Иосида К. Функциональный анализ.
Пер. с англ. Изд. 2

---

Предисловие переводчика
Предисловие
Введение
	1.	Теория множеств
	2.	Топологические пространства
	3.	Пространства с мерой
	4.	Линейные пространства
	Литература
I.	Полунормы
	1.	Полунормы и локально выпуклые линейные топологические пространства
	2.	Нормы и квазинормы
	3.	Примеры нормированных линейных пространств
	4.	Примеры квазинормированных линейных пространств
	5.	Предгильбертовы пространства
	6.	Непрерывность линейных операторов
	7.	Ограниченные множества и борнологические пространства
	8.	Обобщенные функции и обобщенные производные
	9.	B-пространства и F-пространства
	10.	Пополнение
	11.	Факторпространства B-пространств
	12.	Разбиение единицы
	13.	Обобщенные функции с бикомпактными носителями
	14.	Прямое произведение обобщенных функций
	Литература к главе I
II.	Приложения теоремы Бэра -- Хаусдорфа
	1.	Теорема о равномерной ограниченности
	2.	Теорема Витали -- Хана -- Сакса
	3.	Почленная дифференцируемость последовательности обобщенных функций
	4.	Теорема о сгущении особенностей
	5.	Теорема об открытости отображения
	6.	Теорема о замкнутом графике
	7.	Об одном приложении теоремы о замкнутом графике (теорема Хёрмандера)
	Литература к главе II
III.	Ортогональная проекция и теорема Ф.Рисса о представлении линейного функционала
	1.	Ортогональная проекция
	2.	"Почти ортогональные" элементы
	3.	Теорема Асколи -- Арцела
	4.	Ортогональный базис. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля
	5.	Ортогонализация (по Шмидту)
	6.	Теорема Ф. Рисса о представлении линейного функционала
	7.	Теорема Лакса -- Мильграма
	8.	Одно доказательство теоремы Лебега -- Никодима
	9.	Воспроизводящее ядро
	10.	Отрицательная норма по Лаксу
	11.	Локальная структура обобщенных функций
	Литература к главе III
IV.	Теоремы Хана -- Банаха
	1.	Теорема Хана -- Банаха о продолжении линейных функционалов в вещественных линейных пространствах
	2.	Обобщенный предел
	3.	Полные локально выпуклые линейные топологические пространства
	4.	Теорема Хана -- Банаха о продолжении линейных функционалов в комплексных линейных пространствах
	5.	Теорема Хана -- Банаха о продолжении линейных функционалов в нормированных линейных пространствах
	6.	Существование нетривиальных непрерывных линейных функционалов
	7.	Операторные топологии
	8.	Вложение пространства X во второе сопряженное пространство X"
	9.	Примеры сопряженных пространств
	Литература к главе IV
V.	Сильная сходимость и слабая сходимость
	1.	Слабая сходимость и слабая * сходимость
	2.	Слабая компактность в рефлексивных B-пространствах. Равномерная выпуклость
	3.	Теорема Данфорда и теорема Гельфанда -- Мазура
	4.	Слабая и сильная измеримость. Теорема Петтиса
	5.	Интеграл Бохнера
	Литература к главе V
Приложение к главе V. Слабые топологии и сопряженность в локально выпуклых линейных топологических пространствах
	1.	Поляры
	2.	Бочечные пространства
	3.	Полурефлексивность и рефлексивность
	4.	Теорема Эберлейна -- Шмульяна
VI.	Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
	1.	Преобразование Фурье быстро убывающих функций
	2.	Преобразование Фурье медленно растущих обобщенных функций
	3.	Свертки
	4.	Теоремы Пэли -- Винера. Преобразование Лапласа
	5.	Теорема Титчмарша
	6.	Операторное исчисление Микусинского
	7.	Лемма Соболева
	8.	Неравенство Гординга
	9.	Теорема Фридрихса
	10.	Теорема Мальгранжа -- Эренпрейса
	11.	Дифференциальные операторы с переменными коэффициентами
	12.	Гипоэллиптические операторы. Теорема Хёрмандера
VII.	Сопряженные операторы
	1.	Сопряженные операторы в локально выпуклых линейных топологических пространствах
	2.	Сопряженные операторы в гильбертовом пространстве
	3.	Симметрические и самосопряженные операторы
	4.	Унитарные операторы. Преобразование Кэли
	5.	Операторы с замкнутой областью значений
	Литература к главе VII
VIII.	Резольвента и спектр
	1.	Резольвента и спектр
	2.	Резольвентное уравнение и спектральный радиус
	3.	Статистическая зргодическая теорема
	4.	Обобщение эргодических теорем Хилле о псевдорезольвентах
	5.	Среднее значение почти-периодической функции
	6.	Резольвента сопряженного оператора
	7.	Операторное исчисление
	8.	Изолированные особые точки резольвенты
	Литература
IX.	Аналитическая теория полугрупп
	1.	Полугруппы класса (С0)
	2.	Равностепенно непрерывные полугруппы класса С0) в локально выпуклых пространствах. Примеры полугрупп
	3.	Инфинитезимальный производящий оператор равностепенно непрерывной полугруппы класса С0)
	4.	Резольвента инфинитезимального производящего оператора A
	5.	Примеры инфинитезимальных производящих операторов
	6.	Показательная функция непрерывного линейного оператора, степени которого равностепенно непрерывны
	7.	Представление равностепенно непрерывной полугруппы класса С0) с помощью соответствующего инфинитезимального производящего оператора
	8.	Сжимающие полугруппы и диссипативные операторы
	9.	Равностепенно непрерывные группы класса С0). Теорема Стоуна
	10.	Голоморфные полугруппы
	11.	Дробные степени замкнутых операторов
	12.	Сходимость последовательностей полугрупп. Теорема Троттера -- Като
	13.	Сопряженные полугруппы. Теорема Филлипса
X.	Вполне непрерывные операторы
	1.	Бикомпактные множества в B-пространствах
	2.	Вполне непрерывные операторы и ядерные операторы
	3.	Теорема Реллиха -- Гординга
	4.	Теорема Шаудера
	5.	Теория Рисса -- Шаудера
	6.	Задача Дирихле
Приложение к главе X. Ядерное пространство Гротендика
XI.	Нормированные кольца и спектральное представление линейных операторов
	1.	Максимальные идеалы нормированного кольца
	2.	Радикал кольца. Полупростые кольца
	3.	Спектральное разложение ограниченных нормальных операторов
	4.	Спектральное разложение унитарного оператора
	5.	Разложение единицы
	6.	Спектральное разложение самосопряженного оператора
	7.	Вещественные и полуограниченные операторы. Теорема Фридрихса
	8.	Спектр самосопряженного оператора. Теорема Крылова--Вайнштейна. Кратность спектра
	9.	Разложение элемента пространства. Условие отсутствия непрерывного спектра
	10.	Теорема Петера -- Вейля -- Неймана
	11.	Теорема двойственности для некоммутативных бикомпактных групп
	12.	Функции самосопряженных операторов
	13.	Теорема Стоуна и теорема Бохнера
	14.	Каноническая форма самосопряженного оператора с простым спектром
	15.	Индекс дефекта симметрического оператора. Обобщенное разложение единицы
	16.	Групповое кольцо L' и тауберова теорема Винера
XII.	Другие теоремы о представлении в линейных пространствах
	1.	Крайние точки. Теорема Крейна -- Мпльмана
	2.	Векторные структуры
	3.	B-структуры и F-структуры
	4.	Теорема Банаха о сходимости
	5.	Представление векторной структуры при помощи функций точки
	6.	Представление векторной структуры при помощи функций множества
XIII.	Эргодическая теория и теория диффузионных процессов
	1.	Марковский процесс с инвариантной мерой
	2.	Индивидуальная эргодическая теорема и ее приложения
	3.	Эргодическая гипотеза и H-теорема
	4.	Эргодическое разложение марковского процесса с локально бикомпактным фазовым пространством
	5.	Броуновское движение в однородном римановом пространстве
	6.	Обобщенный лапласиан (Феллер)
	7.	Расширение диффузионного оператора
	8.	Марковские процессы и потенциалы
XIV.	Интегрирование эволюционных уравнений
	1.	Интегрирование уравнения диффузии в пространстве L2 (Rm)
	2.	Интегрирование уравнения диффузии в бикомпактном римановом пространстве
	3.	Интегрирование волнового уравнения в евклидовом пространстве Rm
	4.	Интегрирование неоднородных во времени эволюционных уравнений в рефлексивном B-пространстве
	5.	Метод Танабе и Соболевского
Литературные указания и замечания
Библиография
Именной указатель
Предметный указатель

---

В отечественной и переводной литературе по функциональному анализу, весьма обширной в настоящее время, имеется довольно много книг учебного характера и монографий. Здесь можно, например, упомянуть книги А.Н.Колмогорова, С.В.Фомина [2*], В.И.Смирнова [1*], Л.А.Люстерника, В.И.Соболева [1*], Г.Е.Шилова [3*], Ф.Рисса, Б.С.Надя [3], Б. 3. Вулиха '[1*], Л.В.Канторовича, Г.П.Акилова [1], Н.И.Ахиезера, И.М.Глазмана [1], И.М.Гельфанда (с соавторами) [1], [3], [5], такие сочинения энциклопедического характера, как книги Н.Данфорда, Дж.Шварца [1], Э.Хилле, Р.Филлипса [1], Н.Бурбаки [2] и ряд других.

И тем не менее книга К.Иосида будет, как мы считаем, полезной и нужной для читателей, обладающих достаточной математической подготовкой (примерно в объеме программы 2--3 курсов физико-математических факультетов) и желающих углубить свои знания по функциональному анализу. Дело в том, что от обычных учебников курс профессора К.Иосида отличается более широким охватом различных разделов функционального анализа, современным, близким к уровню развития науки самых последних лет подходом к изложению материала и большим числом интересных приложений. Так, например, с самого начала широко используется понятие полунормы, рассматриваются такие вопросы, как теорема Хёрмандера о гипоэллиптических операторах, отрицательные нормы Лакса, ядерные операторы и пространства, теория почти-периодических функций на топологических группах, ряд задач теории марковских процессов, интегрирование уравнения диффузии в евклидовом и римановом пространствах и некоторые другие задачи, не являющиеся традиционными для учебника общего типа.

Часть содержания книги, в особенности двух последних глав (эргодическая теория, диффузионные процессы и эволюционные уравнения), непосредственно связана с собственными научными интересами автора. Последнее обстоятельство в известной степени определило и выбор приложений, значительная часть которых относится к вышеупомянутым разделам математики. Многие результаты, вошедшие в книгу, раньше можно было найти лишь в специальных журналах (в особенности это относится к некоторым японским авторам); ряд результатов ранее не публиковался. С другой стороны, от больших по объему монографий, посвященных специальным вопросам и доступных лишь квалифицированным математикам, эта книга отличается последовательным изложением материала, постепенным нарастанием сложности и трудности изучаемых проблем, достаточно детальным рассмотрением основных понятий и, как правило, подробными доказательствами -- именно теми чертами, которые делают эту книгу учебником повышенного типа, преследующим в первую очередь цели подготовки читателя к изучению специальной литературы и самостоятельной научной работе.

Следует отметить серьезный недостаток книги -- в ней почти совсем нет упражнений для самостоятельного решения. Это обстоятельство, а также весь стиль изложения, рассчитанный на сравнительно квалифицированного читателя, делает книгу трудной для первоначального ознакомления с основами функционального анализа. Поэтому можно порекомендовать в качестве предварительной подготовки познакомиться с книгами А.Н.Колмогорова, С.В.Фомина [2*] или Л.А.Люстерника, В.И.Соболева [1*]. При работе над книгой может также оказаться полезным справочник "Функциональный анализ" (см. Н.Я.Виленкин и др. [2*]) в особенности при затруднениях с терминологией.

