|
Оглавление
 Предисловие...................................... 5 Основные обозначения........................ 11 1. Числовые ряды..................... 19 1.1. Основные определения.................. 19 1.2. Необходимый признак сходимости рядов....... 31 1.3. Свойства сходящихся рядов............... 34 1.4. Знакоположительные ряды. Признаки сравнения........ 42 1.5. Интегральный признак сходимости Коши...... 50 1.6. Признак Даламбера.................... 60 1.7. Радикальный признак Коши.............. 66 1.8. Абсолютная и условная сходимости.......... 70 1.9. Знакочередующиеся ряды................ 80 1.10. Умножение рядов..................... 85 1.11. Оценки сумм рядов.................... 90 Д.1.1. Доказательство теоремы Римана об условно сходящих ся рядах.......................... 94 Д.1.2. Признаки сходимости Дирихле и Абеля........ 102 Вопросы и задачи..................... 108 2. Функциональные ряды................. 115 2.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов............................ 115 2.2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.................... 127 2.3. Свойства равномерно сходящихся рядов........ 148 2.4. Комплексные степенные ряды.............. 157 2.5. Действительные степенные ряды............ 170 2.6. Ряд Тейлора........................ 177 2.7. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора..... 184 2.8. Применение рядов в приближенных вычислениях........ 199 2.9. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью рядов............... 209 Д.2.1. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме............................ 230 Вопросы и задачи..................... 232 3. Ряды Фурье........................ 238
3.1. Ортонормированные системы и ряды Фурье..... 238
3.2. Комплексная форма записи тригонометрического ряда Фурье............................ 253
3.3. Ряды Фурье по тригонометрической системе............ 256
3.4. О порядке малости коэффициентов Фурье...... 270
3.5. Дифференцирование и интегрирование тригонометрических рядов Фурье................... 275
3.6. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье на отрезке [-7Г, ж].................. 278
3.7. Сдвиг отрезка разложения............... 286
3.8. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье на отрезке [—1,1]................... 290
3.9. Разложение четных и нечетных функций....... 296
3.10. Разложение функций в ряды Фурье по синусам и по косинусам......................... 301
3.11. Вычисление сумм числовых рядов с помощью рядов Фурье............................ 314
3.12. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье....................... 319
Д.3.1. Доказательство леммы Римана для определенных интегралов........................... 336
Д.3.2. О достаточных признаках сходимости ряда Фурье.......... 339
Вопросы и задачи..................... 343
4. Интеграл Фурье....................... 348
4.1. Определение интеграла Фурье............. 348
4.2. Представление функций интегралом Фурье...... 351
4.3. Интеграл Фурье в случае четных и нечетных функций 364
4.4. Комплексная форма интеграла Фурье......... 378
4.5. Преобразование Фурье.................. 393
4.6. Косинус-преобразование и синус-преобразование Фурье............................. 399
4.7. Свойства преобразования Фурье............ 404
Д.4.1. Некоторые свойства несобственных интегралов с параметрами.......................... 414
Вопросы и задачи..................... 421
5. Ряды в нормированных пространствах......... 424
5.1. Нормированные пространства............. 424
5.2. Банаховы пространства................. 432
5.3. Подпространства нормированных пространств......... 437
5.4. Сепарабельные пространства.............. 443
5.5. Сходимость рядов в банаховых пространствах............ 449
5.6. Банаховы пространства со счетным базисом..... 454
5.7. Счетные базисы в пространстве непрерывных функций......... 461
5.8. Неравенства Минковского и Гельдера......... 474
Вопросы и задачи..................... 478
6. Ортонормированные системы в гильбертовых пространствах...................... 481
6.1. Гильбертовы пространства............... 481
6.2. Расстояние до подпространства............ 486
6.3. Ортогональность..................... 491
6.4. Ортонормированные системы и ряды Фурье..... 494
6.5. Ортонормированные базисы.............. 500
6.6. Ортогонализация и существование ортогонального базиса............................. 507
6.7. Изоморфность гильбертовых сепарабельных пространств........................... 513
Вопросы и задачи..................... 520
7. Ряды по ортогональным системам в ?2(0,6].......... 523
7.1. Мера Лебега........................ 524
7.2. Измеримые функции................... 533
7.3. Интеграл Лебега..................... 534
7.4. Банахово пространство L[а, Ь]............. 543
7.5. Гильбертово пространство Ьг[а,Ь]........... 544
7.6. Тригонометрическая система.............. 548
7.7. Многочлены Лежандра.................. 555
7.8. Многочлены Чебышева.................. 569
7.9. Система Хаара...................... 579
7.10. Системы Радемахера и Уолша............. 589
Вопросы и задачи..................... 597
Список рекомендуемой литературы................ 600
Предметный указатель................... 603
|