Бюшгенс С.С. Дифференциальная геометрия Изд. стереотип.

Оглавление

К биографии С.С.Бюшгенса

Сергей Сергеевич Бюшгенс родился в Москве 25 сентября (по новому стилю) 1882 года.

Дед его по матери, Эдуард Бюшгенс, во второй половине 18 века приехал в Россию из Голландии с двумя дочерьми, после кончины своей жены. В планы деда входило создание своего дела в России. Однако особого успеха ему достичь, как видно, не удалось.

Одна из дочерей – София – стала матерью Сергея; брак ее с русским учителем математики не был оформлен до рождения их сына, когда он трагически погиб. В связи с этой драматической историей, фамилия Сергею была дана по матери – Бюшгенс. Вторая дочь деда, Екатерина, вышла замуж в России за состоятельного предпринимателя, и у них образовалась большая семья – две дочери и двое сыновей. В этой семье Сергей временами жил и воспитывался и был дружен со своими двоюродными братьями и сестрами до конца жизни. Все дети в этой семье получили высшее образование и занимались интеллектуальным трудом.

Детство, по словам самого Сергея Сергеевича, было, однако трудным и тяжелым, так как материально его содержала одна мать.

В своей ответной речи на Ученом совете в Московском институте инженеров водного хозяйства 27 октября 1952 г. в связи с 70 летием Сергея Сергеевича он вспоминал лиц, которым особенно обязан в жизни и сказал:

"Мне очень тяжело было в гимназии, меня воспитывала и содержала мать своим трудом и вот Д.Н.Корольков (инспектор гимназии, в которой учился С.С.) принял большое участие во мне: бесплатно я обучался почти с самого начала курса гимназии, но со средних классов, когда мне стало очень трудно, он добился от гимназии всяческой возможной для меня помощи, меня и обмундировали и давали все учебные пособия, и я даже получал небольшую стипендию. Но самое главное не в этом! В 7Нм классе гимназии со мной беда случилась, как-то я, пропустив почти все сроки, принужден был наспех писать сочинение. От тяжелых условий, со злости я написал то, что думаю о православии и самодержавии. Последовал приказ директора о немедленном моем исключении. И вот только благодаря настойчивости Д.Н.Королькова я был оставлен в гимназии и мне была предоставлена возможность ее окончить".

Жизненные трудности сказывались и далее. Будучи уже в Университете Сергей Сергеевич был вынужден вести репетиторство и преподавание в гимназии.

В этот период жизни, как вспоминал Сергей Сергеевич так же в своей речи, ему огромную поддержку оказывал проф. Б.К.Младзиевский по кафедре которого он был затем оставлен в Университете. Б.К.Младзиевский проявлял внимание не только о расширении и углублении математического образования и научной работе молодого ученого, но и помогал в устройстве материальных дел.

Вспоминая далее лиц, оказавших большое влияние на его жизнь и формирование как ученого, С.С. очень тепло говорит о В.П.Горячкине:

"...когда я поступил сюда в Сельскохозяйственный институт, то с первых же дней особое внимание ко мне проявил В.П.Горячкин, именно он старался всегда возбудить мой интерес к приложениям математики к различным техническим вопросам, именно он всегда привлекал меня к решению тех математических задач, которые встречались в его работе, и этим он возбуждал у меня значительный интерес в приложении математики к техническим наукам."

После блестящего окончания в 1906 г. Московского Университета Сергей Сергеевич, награжденный золотой медалью за научное сочинение по специальности, был оставлен для подготовки к профессорскому званию и защите магистерской диссертации при кафедре Б.К.Младзиевского. По существовавшей тогда традиции, ему была предложена командировка в Университеты Европы, от которой он вынужден был отказаться, так как должен был поддерживать материально мать. В эти годы он вел обширную педагогическую работу в Университете и в гимназии. В университете ему поручили чтение курсов: "Сферическая геометрия", "Высшая алгебра" и др. По воспоминаниям П.А.Александрова, который сдавал Сергею Сергеевичу экзамены по этим курсам в 1914 г., в 1915 г. курс "Высшей алгебры" был издан.

В 1915 г. и 1922 г. был издан курс "Теория определителей", прочитанный Сергеем Сергеевичем. В более поздние годы Сергей Сергеевич начал чтение курсов "Аналитической геометрии" и "Дифференциальной геометрии". Первый из них был выпущен литографированным изданием в 1929 г. и в 1931 г., а затем был издан в Госиздате четырьмя изданиями (1932, 1934, 1937 и 1941 гг.). При этом некоторые издания были в двух книгах с достаточно полным изложением и большим количеством задач. Курс "Дифференциальной геометрии" был издан дважды в 1932 и 1940 гг. Оба эти курса получили высокую оценку многих выдающихся математиков (П.А.Александрова, Л.С.Понтрягина, С.П.Финикова, Б.Делоне и др.) "как книги, написанные с большим педагогическим мастерством и ставших настольными для всех, изучающих аналитическую и дифференциальную геометрию". Эти книги были переведены на ряд языков народов Советского союза и использовались во многих Университетах, как основные учебники по этим курсам.

