Книга написана крупным математиком Рихардом Курантом в соавторстве с Гербертом Роббинсом. Она призвана сократить разрыв между математикой, которая преподается в школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки. Начиная с элементарных понятий, читатель движется к важным областям современной науки. Книга написана доступным языком и является классикой популярного жанра ...(Подробнее)в математике. Книга предназначена для школьников, студентов, преподавателей, а также для всех интересующихся развитием математики и ее структурой.
Содержание
Предисловие ко второму русскому изданию 5
Предисловие к первому изданию 15
Предисловие ко второму, третьему и четвертому изданиям 17
Как пользоваться книгой 18
Что такое математика? 20
Глава I. Натуральные числа 25
Введение 25
1. Операции над целыми числами 26
1. Законы арифметики 26
2. Представление целых чисел с помощью письменных знаков (нумерация) 29
3. Арифметические действия в недесятичных системах счисления 32
2. Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая индукция 35
1. Принцип математической индукции 35
2. Арифметическая прогрессия 38
3. Геометрическая прогрессия 39
4. Сумма n первых квадратов 40
*5. Одно важное неравенство 41
*6. Биномиальная теорема 42
7. Дальнейшие замечания по поводу метода математической индукции 45
Дополнение к главе I. Теория чисел 47
Введение 47
1. Простые числа 48
1. Основные факты 48
2. Распределение простых чисел 52
2. Сравнения 60
1. Общие понятия 60
2. Теорема Ферма 65
3. Квадратические вычеты 67
3. Пифагоровы числа и большая теорема Ферма 69
4. Алгоритм Евклида 72
1. Общая теория 72
2. Применение к основной теореме арифметики 76
3. Функция Эйлера \vfi(n). Еще раз о теореме Ферма 77
4. Непрерывные дроби. Диофантовы уравнения 79
Глава II. Математическая числовая система 83
Введение 83
1. Рациональные числа 83
1. Рациональные числа как средство измерения 83
2. Возникновение надобности в рациональных числах внутри самой математики. Принцип обобщения 85
3. Геометрическое представление рациональных чисел 88
2. Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы 89
1. Введение 89
2. Десятичные дроби: конечные и бесконечные 93
3. Пределы. Бесконечные геометрические прогрессии 95
4. Рациональные числа и периодические десятичные дроби 99
5. Общее определение иррациональных чисел посредством стягивающихся отрезков 101
*6. Иные методы определения иррациональных чисел. Дедекиндовы сечения 104
3. Замечания из области аналитической геометрии 106
1. Основной принцип 106
2. Уравнения прямых и кривых линий 108
4. Математический анализ бесконечного 111
1. Основные понятия 111
2. Счетность множества рациональных чисел и несчетность континуума 113
3. "Кардинальные числа" Кантора 118
4. Косвенный метод доказательства 121
5. Парадоксы бесконечного 122
6. Основания математики 124
5. Комплексные числа 125
1. Возникновение комплексных чисел 125
2. Геометрическое представление комплексных чисел 128
3. Формула Муавра и корни из единицы 134
*4. Основная теорема алгебры 137
6. Алгебраические и трансцендентные числа 140
1. Определение и вопросы существования 140
*2. Теорема Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел 141
Дополнение к главе II. Алгебра множеств 145
1. Общая теория 145
2. Применение к математической логике 150
3. Одно из применений к теории вероятностей 152
Глава III. Геометрические построения. Алгебра числовых полей 155
Введение 155
Часть 1. Доказательства невозможности и алгебра 157
1. Основные геометрические построения 157
1. Построение полей и извлечение квадратных корней 158
2. Правильные многоугольники 161
3. Проблема Аполлония 164
2. Числа, допускающие построение, и числовые поля 166
1. Общая теория 166
2. Все числа, допускающие построение, --- алгебраические 173
3. Неразрешимость трех классических проблем 174
1. Удвоение куба 174
2. Одна теорема о кубических уравнениях 176
3. Трисекция угла 177
4. Правильный семиугольник 179
5. Замечания по поводу квадратуры круга 181
Часть 2. Различные методы выполнения построений 181
4. Геометрические преобразования. Инверсия 181
1. Общие замечания 181
2. Свойства инверсии 183
3. Геометрическое построение обратных точек 185
4. Как разделить отрезок пополам и как найти центр данного круга с помощью одного циркуля 187
5. Построения с помощью иных инструментов. Построения Маскерони с помощью одного циркуля 188
