|
Предисловие
 В предлагаемой вниманию читателя книге описан достаточно общий подход к проблеме построения базисов в функциональных пространствах, в котором центральную роль играет понятие двойственности. Затем он применен к некоторым задачам теории приближений и численного анализа. Первые две главы содержат ряд результатов функционального анализа, на которые имеются ссылки в последующих главах. Существенной частью первой главы является изложение основных понятий локально выпуклых пространств. Наиболее важным здесь является принцип двойственности, представляющий теоретическую основу описанного далее метода построения базисов в локально выпуклых пространствах. Во второй главе выясняется, как абстрактная теория двойственности реализуется в конкретных функциональных пространствах. Эти главы носят справочный характер и, возможно, не потребуются тем читателям, которые знакомы с рассмотренным в них кругом вопросов. Две последующих главы посвящены методам построения топологических базисов в локально выпуклых пространствах. В третьей главе: Описанный метод в четвертой главе применен к частному, но весьма важному пространству Е с полускалярным произведением, элементами которого являются непрерывные числовые функции и топология в котором определена с помощью неотрицательной симметричной билинейной формы. Для описания двойственности <Е,Е'> вводится понятие характеристического оператора Р:Е->Е', являющегося изометрическим гомоморфизмом заданного пространства Е и его топологически сопряженного Е'. Выяснены условия, при которых могут быть найдены фундаментальные решения оператора Р (точнее класс фундаментальных решений в факторпространстве Н, ассоциированном с пространством Е) и которые используются для построения непрерывного обратного отображения G:E'->H. Далее рассматриваются ограничения G на векторные подпространства Х'с Е', которые тотальны на Е, наделены топологией банахова пространства и имеют базис (такие пространства названы калибровочными для Е). Показано, что отображения G:X'->H есть изоморфизмы. Если (fi), i=l,2,... - базис в X', то (ψi), i=7,2,.., ψi=Gfi - базис в Е, тем самым можно строить различные аппараты для приближения функций в Е (сплайны, вложенные в Е). Для базиса (ψi)с=Е построен биортогональный базис (ψi)cE. Для базиса (fi)cX' построен двойственный ему базис, совпадающий с (ψi). Изучены два важных частных случая, когда: Построены изоморфизмы на: Х'->Н. Соответствующий оператор порождает пространство сплайнов, правильных в Е. Рассмотрен случай, когда задан изоморфизм A:E->XcL2. Построен обратный оператор G: Х->Е, расширение которого на все пространство L2 порождает линейное пространство сплайнов, названное обертывающим пространство Е. Используя приведенные определения, приближения функций в Е можно получать в виде кусочно гладких конструкций. В данном методе построены разнообразные сплайны: нечетных, четных, рациональных степеней, трансцендентные, многомерные и т.д. Некоторые типы сплайнов близки по дифференциально-аналитическим свойствам к классическим сплайнам. Приводятся оценки скорости сходимости сплайновых разложений. В пятой и шестой главах излагаются некоторые применения рассмотренных методов к задачам теории приближений и численного анализа. Читатели, не имеющие намерения вникать в тонкости функционального анализа и интересующиеся приложениями, могут ограничиться чтением лишь этой части книги, содержащей решения различных задач. Важной целью пятой главы является демонстрация природы ограниченности многочленных приближений, использование которых для приближенных вычислений обычно оправдывается простотой базиса и высокой скоростью ручного счета. В связи с развитием компьютерной техники эти факторы перестали играть какую-либо роль и гораздо большее значение имеют точность и эффективность приближений. Мы исходим из предположения, что не существует универсального пригодного для всех ситуаций базиса. Существенными в постановке задачи приближения являются два момента: выбор топологии в векторном пространстве непрерывных функций, в котором ищутся приближения, и вычисление базиса. Вводится понятие обратного метода в теории приближений, который заключается в постановке и решении вариационной задачи вычисления базиса, наилучшего для данной задачи приближения и заданной топологии в Е. В аппроксимирующих сплайновых пространствах построены решения задач интерполяции, сглаживания и аппроксимации таблично заданных функций. Вводится понятие лагранжевой квазиинтерполяции. Полученные при этом приближения разрывных функций характеризуются отсутствием эффекта Гиббса. Во шестой главе описаны приближенные методы анализа, связанные с численной реализацией операторного соотношения Ах=у, рассматриваемого в двух вариантах: как уравнение у->х и как задача вычисления значения у оператора А на элементе х: х->у. Оператор А предполагается линейным, определенным на подмножествах D(A) банаховых пространств со значениями в множествах R(A). Построен базис аппроксимирующего пространства, в котором ищутся решения, зависящий от оператора A, и которое названо пространством А-сплайнов. Так что базис аппроксимирующего пространства индивидуален для каждой задачи и оптимально выбран (имеет вариационное происхождение). А-сплайны отличает быстрая и устойчивая сходимость. Основное внимание уделено задачам, которые характеризуются как существенно некорректные: В задаче А) искомыми считаются как множество корректности, так и псевдорешение, которое ему принадлежит. Численный анализ одного из примеров (интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода, yc/R(A)) дает следующий результат. При n=3 (n - размерность аппроксимирующего пространства) вычисленная погрешность приближения в равномерной метрике имела первый порядок точности. При n=5 она скачком упала до машинного нуля 10^10 и устойчиво сохраняла это значение до весьма больших значений n (равных нескольким десяткам). В задаче B) построен метод нахождения частных решений дифференциального уравнения в случае, когда никакие дополнительные условия, обеспечивающие однозначную разрешимость уравнения, не заданы (это так называемые задачи со свободными границами). В задаче C) описаны методы вычисления глобальных производных. Изложены также некоторые методы неопределенного интегрирования. Существенное свойство всех рассмотренных задач заключается в предположении, что исходные данные для них определены как случайные функции или таблично заданы с ошибками, которые не считаются малыми. Издание сопровождается электронным приложением, содержащим
программы, иллюстрирующие численные решения некоторых типичных примеров.
Данное приложение читатель может скачать с здесь: Оглавление
Об авторе
 Колесников Александр Петрович Математик, профессор, доктор физико-математических наук. Окончил Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова в 1967 г. Научные интересы лежат в области вычислительной математики, математического моделирования и информатики. Активно занимался приложениями; в частности, в последней четверти прошлого века принимал участие в выполнении программы важных научных исследований в области математического моделирования управляемых оптических систем (адаптивной оптики). В 1994 г. защитил докторскую диссертацию, в которой получило начало новое научное направление — численный анализ в топологических пространствах.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||