Сергей Сергеевич был прекрасным лектором, многие его слушатели отмечали точность и лаконичность формулировок, аккуратное распределение записей на доске во время лекции. Так, например, при многочисленных встречах с академиком А.Ю.Ишлинским он почти каждый раз говорил мне восхищенно "какой замечательный лектор был Ваш отец". Такие же суждения я слышал и от других его учеников.

В тридцатые годы Сергей Сергеевич был одним из организаторов заочного математического обучения в Московском Университете. Им были так же организованы курсы дополнительного математического образования для лиц, окончивших технические ВУЗы. На базе заочного факультета проводились лекции для москвичей, часть этих курсов затем были изданы и стали популярными учебниками по математическим дисциплинам (например, Степанов "Дифференциальные уравнения", "Высшая алгебра" Окунева и др.).

Кроме чтения лекций и интенсивной научной работы Сергей Сергеевич активно участвовал в Ученых Советах, семинарах и заседаниях математического общества. Он любил так же встречи со своими коллегами в домашней обстановке. Время от времени, определенный круг математиков и механиков собирались с женами дома. В этих встречах принимали участие Н.Н.Лузин, И.И.Привалов, Н.А.Глаголев, С.П.Фиников, В.В.Голубев, С.А.Чаплыгин, С.Л.Россинский, Г.Н.Свешников и др.

Сергей Сергеевич всегда тщательно и активно помогал готовить прием своих коллег у себя дома. На этих встречах обсуждались новости научной и культурной жизни Москвы, театральные новости и прошедшие концерты, международные проблемы. Следует указать, что круг интересов этих ученых, их эрудиция, были чрезвычайно широкими. Это было характерно для профессоров того поколения. Об интересах самого Сергея Сергеевича можно судить так же по его библиотеке, где кроме обширной литературы по математике, механике и физике было много книг по философии (сочинения Канта, Гегеля, Спинозы, Маркса, Энгельса и т.п.) истории, искусству и художественной литературы. На многих книгах остались пометки Сергея Сергеевича, сделанные при чтении.

Характеристику творчества Сергея Сергеевича можно найти в статье профессора МГУ С.П.Финикова, опубликованной в "Успехах математических наук" том VII вып.4, написанной в связи с 70Нти летием С.С.

Общее количество опубликованных работ С.С. – около 50. Публикации были сделаны начиная с 1906 г. в регулярных изданиях: Известия и доклады Академии наук, МГУ, Математическом сборнике и в иностранных изданиях, главным образом Академии Наук Франции.

Можно выделить три направления:

1) работы чисто математические (дифференциальная геометрия, векторный анализ, высшая алгебра и т.п.);

2) работы по кинематике и динамике механизмов (на основе применения метода комплексного переменного);

3) работы по геометрии и кинематике потока жидкости (идеальной, сжимаемой и вязкой).

Последние два направления являются оригинальными, и здесь автор оказался пионером использования новых математических методов.

Нам представляется, что деятельность профессора С.С.Бюшгенса может заинтересовать математиков и механиков и сегодня.

2005 г.

Предисловие

Ставя себе задачей дать учебник по диференциальной геометрии для студентов третьего семестра математического факультета университетов, я стремился к наиболее доступному изложению, лишь постепенно усложняющемуся по мере продвижения вперед. Однако, в таком учебнике я не считал возможным ограничиться только обязательным материалом существующей программы по двум причинам. С одной стороны, последнее время программа диференциальной геометрии по крайней мере в Московском университете видоизменяется и пополняется, так что ее никак нельзя считать вполне установившейся. С другой стороны, опять-таки в МГУ имеются просеминары (на 2-м курсе) и семинары (на 3-м курсе), для которых пока нет подходящих пособий. Оба эти обстоятельства побудили меня дать материал, несколько выходящий за пределы существующей в данный момент программы; что касается последней, то к ней я отношу текст первых пяти глав, напечатанный крупным шрифтом, за исключением параграфов: 11, 16, 17, 25, 28, 29, 36, 42, 46, 48, 49.

Книга содержит большое количество упражнений и задач, которые сопровождаются либо полными решениями, либо достаточными указаниями для проведения этих решений.

Считаю своим долгом выразить признательность проф. В.Ф.Кагану, организовавшему на кафедре диференциальной геометрии МГУ общественный просмотр рукописи, на котором я получил ряд существенных советов и указаний для улучшения книги.

Введение

Диференциальная геометрия является обширной областью приложения так называемого анализа бесконечно-малых (диференциального и интегрального исчислений и теории диференциальных уравнений) к исследованию геометрических образов.

Иногда говорят, что диференциальная геометрия есть изучение геометрических образов в их малых частях, ибо она в первую очередь исследует расположение кривых или поверхностей вблизи каждой произвольно выбранной точки их; но следует иметь в виду, что, выделив таким образом те или иные особенности кривой или поверхности в отдельных их замечательных точках, мы тем самым можем составить себе представление о форме кривой или поверхности в целом.

