| Введение |
| Глава I. | Предварительные понятия |
| | § 1. | Комплексные числа |
| | § 2. | Основные геометрические понятия |
| | § 3. | Криволинейные интегралы |
| Глава II. | Основы теории аналитических функций |
| | § 1. | Условие дифференцируемости |
| | § 2. | Обратнаяфункуия |
| | § 3. | Определенный интеграл аналитической функции |
| | § 4. | Теорема Коши |
| | § 5. | Интегралы в многосвязных областях |
| | § 6. | Примеры. Элементарные функция |
| | § 7. | Интегральная формула Коши |
| | § 8. | Конформное отображение |
| Глава III. | Следствия интегральной формулы Коши |
| | § 1. | Теорема о среднем арифметическом Принцип максимума и лемма Шварца |
| | § 2. | Некоторые неравенства. Теорема Лиувилля |
| | § 3. | Равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса |
| | § 4. | Ряды Тэйлора и Лорана |
| | § 5. | Приложения теоремы Коши и теоремы о вычетах |
| | § 6. | Принцип сходимости для аналитических функций |
| | § 7. | Связь с теорией потенциала |
| | § 8. | Представление аналитических и гармонических функций интегралов Пуассона |
| | § 9. | Следствия |
| | § 10. | Решение предельной задачи теории потенциала для круга |
| | § 11. | Граничные значения аналитической функции |
| | § 12. | Потоки |
| Глава IV. | Специальные функции и их особые точки |
| | § 1. | Особые точки и точки скрещивания |
| | § 2. | Наглядное представление особых простейших точек и точек скрещивания |
| | § 3. | Линейные функции |
| | § 4. | Функция dzeta = zn |
| | § 5. | Функция dzeta = 1/2 (z + 1/z) |
| | § 6. | Логарифмическая и показательная функции |
| | § 7. | Тригонометрические функции |
| | § 8. | Степенная функция с произвольным показателем степени. Круговые двуугольники |
| | § 9. | Добавление. Геометрическое значение в пространстве линейных подстановок |
| Глава V. | Аналитическое продолжение и поверхности Римана |
| | § 1. | Понятие аналитического продолжения |
| | § 2. | Принцип непрерывности и принцип симметрии |
| | § 3. | Римановы поверхности аналитических функций |
| | § 4. | Алгебраические функции " |
| Глава VI. | Конформное отображение односвязных однолистных областей |
| | § 1. | Предварительные замечания и вспомогательные теоремы |
| | § 2. | Доказательство теоремы Римана о конформном отображении |
| | § 3. | Теорема однозначности |
| | § 4. | Соответствие между контурами при конформном отображении |
| | § 5. | Функция Грина и предельная задача теории потенциала |
| | § 6. | Знакопеременная метода Шварца. Свойства непрерывности отображающих функций |
| | § 7. | Теоремы искажения |
| | § 8. | Приложения принципа максимума |
| Глава VII. | Специальные конформные отображения |
| | § 1. | Отображение произвольного многоугольника |
| | § 2. | Функции прямолинейного треугольника |
| | § 3. | Отображение прямоугольника. Эллиптические функции |
| | § 4. | Модулярные и автоморфные функции |
| | § 5. | Теорема Пикара |
| | § 6. | Другое доказательство теоремы Пикара |
| | § 7. | Отображение функции круговых многоугольников, как решение дифференциальных уравнений |
| Глава VIII. | Обобщение теоремы Римана. Принцип Дирихле |
| | § 1. | Эвристические изыскания. Плоскость с надрезами |
| | § 2. | Интеграл Дирихле и формула Грина |
| | § 3. | Принцип Дирихле |
| | § 4. | Постановка задачи в общем виде |
| | § 5. | Предельная задача и минимальный принцип для круга |
| | § 6. | Леммы |
| | § 7. | Решение минимальной задачи для специальных областей |
| | § 8. | Непрерывная зависимость потенциалов потока от области. Решение общей минимальной задачи |
| | § 9. | Конформное отображение на плоскость с надрезами |
| | § 10. | Единственность конформного отображения на плоскость с надрезами |
| Глава IX. | Дальнейшие теоремы существования теории функций |
| | § 1. | Analysis situs алгебраических Римановых поверхностей |
| | § 2. | Абелевы интегралы и алгебраические функции на заданной Римановой поверхности |
| | § 3. | Существование автоморфных функций с данной фундаментальной областью |
| | § 4. | Униформизация алгебраических и аналитических функции посредством автоморфных функций с предельным кругом |
| | § 5. | Конформное отображение подобных однолистных областей на круговые области. Теорема об униформизации с возвратными сечениями |
| | § 6. | Модули области, подобной однолистной |
| | § 7. | Общее понятие Римановой поверхности |
| | § 8. | Исторические указания к последним главам |
| Предметный указатель |
При развитии теории функций комплексной переменной
можно исходить из различных точек зрения. Прежде всего,
можно положить в основу простейшие явные выражения
относительно z, именно, полиномы c0 + c1z +... + cnzn,
и затем, путем предельного перехода, увеличивая беспредельно
степень полинома, перейти к более общим функциям,
представимым "степенными рядами". На этой основе
воздвиг здание теории аналитических функций Вейерштрасс,
и изложению этой теории посвящен курс Гурвица, содержащий
общую теорию функций (А.Гурвиц. Теория аналитических и эллиптических функций, перев.
с 3 нем. изд., ГТТИ, 1933. В дальнейшем эту книгу будем цитировать
просто Гурвиц).
Однако, при развитии теории функций можно избрать
и другой путь, в некоторых отношениях более простой.
Именно, пытаются охарактеризовать аналитические функции
такими свойствами, которые опираются на геометрические
представления и позволяют с болыыей легкостью,
чем степенные ряды, обозреть поведение функции в целом.
Построение теории функций с такой точки зрения примыкает
в основном к работам Римана, проложившим новые
пути и рснованным не только на геометрических, но и на физических представлениях.
Целью настоящей книги и является: дать вводный обзор
этой "геометрической теории функций".
