранный член-корреспондент АН СССР (1929). Родился в городе Бове на севере Франции. Учился в Нормальной школе (Париж), главном педагогическом институте Франции. Преподавал математику в Центральном лицее города Нанси, университете города Ренна и парижском Коллеж де Франс. В 1902 г. защитил диссертацию «Интеграл, длина, площадь», посвященную своему обобщению меры и интеграла. С 1906 г. — профессор университета Пуатье, с 1910 г. работал в Парижском университете. С 1921 г. и до конца жизни — профессор Коллеж де Франс. Член Парижской академии наук и семи академий разных стран. Лауреат четырех академических премий, в том числе премии Понселе Французской академии наук (1914). Кавалер ордена Почетного легиона.

Анри Лебег — один из основателей современной теории функций действительного переменного. Он создал теорию меры, внедрил понятие измеримой функции, ввел новое определение интеграла (интеграл Лебега), благодаря чему стало возможным интегрирование чрезвычайного широкого класса функций. Его исследования о возможности аналитического изображения функций способствовали созданию дескриптивной теории функций. Он получил также важные результаты геометрического и топологического характера. В теории функций и в функциональном анализе широко известны такие понятия, как мера Лебега, интеграл Лебега, интеграл Лебега—Стилтьеса, лебеговские множества.