Понтрягин Л.С.Ак★★★✫, Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В.Ак, Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов Изд. 3

Оглавление

Предисловие ко второму изданию

Глава 1. Принцип максимума

§ 1. Допустимые управления

§ 2. Постановка основной задачи

§ 3. Принцип максимума

§ 4. Обсуждение принципа максимума

§ 5. Примеры. Задача синтеза

§ 6. Задача с подвижными концами и условия трансверсальности

§ 7. Принцип максимума для неавтономных систем

§ 8. Задача с закрепленным временем

§ 9. Связь принципа максимума с методом динамического программирования

Глава 2. Доказательство принципа максимума

§ 10. Допустимые управления

§ 11. Формулировка принципа максимума для произвольного класса допустимых управлений

§ 12. Система уравнений в вариациях и сопряженная ей система

§ 13. Вариации управлений и траекторий

§ 14. Основные леммы

§ 15. Доказательство принципа максимума

§ 16. Вывод условий трансверсальности

Глава 3. Линейные оптимальные быстродействия

§ 17. Теоремы о числе переключений

§ 18. Теоремы единственности

§ 19. Теоремы существования

§ 20. Синтез оптимального управления

§ 21. Примеры

§ 22. Моделирование линейных оптимальных быстродействий при помощи релейных схем

§ 23. Линейные уравнения с переменными коэффициентами

Глава 4. Разные задачи

§ 24. Случай функционала, заданного несобственным интегралом

§ 25. Оптимальные процессы с параметрами

§ 26. Применение теории оптимальных процессов к задачам приближения функций

§ 27. Оптимальные процессы с запаздыванием

§ 28. Одна задача преследования

Глава 5. Принцип максимума и вариационное исчисление

§ 29. Основная задача вариационного исчисления

§ 30. Задача Лагранжа

Глава 6. Оптимальные процессы при ограниченных фазовых координатах

§ 31. Постановка задачи

§ 32. Оптимальные траектории, лежащие на границе области

§ 33. Доказательство теоремы 22 (основные построения)

§ 34. Доказательство теоремы 22 (окончание)

§ 35. Некоторые обобщения

§ 36. Условие скачка

§ 37. Формулировка основного результата. Примеры

Глава 7. Одна статистическая задача оптимального управления

§ 38. Понятие о марковском процессе. Дифференциальное уравнение Колмогорова

§ 39. Точная постановка статистической задачи

§ 40. Сведение вычисления функционала J к решению краевой задачи для уравнения Колмогорова

§ 41. Вычисление функционала J в случае, когда уравнение Колмогорова имеет постоянные коэффициенты

§ 42. Вычисление функционала J в общем случае

Литература

Об авторах

Понтрягин Лев Семенович

Выдающийся советский математик, академик АН СССР, Герой Социалистического Труда, лауреат Ленинской премии, Сталинской премии и Государственной премии СССР. Родился в Москве. В возрасте 13 лет потерял зрение в результате несчастного случая. В 1929 г. окончил математическое отделение физико-математического факультета Московского университета и поступил в двухгодичную аспирантуру к известному математику П. С. Александрову. В 1930 г. зачислен доцентом кафедры алгебры Московского университета. С 1934 г. начал работать в Математическом институте им. В. А. Стеклова (МИАН), с 1939 г. — заведующий отделом МИАН. В 1935 г. ему была присуждена степень доктора физико-математических наук; в том же году он стал профессором МГУ. В 1971 г., в момент создания факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, организовал кафедру оптимального управления в составе факультета, заведующим которой являлся до 1988 г. В числе его наград — четыре ордена Ленина, орден Октябрьской Революции, орден Трудового Красного Знамени.

Основные работы Л. С. Понтрягина относятся к теории дифференциальных уравнений, топологии, теории колебаний, теории управления, вариационному исчислению, алгебре. В топологии он открыл общий закон двойственности и в связи с этим построил теорию характеров непрерывных групп; получил ряд результатов в теории гомотопий (классы Понтрягина). В теории колебаний главные результаты работ Л. С. Понтрягина относятся к асимптотике релаксационных колебаний. В теории управления он выступил как создатель математической теории оптимальных процессов, в основе которой лежит так называемый принцип максимума Понтрягина. Ему принадлежат также существенные результаты в области вариационного исчисления, дифференциальных игр, теории размерности, теории регулирования. Работы школы Л. С. Понтрягина оказали большое влияние на развитие теории управ­ления и вариационного исчисления во всем мире.

Гамкрелидзе Реваз Валерианович

Выпускник механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова, доктор физико-математических наук, профессор, академик Российской академии наук и Грузинской национальной академии наук. Главный научный сотрудник Математического института имени В. А. Стеклова РАН.

Область научных интересов: алгебраическая топология, вариационное исчисление, теория оптимального управления, дифференциально-геометрические методы в теории экстремальных задач, дифференциальные игры. Соавтор монографии «Математическая теория оптимальных процессов», основатель и многолетний главный редактор серии Encyсlopaedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag.