|
Вступление
 Алгебраическая геометрия, как указывает само название этой науки, лежит на стыке алгебры и геометрии. Алгебра и геометрия выступают более или менее равноправными партнерами в алгебраической геометрии; иногда алгебраические проблемы переформулируются на геометрическом языке с тем, чтобы решать их, опираясь на геометрическую интуицию и пользуясь методами, разработанными в геометрии; вместе с тем часто задача о геометрических объектах переводится на алгебраический язык и решается алгебраическими методами. Возникновение алгебраической геометрии можно отнести еще к эпохе Древней Греции, поскольку предпринятое греческими математиками изучение неопределенных уравнений второго порядка (проблема, принадлежащая в современной терминологии алгебраической теории чисел) через исследования свойств конических сечений можно считать первым примером задачи алгебраической геометрии. Основы современному подходу к задачам алгебраической геометрии были заложены Р.Декартом и П.Ферма" которым принадлежит идея о представлении геометрических объектов (линий) на плоскости посредством уравнений от двух переменных и идея об изучении геометрических мест на плоскости через исследование этих уравнений. Р.Декарт разделил кривые на плоскости на "геометрические" и "механические" (Р.Декарт. Геометрия, 1637), Г.Лейбниц ввел современную терминологию -- "алгебраические " и "трансцендентные" кривые и предпринял систематическое изучение кривых высших порядков (1684). Мысль о представлении поверхности в пространстве посредством уравнения от трех переменных была высказана французским математиком Пара в 1713 г., в 1748 г. Л.Эйлер впервые разделил поверхности на "алгебраические" и "трансцендентные" и дал классификацию алгебраических поверхностей второго порядка (см. "Введение в анализ"). В течение XVIII и первой половины XIX века было накоплено громадное количество фактов, относящихся к разным областям алгебраической геометрии. Весьма интенсивно изучались различные классы алгебраических кривых. Начало этим исследованиям положили Декарт, Лейбниц и Ньютон. Ньютону, в частности, принадлежит классификация кривых третьего порядка и один общий метод в теории алгебраических кривых на плоскости ("диаграмма Ньютона"), Громадное число исследований было посвящено некоторым специальным кривым, характеристике особенностей кривых на плоскости, различным геометрическим свойствам кривых на плоскости. Большое число исследований было посвящено алгебраическим поверхностям, их геометрическим свойствам, описанию некоторых специальных поверхностей (поверхности второго порядка -- квадрики, поверхности третьего порядка, конусы, некоторые поверхности с более сложными особенностями). Однако этим исследованиям не хватало, как правило, общих методов, широких точек зрения; методы, применявшиеся для исследования одного узкого класса геометрических объектов, оказывались непригодными для исследования другого класса, изучавшиеся свойства имели слишком специальный, частный характер. Поэтому алгебраической геометрии как самостоятельной науки со своим кругом проблем, идей и методов еще не существовало, хотя этот "подготовительный" период позволил накопить много фактических наблюдений, имевших большую ценность для следующего этапа. Алгебраическая геометрия в современном понимании этого слова наука молодая. У ее колыбели стояли великие математики второй половины XIX века -- Риман, Клебш, М.Нётер (Германия), Кэли (Англия), А.Пуанкаре, Пикар (Франция). Окончательно же оформилась алгебраическая геометрия как наука в основополагающих работах итальянских математиков конца XIX -- начала XX века Г.Кастельнуово, Ф.Энрикеса, С.Сегре, Ф.Севери. Можно говорить о целом "итальянском периоде" в развитии алгебраической геометрии, когда итальянская школа с ее любовью к геометрическим методам почти безраздельно господствовала в этой науке. Это был героический период -- период создания новых методов, обнаружения новых подходов и неожиданных связей с другими областями математики. Идеи и методы, созданные итальянскими математиками, оказали глубокое влияние на все последующее развитие алгебраической геометрии. Это влияние отчетливо ощущается еще и сейчас. "Итальянский период" в алгебраической геометрии несколько напоминает развитие математического анализа в XVIII веке, период бурного роста, открытия все новых и новых приложений, некоторого пренебрежения к прочности фундамента. "Давайте идти вперед, об основаниях позаботимся потом", -- эта крылатая фраза, сказанная о героической эпохе в развитии анализа, "вполне могла бы быть отнесена к алгебраической геометрии в "итальянский период". Затем, как обычно бывает, наступило некоторое отрезвление. Появились работы, в которых критически пересматривались результаты итальянской школы; под некоторые достижения подводилась прочная алгебраическая база; в первую очередь в этой связи следует упомянуть работы Б.Ван-дер-Вардена и А.Вейля. В 30-х же годах получили развитие методы дифференциальных форм, и в частности, гармонических форм на алгебраических многообразиях (работы де Рама и Ходжа). Наконец, из предвоенных работ следует упомянуть исследования Лефшеца по топологии алгебраических многообразий и, в частности, алгебраических поверхностей. Его знаменитая работа "Топология и алгебраическая геометрия" сыграла большую роль в изучении алгебраических многообразий с топологической точки зрения и оказала существенное влияние на развитие алгебраической геометрии в целом. Эта книга, однако, была написана в духе "итальянской школы"; многие ее результаты впоследствии передоказывались иными, алгебраическими и современными топологическими методами. Первое послевоенное десятилетие (1945--1955 гг.) характеризуется в алгебраической геометрии гегемонией французской математической школы. Новые понятия и методы, созданные Лере, Серром, А.Картаном, -- метод спектральной последовательности, понятие пучка, методы гомологической алгебры, -- позволили решить ряд важных задач алгебраической геометрии. Две классические проблемы алгебраической геометрии -- гипотеза Ходжа и обобщение теоремы Римана--Роха на многообразия произвольной размерности -- были решены соответственно в 1954 г. Кодаира (Япония) и в 1955 г. Хирцебрухом (ФРГ) с широким использованием методов, созданных во французской школе. В этот же период получили широкое применение в алгебраической геометрии созданные и разработанные Л.С.Понтрягиным фундаментальные алгебраико-топологические методы -- теория препятствий, теория характеристических классов и классов Понтрягина, играющие большую роль в теоремах типа Римана--Роха. В 20-х и 30-х годах советскими математиками были получены отдельные яркие результаты в ряде направлений алгебраической геометрии. Н.Г.Чеботарев получил существенное продвижение в важной проблеме о характеризации якобиевых многообразий среди произвольных абелевых многообразий. И.Г.Петровский исследовал поставленный Гильбертом вопрос о взаимном расположении связных компонент вещественной алгебраической кривой степени п на вещественной плоскости. Он показал, что среди связных компонент (их число не больше ((n -- 1)(n -- 2))/2 + 1 есть не более (3n(n -- 2))/8 + 1 не вложенных друг в друга овалов и что эта граница действительно достигается. Созданные И.Г.Петровским методы были развиты в последующих работах И.Г.Петровского и О.А.Олейник, и применены к исследованию вещественных алгебраических поверхностей. Однако в целом алгебраическая геометрия у нас в стране до середины 50-х годов развивалась явно недостаточно; не было традиций исследований в ряде основных направлений, не было научной школы. Интерес к алгебраической геометрии пробудился у нас в начале 50-х годов, когда выяснилось большое значение алгебраико-геометрических методов для задач алгебраической теории чисел и когда была создана советская школа в области алгебраической геометрии, получившая за истекшее десятилетие мировое признание. В алгебраической теории чисел русским математикам принадлежит весьма значительный вклад. Е.И.Золотарев одновременно с немецким математиком Дедекиндом построил теорию делимости целых алгебраических чисел; Е.И.Золотарев был основателем русской школы в области алгебраической теории чисел. Весьма важный вклад в эту область внес Г.Ф.Вороной, создатель теории квадратичных форм. В первый послереволюционный период (20-е -- начало 30-х годов) важные исследования в теории иррациональностей третьей степени были выполнены Б.Н.Делоне и Д.К.Фаддеевым. Большое значение алгебраико-геометрических методов и подходов к решению задач алгебраической теории чисел обнаружил известный французский математик (ныне живущий в США) А.Вейль. В 1940 г. им была решена знаменитая проблема Римана о нулях дзета-функции для случая, когда основное поле -- поле алгебраических чисел. Об авторе
Алексей Борисович ЖИЖЧЕНКО
Родился 19 июля 1934 г. в Москве. В 1956 г. окончил механико-математический факультет Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова. В течение длительного времени работал в области алгебраической геометрии, а с конца 1980-х гг. -- в области информационных систем в математике и научных телекоммуникаций. Работал в отделе алгебры Математического института им. В. А. Стеклова РАН. Ученый секретарь Отделения математики АН СССР (1965--1987), заместитель академика-секретаря (с 1987 г. по настоящее время). С 2000 г. -- член-корреспондент РАН по Отделению математики, специализация "информационные системы в математике". А.Б.Жижченко внес большой вклад в научное обоснование и разработку информационных систем в области математики и современных систем телекоммуникационного обмена в России. Он -- организатор и директор Центра научных телекоммуникаций и информационных технологий РАН. Под его руководством создана одна из крупнейших в стране научная телекоммуникационная система RAS.RU. Автор более 40 научных работ. Награжден орденом "Знак Почета" (1976), орденом Трудового Красного Знамени (1986) и орденом Почета (2006). |