1. Классическая конструкция, служащая для удвоения куба 188
2. Построения с помощью одного циркуля 189
3. Черчение с помощью различных механических приспособлений. Механические кривые. Циклоиды 194
*4. Шарнирные механизмы. Инверсоры Поселье и Гарта 196
6. Еще об одной инверсии и ее применениях 199
1. Инвариантность углов. Семейства окружностей 199
2. Применение к проблеме Аполлония 201
3. Повторные отражения 204
Глава IV. Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии 206
1. Введение 206
1. Классификация геометрических свойств. Инвариантность при преобразованиях 206
2. Проективные преобразования 208
2. Основные понятия 209
1. Группа проективных преобразований 209
2. Теорема Дезарга 212
3. Двойное отношение 213
1. Определение и доказательство инвариантности 213
2. Применение к полному четырехстороннику 220
4. Параллельность и бесконечность 221
1. "Идеальные" бесконечно удаленные точки 221
2. Идеальные элементы и проектирование 224
3. Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами 226
5. Применения 227
1. Предварительные замечания 227
2. Двумерное доказательство теоремы Дезарга 229
3. Теорема Паскаля 230
4. Теорема Брианшона 232
5. Замечание по поводу двойственности 232
6. Аналитическое представление 233
1. Вводные замечания 233
*2. Однородные координаты. Алгебраические основы двойственности 235
7. Задачи на построения с помощью одной линейки 239
8. Конические сечения и квадрики 241
1. Элементарная метрическая геометрия конических сечений 241
2. Проективные свойства конических сечений 244
3. Конические сечения как "линейчатые кривые" 248
4. Теоремы Паскаля и Брианшона для общего случая произвольных конических сечений 252
5. Гиперболоид 255
9. Аксиоматика и неевклидова геометрия 257
1. Аксиоматический метод 257
2. Гиперболическая неевклидова геометрия 261
3. Геометрия и реальность 266
4. Модель Пуанкаре 267
5. Эллиптическая, или риманова, геометрия 269
Приложение. Геометрия в пространствах более чем трех измерений 271
1. Введение 271
2. Аналитический подход 271
*3. Геометрический, или комбинаторный, подход 274
Глава V. Топология 279
Введение 279
1. Формула Эйлера для многогранников 280
2. Топологические свойства фигур 285
1. Топологические свойства 285
2. Свойства связности 287
3. Другие примеры топологических теорем 288
1. Теорема Жордана о замкнутой кривой 288
2. Проблема четырех красок 290
*3. Понятие размерности 292
*4. Теорема о неподвижной точке 296
5. Узлы 300
4. Топологическая классификация поверхностей 301
1. Род поверхности 301
*2. Эйлерова характеристика поверхности 303
3. Односторонние поверхности 304
Приложение 309
*1. Проблема пяти красок 309
2. Теорема Жордана для случая многоугольников 312
*3. Основная теорема алгебры 314
Глава VI. Функции и пределы 317
Введение 317
1. Независимое переменное и функция 318
1. Определения и примеры 318
2. Радианная мера углов 323
3. График функции. Обратные функции 324
4. Сложные функции 328
5. Непрерывность 329
*6. Функции нескольких переменных 332
*7. Функции и преобразования 334
2. Пределы 336
1. Предел последовательности a_n 336
2. Монотонные последовательности 342
3. Число Эйлера e 345
4. Число \pi 347
*5. Непрерывные дроби 349
3. Пределы при непрерывном приближении 352
1. Введение. Общие определения 352
2. Замечания по поводу понятия предела 354
3. Предел \frac{\sin x}{x} 356
4. Пределы при x \to \infty 358
4. Точное определение непрерывности 359
5. Две основные теоремы о непрерывных функциях 362
1. Теорема Больцано 362
*2. Доказательство теоремы Больцано 363
3. Теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях 363
*4. Теорема о последовательностях. Компактные множества 365
6. Некоторые применения теоремы Больцано 367
1. Геометрические применения 367
*2. Применение к одной механической проблеме 370
Дополнение к главе VI. Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность 372
1. Примеры пределов 372
1. Общие замечания 372
2. Предел q^n 373
3. Предел \sqrt [n]{p} 374
4. Разрывные функции как предел непрерывных 376
*5. Пределы при итерации 377
2. Пример, относящийся к непрерывности 379
Глава VII. Максимумы и минимумы 380
Введение 380
1. Задачи из области элементарной геометрии 381
1. Треугольник наибольшей площади при двух заданных сторонах 381
2. Теорема Герона. Экстремальное свойство световых лучей 381
3. Применения к задачам о треугольниках 383