Несмотря на обилие включенных в книгу вопросов и широту охвата различных разделов функционального анализа, некоторые важные в теоретическом и прикладном плане проблемы остались в книге не затронутыми. Читатель не найдет в ней, например, теорем о неподвижных точках, нелинейных операторных уравнений, теории операторов в пространствах с конусом; такие важные понятия, как положительные операторы и функционалы, рассмотрены недостаточно подробно. Понятно, впрочем, что на нынешнем уровне развития функционального анализа никакой учебник не может охватить всех важных вопросов. Для изучения таких разделов читателю придется обратиться к другим книгам, в частности, упомянутые выше вопросы подробно освещены в книгах М.А.Красносельского [1*], [2*].

При переводе этой книги мы старались по возможности максимально приблизить терминологию к нормам, принятым в отечественной литературе. Текст перевода снабжен рядом примечаний, касающихся главным образом терминологии и обозначений и поясняющих детали формулировок некоторых определений и доказательств теорем.

---

В основу этой книги положены лекции, читавшиеся автором в Токийском университете в течение последних десяти лет. Книга была задумана как учебник по курсу функционального анализа, охватывающему общую теорию линейных операторов в функциональных пространствах и ее важнейшие приложения в различных областях современного и классического анализа. Ее можно использовать и для самостоятельного изучения предмета.

Предварительные сведения, необходимые для чтения этой книги, приводятся (с доказательством или без) в введении в разделах "Теория множеств", "Топологические пространства", "Пространства с мерой", "Линейные пространства". Далее, начиная с главы, посвященной понятию полунормы, излагается общая теория банаховых и гильбертовых пространств, которые рассматриваются в тесной связи с теорией обобщенных функций С.Л.Соболева и Л.Шварца. В основном этот курс адресован студентам старших курсов, но мы надеемся, что книга будет полезна и тем, кто занимается исследовательской работой в области теоретической и прикладной математики. При желании читатель может после изучения гл.IX ("Аналитическая теория полугрупп") перейти прямо к гл.XIII ("Эргодическая теория и диффузионные процессы") и к гл.XIV ("Интегрирование эволюционных уравнений"). Такие разделы теории, как "Слабые топологии и сопряженность в локально выпуклых линейных топологических пространствах" и "Ядерные пространства", представлены в виде приложений соответственно к гл.V и X. Читатель, интересующийся в первую очередь приложениями теории линейных операторов, может опустить этот материал при первом чтении книги.

При работе над книгой автор пользовался ценными советами и критическими замечаниями многих своих друзей. Автор чрезвычайно признателен госпоже К.Хилле, любезно взявшей на себя труд прочитать рукопись и корректуры книги. Без ее помощи было бы трудно преодолеть стилистические трудности языка, не являющегося для автора родным. Автор также многим обязан своим старым друзьям профессорам Иельского университета Э.Хилле и Какутани и профессору Станфордского университета Филлипсу, ценными советами и указаниями которых автор пользовался при работе над рукописью этой книги во время своего пребывания в 1952 г. в Иельском и Станфордском университетах. Профессор С.Ито и доктор Коматсу из Токийского университета во многом помогли автору при чтении корректуры, исправляя ошибки и улучшая изложение. Автор выражает им всем свою глубокую благодарность.

Автор благодарен также профессору Гейдельбергского университета Шмидту и профессору Калифорнийского университета (Беркли) Като, чья поддержка постоянно воодушевляла автора, когда он писал эту книгу.

Токио, сентябрь 1964 г.

---

Косаку ИОСИДА (1909--1990)

Известный японский математик, профессор Токийского университета, специалист в области функционального анализа. Родился в Хиросиме. После окончания Токийского университета работал в высших учебных заведениях Осаки и Нагоя. В 1955 г. вернулся в Токийский университет. Иностранный член Академии наук СССР с 1982 г. Автор многих работ в области функционального анализа, дифференциальных уравнений, теории вероятностей. Его учебник "Функциональный анализ" получил широкую популярность и был неоднократно переиздан на английском языке, а также переведен на другие языки мира, в том числе и на русский (1967).