Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша:
Теория и применения. Изд. 2, испр. и доп.

Оглавление

Предисловие

Классическая теория рядов Фурье имеет дело с разложением функций по синусоидальным гармоникам. В отличие от этих непрерывных гармоник функции Уолша представляют собой "прямоугольные" волны. Такие волны стали часто использоваться в теории передачи сигналов, так как оказалось, что в некоторых случаях они предпочтительнее синусоидальных волн. В предлагаемой книге излагаются основы теории разложения функций в ряды по системе функций Уолша и по более общим мультипликативным системам, а также рассматриваются некоторые приложения этой теории.

Ортонормированная система функций, получившая наименование системы Уолша, была введена американским математиком Дж.Уолшем в 1923 г. На развитие теории рядов Уолша сильное влияние оказала и продолжает оказывать классическая теория тригонометрических рядов. При этом во многих вопросах обнаружился параллелизм, но выявились и существенные отличия. Глубокие основы параллелизма и различий вскрывает современный абстрактный гармонический анализ, который изучает некоторые ортономированные системы с точки зрения структуры топологических групп, являющихся естественными областями определения этих систем. Если тригонометрические функции определяются на окружности, то, как мы увидим, систему функций Уолша удобно определять на группе, существенно отличной от окружности. С этой точки зрения система Уолша и обобщающие ее мультипликативные системы дают важную модель, на которой можно проверять и иллюстрировать многие вопросы абстрактного гармонического анализа. Большой интерес система Уолша представляет и для специалистов по теории общих ортогональных рядов, являясь одним из простейших примеров полной ортонормированной системы, состоящей из ограниченных в совокупности функций. Некоторые, так называемые лакунарные подсистемы системы Уолша играют существенную роль в теории вероятностей.

Наряду с развитием теоретических исследований, посвященных рядам Уолша, за последние 10-15 лет резко возросло число работ, связанных с применениями функций Уолша в вычислительной математике, в теории кодирования, в цифровой обработке сигналов и т. д. Начиная с 1970 г. в США почти ежегодно проводятся представительные конференции, посвященные применениям функций Уолша, издаются сборники трудов этих конференций.

В 1969 г. и 1977 г. вышли дне монографии X.Хармута, переводы которых на русский язык изданы в 1977 г. и 1980 г. ([24], [25]). Однако в этих книгах, содержащих большой материал по применениям функций Уолша, почти совершенно отсутствует математическая теория, и поэтому целый ряд фактов, используемых в практике, не получает в книгах Хармута теоретического обоснования. Прикладным вопросам посвящена монография [22]. Книг же, содержащих изложение основ теории рядов и преобразований Уолша, доступное широкому кругу специалистов в области прикладной математики, до сих пор не издавалось ни в СССР, ни за рубежом.

Одна из главных задач предлагаемой книги и состоит в том, чтобы в какой-то степени устранить этот пробел. Книга предназначена широкому кругу инженеров, студентам технических специальностей втузов и студентам университетов, специализирующимся в области применения математических методов. Но кроме этого круга читателей книга может представить интерес и для студентов и аспирантов математических факультетов, поскольку может служить введением в интенсивно развивающуюся теорию анализа Фурье на группах. Изучив эту книгу, они смогут затем обратиться к многочисленной журнальной литературе по рядам Уолша (достаточно полный обзор научных работ на эту тему, вышедших до 1970 г., представлен в статье Балашова и Рубинштейна [1], а более поздних – в статье Уэйда [4] и в заключительной главе монографии [1]) или при желании перейти к изучению вопроса в более абстрактной постановке по монографиям [1], [19], [21] и др. Знакомство с теорией рядов Уолша также полезно при изучении общих вопросов теории ортогональных рядов.

Первые десять глав книги носят в основном теоретический характер, гл. 11 и 12 посвящены приложениям. Главы 1 и 2 служат основой всего дальнейшего изложения и одинаково необходимы для последующего изучения как теоретического, так и прикладного материала. Изложенные в гл. 3-5 результаты, касающиеся единственности представления функций рядами Уолша, вопросов суммируемости и сходимости в L^p рядов Фурье–Уолша, непосредственно не используются в главах, посвященных прикладным вопросам, так что читатели, интересующиеся в первую очередь применениями, могут при первом чтении ограничиться лишь беглым ознакомлением с этими главами. Напротив, понятия, изучаемые в гл. 6, посвященной мультипликативным преобразованиям, широко используются в двух последних главах.

В гл. 7 и 8, где рассматриваются ряды Уолша с монотонными коэффициентами и лакунарные ряды, собраны лишь начальные сведения об этих важных классах специальных рядов Уолша, теория

которых имеет обширные связи со смежными областями, в частности, как уже отмечалось, с теорией вероятностей.

Глава 9 посвящена довольно тонким вопросам сходимости и расходимости рядов Фурье–Уолша и предназначена прежде всего математикам. Приводимое здесь доказательство аналога для рядов Уолша знаменитой теоремы Карлесона о сходимости почти всюду рядов Фурье класса L² принадлежит Ханту и в основных чертах совпадает с доказательством для тригонометрического случая. При этом, однако, многие технические детали упрощаются, что позволяет ярче выделить основные идеи, освоив которые, читатель проложит себе дорогу, в частности, и к изучению тригонометрического варианта теоремы.

Рассматриваемые в гл. 10 вопросы приближения функций полиномами по системе Уолша и по мультипликативным системам являются основой многих применений функций Уолша. Наконец, в заключительных гл. 11 и 12 изложены методы приложений функций Уолша и их обобщений к цифровой обработке информации, к построению специализированных вычислительных устройств, цифровых фильтров и цифровых голограмм.

Чтобы помочь в работе над книгой читателям, знакомым с математикой лишь в объеме технического вуза, в конце книги в нескольких Приложениях собраны используемые в отдельных главах начальные сведения из теории групп, теории меры и интеграла Лебега и из функционального анализа. В конце книги помещены также комментарии к каждой главе, в которых приводятся ссылки на источники и краткие сведения по истории вопроса. Ввиду того что по теории рядов Уолша имеются уже упоминавшиеся хорошие обзорные статьи, в комментариях лишь в отдельных случаях дается информация о последующих исследованиях в рассматриваемых областях.

Главы 1-5 (кроме § 1.5, § 2.5 и § 2.7) и гл. 9 написаны В.А.Скворцовым, гл. 7, 8, 10 (кроме § 10.5) и § 2.7 – Б.И.Голубовым, гл, 6, 11, 12 и § 10.5 – А.В.Ефимовым, § 1.5 написан совместно А.В.Ефимовым и В.А.Скворцовым, а § 2.5 – совместно Б.И.Голубовым и В.А.Скворцовым.

Авторы надеются, что предлагаемая книга будет способствовать привлечению внимания к прикладным возможностям рассматриваемого здесь математического аппарата и тем самым расширению применения теоретических исследований в этой области к решению прикладных задач.

Авторы выражают искреннюю благодарность В.Ф.Гапошкину и А.И.Рубинштейну, прочитавшим рукопись этой книги и сделавшим ряд ценных замечаний, способствовавших улучшению изложения материала.

Предисловие ко второму изданию

Первое издание этой книги вышло в 1987 году в издательстве "Наука", а в 1991 году ее английский перевод был выпушен издательством Kluwer Academic Publishers.

За время, прошедшее с выхода первого издания, теория рядов Уолша продолжала интенсивно развиваться. Однако, поскольку книга является лишь введением в эту теорию с ее приложениями, то настоящее, второе, издание книги мало отличается от первого. Новые результаты, полученные за последние годы, отражены лишь в некоторых дополнениях, сделанных к Комментариям в конце книге и в дополнительном списке литературы. В частности, существенным дополнением к материалу настоящей книги является вышедшая в 1990 г. монография [32] (нумерация в дополнительном списке литературы продолжает нумерацию основного списка). В данном издании также исправлены многие опечатки и мелкие погрешности, замеченные в первом издании, заменено более простым доказательство теоремы 2.2.2 об оценке констант Лебега.

В 2001 году ушел из жизни один из соавторов книги А.В.Ефимов, ведущий специалист по применениям преобразований Уолша в цифровой обработке информации и в других областях. В настоящем издании дополнительный материал к комментариям, касающимся мультипликативных преобразований (§1.5 и глава 6) и прикладных вопросов (главы 11 и 12), подготовлен учеником А.В.Ефимова М.С.Беспаловым.

Об авторах

Доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института (государственного университета). Окончил механико-математический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова в 1961 г. Защитил кандидатскую диссертацию в МГУ в 1964 г. Автор монографий "Элементы двоичного анализа" (М., 2005; 2-е изд. М.: URSS, 2007). "Сходимость и асимптотическое разложение сингулярных интегралов" (в соавт. с Е.И.Бережным и A.M.Дьячковым; М., 2005), учебного пособия "Элементы теории функций" (в соавт. с A.M.Тер-Крикоровым; М., 1985). Автор более 100 научных статей по гармоническому анализу и теории функций. Член Московского математического общества и Американского математического общества. Стипендиат стипендии президента РФ выдающимся ученым (1993 г.). Награжден почетной грамотой Минвуза РФ.

Александр Васильевич ЕФИМОВ (1924–2001)

Доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки и техники РСФСР. Родился 10 ноября 1924 г. в с. Наумово Бутурлинского района Нижегородской области. Участник Великой Отечественной войны. В 1951 г. окончил физико-математический факультет Горьковского университета. В 1957 г. защитил кандидатскую диссертацию под руководством С.Б.Стечкина в МИАН им. В.А.Стеклова. Автор более 200 научных трудов и учебников по высшей математике. Заведовал кафедрами высшей математики в Краснознаменной военно-воздушной академии (г.Монино), Московском лесотехническом институте и Московском институте электронной техники. Основное направление научных исследований – теория приближения функций, теория рядов Фурье, теория мультипликативных систем и их приложения.

Валентин Анатольевич СКВОРЦОВ

Доктор физико-математических наук, заслуженный профессор Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова. Родился 25 июня 1935 г. в Ленинградской области. В 1958 г. окончил механико-математический факультет МГУ, где начал свою научную работу под руководством Д.Е.Меньшова. Автор более 170 научных работ по теории меры и интеграла, гармоническому анализу, действительному анализу. Его наиболее известные научные результаты связаны с построением обобщенных интегралов, решающих задачу восстановления коэффициентов сходящихся ортогональных рядов по их сумме.