Некоторые из важнейших понятий диференциальной геометрии, например понятие о касательной и об асимптоте, были знакомы еще греческим геометрам (первое у Евклида, второе у Аполлония); однако, эти понятия определялись совершенно иначе, чем в позднейшее время, ибо греческой геометрии были чужды идея о движении и связанное с ним понятие о пределе.

Методы определения касательных (и нормалей) к различным кривым были даны Torricelli (Торичелли), Robervall'eM (Роберваль), Descartes 'oM (Декарт) и другими; эти методы опирались на кинематические соображения и исходили уже из представления о непрерывном движении; задача о касательной привлекала внимание названных математиков середины XVII в., потому что она связывалась ими с определением скорости движения по кривой, изучение которого было поставлено как очередная задача еще Галилеем.

Собственно диференциальная геометрия начинает широко развиваться лишь с момента, когда Декартом был дан метод координат как метод, ведущий к аналитическому изображению линий уравнениями, а Ньютоном и Лейбницем были положены основы диференциального исчисления.

Поскольку нахождение производной возможно для всяких функций, ею обладающих, как алгебраических, так и трансцендентных, методы анализа применимы к исследованию линий и поверхностей, изображаемых любыми уравнениями, алгебраическими и трансцендентными.

Уже Лейбницем и Ньютоном были даны уравнения касательной и нормали к плоской кривой, ими же и Гюйгенсом введено понятие о круге кривизны. Лейбниц же рассматривал семейство кривых, уравнения которых содержат параметр, и определил огибающую семейства.

Лейбницем, Ньютоном, Гюйгенсом, братьями Бернулли был поставлен целый ряд задач, относящихся к плоским кривым, задач, связанных с теми или иными вопросами прикладного характера (задач механики, оптики, архитектуры и т.д.).

Первой книгой, в которой были собраны приложения диференциального исчисления к исследованию плоских кривых, была книга de l'Hospitale 'a (Лопиталь) "Analyse des infiniments petits", 1696.

Приложения методов анализа к изучению пространственных кривых были даны Clairaut (Клеро) в его "Traite des courbes a double courbure", Paris, 1731. Кривизна поверхностей довольно подробно изучена уже Эйлером в его работе "Recherches sur la courbure des surfaces", 1760.

Более строгое обоснование результатов, полученных со времени Лейбница и Ньютона в течение XVIII и первой половины XIX в., были даны в последние десятилетия XIX в. вслед за началом критического пересмотра основных положений самого анализа.

Особенно широкое развитие диференциальная геометрия как теория поверхностей получила в XIX в. во Франции со времени работ Monge 'a (Монж) ("Applications de Г Analyse a geometrie", Paris, 1867) и его школы (Dupin, Cauchy и др.), в Германии и других странах со времени работ Гаусса ("Disquisitiones generales circa superficies curvas", 1829) и его последователей.

Элементарная часть диференциальной геометрии содержит основные элементы исследования вида плоских и пространственных кривых, затем и поверхностей по уравнениям, которыми они изображаются; этой части более подходит поэтому традиционное название "приложения анализа к геометрии". Вторую ступень диференциальной геометрии представляет так называемая "теория поверхностей", изучающая разнообразные виды поверхностей евклидова пространства, взаимоотношения между ними и геометрию на любой из них; теория поверхностей является в значительной мере геометрической интерпретацией теории диференциальных уравнений с частными производными.

Наконец, к области диференциальной геометрии, составляя ее, так сказать, третью ступень, относится изучение пространств (и образов, в них находящихся) как любого числа измерений, так и произвольной структуры; эта последняя часть диференциальной геометрии особенное развитие получила в наше время, главным образом, в связи с физической теорией относительности.

Предлагаемый курс содержит первую элементарную часть диференциальной геометрии и распадается на шесть глав, охватывающих следующие темы:

1) Исследование плоской кривой по ее уравнению.

2) Соприкосновение плоских кривых; кривизна кривой.

3) Пространственные кривые.

4) Поверхности.

5) Кривизна поверхностей.

6) Метод подвижного репера для поверхностей.

Темы 3, 4, 5, 6, относящиеся к пространственным образам, разработаны векторным методом, и для их изучения необходимо знание алгебры векторов.

Об авторе

Бюшгенс Сергей Сергеевич

Выдающийся математик и педагог, доктор физико-математических наук, профессор. Заслуженный деятель науки РСФСР (1946). Награжден орденом Ленина. Родился в Москве. В 1906 г. окончил Московский университет и был оставлен для подготовки к профессорскому званию и защите магистерской диссертации. В университете читал курсы: «Высшая алгебра», «Теория определителей», «Аналитическая геометрия» и «Дифференциальная геометрия». Два последних курса получили высокую оценку многих выдающихся математиков (П. C. Александрова, Л. С. Понтрягина, С. П. Финикова и др.), были переведены на ряд иностранных языков и использовались во многих университетах как учебники.

С. С. Бюшгенс — автор около 50 работ как в области чистой математики (дифференциальная геометрия, векторный анализ, высшая алгебра и т. п.), так и в области механики (кинематика и динамика механизмов, геометрия и кинематика потока жидкости), где он впервые использовал новые математические методы.