4. Свойства касательных к эллипсу и гиперболе. Соответствующие экстремальные свойства 384
*5. Экстремальные расстояния точки от данной кривой 387
2. Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи 390
1. Принцип 390
2. Примеры 391
3. Стационарные точки и дифференциальное исчисление 393
1. Экстремальные и стационарные точки 393
2. Максимумы и минимумы функций нескольких переменных. Седловые точки 395
3. Точки минимакса и топология 396
4. Расстояние точки от поверхности 397
4. Треугольник Шварца 398
1. Доказательство, предложенное Шварцем 398
2. Другое доказательство 400
3. Тупоугольные треугольники 402
4. Треугольники, образованные световыми лучами 403
*5. Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое движение 404
5. Проблема Штейнера 406
1. Проблема и ее решение 406
2. Анализ возникающих альтернатив 407
3. Дополнительная проблема 409
4. Замечания и упражнения 410
5. Обобщение: проблема уличной сети 411
6. Экстремумы и неравенства 413
1. Средние арифметическое и геометрическое двух положительных величин 413
2. Обобщение на случай n переменных 414
3. Метод наименьших квадратов 416
7. Существование экстремума. Принцип Дирихле 418
1. Общие замечания 418
2. Примеры 421
3. Экстремальные проблемы элементарного содержания 423
4. Трудности, возникающие в более сложных случаях 425
8. Изопериметрическая проблема 426
9. Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой 429
10. Вариационное исчисление 433
1. Введение 433
2. Вариационное исчисление. Принцип Ферма в оптике 434
3. Решение задачи о брахистохроне, принадлежащее Якобу Бернулли 436
4. Геодезические линии на сфере. Минимаксы 438
11. Экспериментальные решения минимальных проблем. Опыты с мыльными пленками 439
1. Введение 439
2. Опыты с мыльными пленками 440
3. Новые опыты, относящиеся к проблеме Плато 441
4. Экспериментальные решения других математических проблем 445
Глава VIII. Математический анализ 452
Введение 452
1. Интеграл 453
1. Площадь как предел 453
2. Интеграл 455
3. Общие замечания о понятии интеграла. Общее определение 458
4. Примеры интегрирования. Интегрирование x^r 460
5. Правила "интегрального исчисления" 466
2. Производная 470
1. Производная как наклон 470
2. Производная как предел 471
3. Примеры 474
4. Производные от тригонометрических функций 478
*5. Дифференцируемость и непрерывность 479
6. Производная и скорость. Вторая производная и ускорение 479
7. Геометрический смысл второй производной 483
8. Максимумы и минимумы 484
3. Техника дифференцирования 485
4. Обозначения Лейбница и "бесконечно малые" 491
5. Основная теорема анализа 495
1. Основная теорема 495
2. Первые применения. Интегрирование функций x^r, \cos x, \sin x. Функция \arctg x 498
3. Формула Лейбница для \pi 501
6. Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм 503
1. Определение и свойства логарифма. Эйлерово число e 503
2. Показательная (экспоненциальная) функция 506
3. Формулы дифференцирования функций e^x, a^x, x^s 509
4. Явные выражения числа e и функций e^x и \ln x в виде пределов 510
5. Бесконечный ряд для логарифма. Вычисление логарифмов 513
7. Дифференциальные уравнения 516
1. Определения 516
2. Дифференциальное уравнение экспоненциальной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные проценты 517
3. Другие примеры. Простейшие колебания 521
4. Закон движения Ньютона 523
Дополнение к главе VIII. 525
1. Вопросы принципиального порядка 525
1. Дифференцируемость 525
2. Интеграл 528
3. Другие приложения понятия интеграла. Работа. Длина кривой 529
2. Порядки возрастания 533
1. Показательная функция и степени переменного x 533
2. Порядок возрастания \ln(n!) 535
3. Бесконечные ряды и бесконечные произведения 537
1. Бесконечные ряды функций 537
2. Формула Эйлера \cos x+i\sin x=e^ix 542
3. Гармонический ряд и дзета-функция. Формула Эйлера, выражающая \sin x в виде бесконечного произведения 545
4. Доказательство теоремы о простых числах на основе статистического метода 549
Приложение. Дополнительные замечания, задачи и упражнения 554
Арифметика и алгебра 554
Аналитическая геометрия 556
Геометрические построения 563
Проективная и неевклидова геометрия 564
Топология 565
Функции, пределы, непрерывность 568
Максимумы и минимумы 569
Дифференциальное и интегральное исчисления 572
Техника интегрирования 574
Рекомендуемая литература 581
Предметный указатель 585
Есть также в другом состоянии:
