Id: 5250 1360 ₽ В корзину Волевич Л.Р., Гиндикин С.Г. Метод многогранника Ньютона в теории дифференциальных уравнений в частных производных 2002. 312 с. Белая офсетная бумага Твердый переплет Аннотация Монография посвящена разработке алгебраической, геометрической и аналитической техники в дифференциальных уравнениях с частными производными, связанной с многогранником Ньютона символа оператора. Более элементарная первая часть книги, посвященная многоугольнику Ньютона (гл.I–IV), содержит, тем не менее, законченные результаты и ориентирована на широкий круг читателей. Вторая часть (гл.IV–VII), посвященная многограннику Ньютона,... (Подробнее) Оглавление Предисловие I Двусторонние оценки полиномов, связанные с многоугольником Ньютона, и их приложение к изучению локальных свойств дифференциальных операторов в частных производных с двумя переменными   Введение   § 1. Многоугольник Ньютона полинома от двух переменных     1.1. Обозначения. Многоугольник Ньютона     1.2. q-порядок и q-старшая часть полинома     1.3. Эквивалентные полиномы. Факторизация     1.4. Разложение корней полинома от двух переменных в ряд Пюизе   § 2. Полиномы, допускающие двусторонние оценки     2.1. Формулировка основного результата     2.2. Необходимые условия существования оценки (3)     2.3. Достаточные условия существования оценки (3)     2.4. Устойчивость полиномов, допускающих оценку (3)   § 3. N-квазиэллиптические полиномы от двух переменных     3.1. Квазиэллиптические полиномы     3.2. Полиномы с регулярным многоугольником Ньютона. Гипоэллиптические полиномы     3.3. N-квазиэллиптические полиномы   § 4. N-квазиэллиптические дифференциальные операторы     4.1. Некоторые определения и обозначения     4.2. N-квазиэллиптические дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами     4.3. N-квазиэллиптические дифференциальные операторы с переменными коэффициентами     4.4. Априорные оценки для N-квазиэллиптических дифференциальных операторов     4.5. Априорные оценки N-квазиэллиптических дифференциальных операторов в пространствах Hmu     4.6. Локальная разрешимость N-квазиэллиптических дифференциальных операторов     4.7. Гипоэллиптичность N-квазиэллиптических операторов II Параболические операторы, ассоциированные с многоугольником Ньютона   Введение   § 1. Полиномы, корректные в смысле И. Г. Петровского     1.1. Определение и некоторые классы корректных по Петровскому полиномов     1.2. Квазиоднородные корректные по Петровскому полиномы     1.3. Неоднородные 2b-параболические полиномы     1.4. Разложения в ряды Пюизе корней корректных по Петровскому полиномов от двух переменных   § 2. Двусторонние оценки полиномов от двух переменных, удовлетворяющих условию И. Г. Петровского; N-параболические полиномы     2.1. Основная оценка     2.2. Устойчивость полиномов, допускающих оценку (4)     2.3. N-параболические полиномы     2.4. N-устойчиво корректные полиномы   § 3. Задача Коши для N-устойчиво корректных и N-параболических дифференциальных операторов в случае одного пространственного переменного     3.1. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами     3.2. N-устойчиво корректные и N-параболические дифференциальные операторы с переменными коэффициентами     3.3. Априорные оценки для N-устойчиво корректных и N-параболических операторов с переменными коэффициентами     3.4. Задача Коши для N-устойчиво корректных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами   § 4. Устойчиво корректные и параболические полиномы от многих переменных     4.1. Полиномы и псевдополиномы     4.2. Условие существования оценки (2)     4.3. Условия существования оценки (2) в терминах комплексных нулей полинома (1)     4.4. Параболические полиномы     4.5. Устойчиво корректные полиномы   § 5. Задача Коши для устойчиво корректных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами     5.1. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами в Rn, n>1     5.2. Полиномиальные и псевдополиномиальные символы     5.3. Псевдодифференциальные операторы и факторизация устойчиво корректных операторов с переменными коэффициентами     5.4. Задача Коши (однородная) для устойчиво корректных операторов     5.5. Задача Коши для экспоненциально корректных операторов постоянной силы     5.6. Некоторые оценки для экспоненциально корректных операторов постоянной силы     5.7. Оценки экспоненциально корректных операторов постоянной силы в пространствах функций степенного убывания и роста III Доминантно корректные операторы   Введение   § 1. Строго гиперболические операторы     1.1. Однородные строго гиперболические полиномы     1.2. Неоднородные строго гиперболические полиномы     1.3. Строго гиперболические дифференциальные операторы с переменными коэффициентами   § 2. Доминантно корректные полиномы от двух переменных     2.1. Многоугольник (P)     2.2. Произведение строго гиперболического и устойчиво корректного полинома     2.3. Описание доминантно корректных полиномов   § 3. Доминантно корректные дифференциальные операторы с переменными коэффициентами (случай двух переменных)     3.1. Структура доминантно корректных дифференциальных операторов     3.2. Априорная оценка     3.3. Задача Коши   § 4. Доминантно корректные полиномы и отвечающие им дифференциальные операторы (случай многих пространственных переменных)     4.1. Описание доминантно корректных полиномов     4.2. Доминантно корректные дифференциальные операторы     4.3. Задача Коши для доминантно корректных дифференциальных операторов IV Операторы главного типа, ассоциированные с многоугольником Ньютона   § 1. Введение. Операторы главного и квазиглавного типа     1.1. Содержание главы     1.2. Операторы главного типа     1.3. Операторы квазиглавного типа   § 2. Полиномы N-главного типа     2.1. Замечания о многоугольнике Ньютона     2.2. Формулировка основного результата     2.3. Оценки в углах G(\Gamj(0), epsilon0), связанных с вершинами многоугольника N(P)     2.4. Оценка в полуполосах G(\Gam j(1), epsilon0, epsilon1), связанных со сторонами многоугольника N(P)     2.5. Доказательство предложения 2.2   § 3. Основная L2-оценка для операторов N-главного типа     3.1. Формулировка результатов     3.2. Разбиение единицы     3.3. Микролокализация оценки (3)     3.4. Оценка (3) в областях, связанных с вершинами многоугольника N(P)     3.5. Структура оператора в областях, связанных со сторонами многоугольника Ньютона     3.6. Оценка (3) в областях, связанных со сторонами многоугольника N(P)   § 4. Локальная разрешимость дифференциальных операторов N- главного типа     4.1. Формулировка основного результата     4.2. Оценка в пространствах Hmu     4.3. Одно следствие неравенства (6)     4.4. Дальнейший анализ оценки (10)     4.5. Доказательство теоремы 4.1 V Двусторонние оценки полиномов от нескольких переменных, связанные с многогранниками Ньютона   Введение   § 1. Оценки полиномов в Rn, связанные с многогранниками Ньютона     1.1. Многогранник Ньютона полинома     1.2. Основная оценка     1.3. Другие условия существования адекватной оценки (2')     1.4. Оценки с суммарным учетом степеней по группам переменных   § 2. Двусторонние оценки в некоторых областях Rn, связанные с многогранником Ньютона. Специальные классы полиномов и дифференциальных операторов от нескольких переменных.     2.1. Оценки при условии, что часть переменных стремится к бесконечности     2.2. Оценки в случае полных многогранников     2.3. N-квазиэллиптические полиномы и операторы.     2.4. N-параболические полиномы и операторы. VI Операторы главного типа, ассоциированные с многогранником Ньютона   Введение   § 1. Полиномы N-главного типа     1.1. Многогранник Ньютона и многогранники младших членов     1.2. Свойства многогранника (P)     1.3. Существенные переменные, отвечающие граням многогранника N(P)     1.4. Дополнительное арифметическое условие     1.5. Полиномы N-главного типа   § 2. Оценки полиномов N-главного типа в областях специального вида     2.1. pi-конусы и pi-цилиндры     2.2. pi-конусы, связанные с многогранником Ньютона     2.3. Свойство G(Gam(k),epsilon), основная оценка     2.4. Заключительные замечания   § 3. Покрытие Rn специальными областями, ассоциированными с многогранником Ньютона     3.1. Свойство gG(Gam(k),epsilon)     3.2. Полуцилиндры     3.3. Дополнительные замечания     3.4. Построение покрытия из областей, обладающих свойством gG(Gam(k),epsilon)   § 4. Дифференциальные операторы N-главного типа с переменными коэффициентами     4.1. Формулировка основного результата     4.2. Микролокализация оценки (2)     4.3. Доказательство оценки (8) при условии (4)     4.4. Доказательство оценки (20) VII Метод энергетических оценок в задаче Коши   § 1. Введение. Функциональная схема доказательства разрешимости задачи Коши     1.1. Формулировка основной теоремы о разрешимости задачи Коши     1.2. Эквивалентная форма условия корректности И. Г. Петровского     1.3. Достаточные условия справедливости оценок (3) и (3')     1.4. Доказательство теоремы A   § 2. Достаточные условия существования энергетических оценок     2.1. Формулировки основных результатов     2.2. Вывод оценок (1.3), (1.3') из предложений 1 и 2 п. 2.1     2.3. План доказательства предложений из п. 2.1     2.4. Доказательство оценки (23)     2.5. Доказательство оценки (26)     2.6. Неравенство Гординга для неоднородных квадратичных форм (доказательство неравенства (22))   § 3. Анализ условий существования энергетических оценок     3.1. Непосредственные следствия из предложений п. 2.1     3.2. Доказательство теоремы B из п. 1.3     3.3. Замечания об условии постоянства силы HP     3.4. Строго плюрипараболические дифференциальные операторы     3.5. Замечания о задаче Коши в пространствах растущих и убывающих функций   § 4. Задача Коши для доминантно корректных дифференциальных операторов     4.1. Формулировка основного результата     4.2. Описание доминантно корректных и устойчиво корректных полиномов терминах HP     4.3. Общая схема доказательства теорем из п. 4.2     4.4. Доказательство предложения 1 из п. 4.3     4.5. Доказательство предложения 2 в п. 4.3     4.6. Доказательство предложения 3 и п. 4.3     4.7. Заключительные замечания Дополнение Л.Р.Волевич
NНпараболические системы
	Введение
	§ 1.	Невырожденные и q–невырожденные полиномиальные матрицы и их старшие части
		1.1.	Невырожденные полиномиальные матрицы
		1.2.	Замечания о старших частях невырожденных полиномиальных матриц
		1.3.	q-невырожденные полиномиальные матрицы и их q-старшие части. q-квазиэллиптические матрицы
		1.4.	r-параболические матрицы
	§ 2.	N-параболические полиномиальные матрицы и отвечающие им системы
		2.1.	Основные определения
		2.2.	Одно достаточное условие N-параболичности полиномиальной матрицы
		2.3.	N-параболичность r-параболических полиномиальных матриц
		2.4.	Однородная задача Коши для N-параболических систем с постоянными коэффициентами
	§ 3.	Условия N-параболичности для полиномиальных матриц, линейных по \lambda
		3.1.	Условия тотальной невырожденности матрицы (1)
		3.2.	Эквивалентные условия N- параболичности матриц (1)
	§ 4.	Построение весовых функций для положительно N-параболических полиномиальных матриц
		4.1.	Формулировка основного результата
		4.2.	Доказательство теоремы. Случай областей, отвечающих сторонам многоугольника Ньютона полинома det A
		4.3.	Доказательство теоремы. Случай областей, отвечающих вершинам многоугольника Ньютона полинома det A
		4.4.	Окончание доказательства теоремы 4.1
	§ 5.	Однородная задача Коши для положительно N- параболических систем с переменными коэффициентами
		5.1.	Основные условия на символ
		5.2.	Однозначная разрешимость задачи (1), (1')
Литература
Предметный указатель

---

Многогранник Ньютона полинома от нескольких переменных – это выпуклая оболочка множества показателей его мономов, так или иначе пополненного. Границу многогранника Ньютона можно воспринимать как одно из возможных обобщений степени полинома от одного переменного на случай нескольких переменных. Это понятие значительно более информативно, чем обычное понятие степени. В то же время, оно не инвариантно относительно линейных преобразований координат и тем самым связано с фиксированной системой координат. Промежуточным между понятиями степени и многогранника Ньютона является понятие взвешенной степени, когда при вычислении "степени" монома степени различных переменных суммируются с различными весами. Многогранник Ньютона концентрирует информацию о всевозможных взвешенных степенях и соответствующих старших частях: они отвечают его граням.

В последнее время выявилось, что многогранник Ньютона – удобное техническое средство в очень разных математических задачах. В этой книге мы развиваем метод многогранника Ньютона для некоторых задач теории дифференциальных уравнений в частных производных. Книга распадается на две части: в гл.I–IV рассматривается многоугольник Ньютона, в гл.V–VII – многогранник Ньютона. Случай многоугольника не только позволяет рассмотреть общие конструкции в более простом двумерном случае, но он имеет и естественные многомерные приложения.

В задаче Коши имеется каноническое разбиение на две группы переменных: время и пространственные переменные. Соответственно можно отдельно учитывать степень по этим переменным. Впервые, это было осознано для уравнения теплопроводности, где порядок по времени имеет вдвое больший вес, чем порядок по пространственным переменным. В общей теории параболических уравнений И.Г.Петровского времени приписывается вес 2b (2b-параболические операторы). Рассматривая многоугольник Ньютона по паре степеней (временной и пространственной) мы приходим к естественному обобщению параболичности по И.Г.Петровскому, а также к классу доминантно корректных операторов. У этих операторов доминирует старшая часть, связанная с многоугольником Ньютона и этот класс включает как 2b-параболические операторы (у них доминирует взвешенная старшая часть), так и строго гиперболические. Доминантно корректные операторы допускают переход к переменным коэффициентам.

В центре внимания три задачи о дифференциальных уравнениях: специальный класс гипоэллиптических операторов, определяемый по многограннику Ньютона (подобно тому как эллиптичность определяется по степени, а квазиэллиптичность по взвешенной степени символа), энергетические оценки в задаче Коши, связанные с многогранником Ньютона, обобщенные операторы главного типа, которые определяются при помощи старшей части, ассоциированной с многогранником Ньютона. Мы отдаем приоритет изложению алгебраической техники, которая, по нашему мнению, может быть применена в других задачах. Однако мы старались сделать изложение достаточно автономным, приведя необходимые аналитические результаты.

Более точную мотивировку и описание содержания читатель найдет перед началом каждой главы.

Как уже говорилось выше, многогранник Ньютона используется в ряде разделов математики и число публикаций, посвященное его применению, очень велико. Мы не старались отразить эти многочисленные публикации. В списке литературы в основном приведены работы, используемые в этой книге. Подробную библиографию можно найти в монографиях Брюно [1979, 1998].

В каждой главе принята автономная нумерация параграфов и формул в них, пункты имеют двойную нумерацию (п.2.1 – пункт 1 §2). Внутри пунктов принята автономная нумерация теорем, предложений, лемм и т.д. Если в пункте имеется лишь одна теорема, предложение, лемма и т.д., то они не имеют номера. Ссылаясь на материал из другого пункта настоящего параграфа, мы указываем номер пункта: например, предложение 3.1. Если в данном пункте несколько предложений, то мы пишем: предложение 1, 2 и т.д. из п.3.1. При ссылках на формулы из других параграфов мы сначала указываем номер соответствующего параграфа: например (3.20) – формула (20) из §3. При ссылках на формулу из введения к главе мы добавляем цифру 0; скажем, (0.3) – формула (3) из введения. При ссылках на материал из других глав мы перед номерами параграфов, пунктов или формул указываем номер главы. Например, §IV.2, п.IV.2.1 и (IV.2.7) будут, соответственно, §2 из гл.IV, п.1 из §2 из гл.IV, формула (7) из §2 гл.IV.

Предлагаемая монография была закончена в 1991 г., в то время не было возможностей ее издания. В 1991–1992 гг. она была переведена на английский язык и издана в Kluwer Academic Publishers (см. Волевич и Гиндикин [1992]). В настоящий текст внесены небольшие исправления английского текста и исправлены опечатки в формулах.

В последние годы первый из авторов вернулся к тематике гл.II. В соавторстве с Р.Денком он изучал смешанную задачу для NНпараболических уравнений (см. Волевич, Денк [2000], а также Волевич, Денк и Менникен [2000, 2001]) и задачу Коши для параболических систем общего вида, включающих скалярные операторы из гл.II в качестве частных случаев (см. Волевич [2001], а также Волевич, Денк и Менникен [1998]). Этим вопросам посвящено Дополнение Л.Р.Волевича.