Биркгофф Г. Математика и психология.
Пер. с англ. Изд. 2, испр.

Оглавление

От переводчика

Настоящая книга представляет собой перевод доклада видного американского математика Гаррета Биркгоффа, прочитанного им в Обществе промышленной и прикладной математики (ОППМ) и опубликованного затем в журнале этого общества. Профессор Гарвардского университета Гаррет Биркгофф известен работами по алгебре, численному анализу и математической физике; некоторые из них переведены на русский язык. Доклад, о котором мы говорим, посвящен интересной и актуальной задаче анализа умственных способностей человека и их моделирования – синтеза – на электронных вычислительных машинах.

О "думающих машинах" мечтали еще Луллий и Лейбниц, но только в наш век, с развитием техники и теории автоматического управления, проблема "искусственного разума" выдвинулась на передний край науки. По существу, речь идет о пределах и перспективах автоматизации, а это затрагивает в той или иной мере все будущее направление научно-технического прогресса. Проф. Биркгофф рассматривает задачу на материале самого математического мышления и приходит к выводу об ограниченных возможностях существующих цифровых машин. Он указывает на важность для человеческого познания тесного взаимодействия между дискретным логическим мышлением и непрерывными чувственными образами и призывает к использованию ЭВМ в "симбиозе" с людьми. Доклад охватывает широкий круг вопросов на стыке кибернетики, математики и психологии и содержит обширную библиографию.

Доводы американского ученого заслуживают внимания, однако, обсуждая трудности проблемы, не будем спешить с окончательным приговором. Вычислительная техника и методы программирования развиваются весьма быстро, и нельзя исключить также возможности создания дешевых и эффективных аналоговых и гибридных устройств, моделирующих органы чувств. Кроме того, в природе дискретное не противостоит совершенно резко непрерывному: как показывает история физики, мы различаем их лишь с известной точностью, в известном разрезе. В целом же проблема искусственного разума может быть решена в ту или другую сторону только опытом, и притом достаточно длительным и полным.

К сожалению, Биркгофф плохо знаком с русской научной литературой и не упоминает о работах наших ученых. В примечаниях к переводу мною даны некоторые важнейшие ссылки. Другим недостатком оригинала являются многочисленные опечатки и ошибки в библиографических указаниях. По мере сил я попытался их устранить, но не могу ручаться за полный успех. Мною добавлены также указания на русские переводы.

Введение

Математика, как самая умственная отрасль наук, имеет естественное сродство с психологией – наукой об уме. То, что они не соприкасались ближе, обусловлено отчасти нашим незнанием их обеих, но еще больше тем обстоятельством, что психологи и математики мыслят различными понятиями. Сегодня я хочу рассмотреть некоторые связи между этими двумя областями, с особым учетом их значения для математики.

Я отвлекусь от важных приложений статистики к психологии отчасти потому, что недостаточно знаком с ними, а еще больше потому, что статистика не вписывается в схему дедуктивного доказательства теорем, характерную для других отраслей математики, которые я буду обсуждать.

Мой доклад будет разделен на три главные части:

A. Дискретная математика и психология.

Б. Континуальная математика и психология.

B. Психология математиков (и, следовательно, математики).

Различие между дискретной и континуальной математикой восходит к доисторическим временам. Первым методом дискретной математики был счет (например, овец в стаде), континуальная же математика – математика непрерывного – занималась измерением разных величин, как расстояние, площадь, время, вес и объем.

Ныне обе они представляют собой громадные области. Дискретная математика обнимает, в частности, символическую логику, комбинаторный анализ, математическую лингвистику, теорию чисел, так называемую современную алгебру и нечисловые применения вычислительных машин. Континуальная математика включает теорию функций, дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, большую часть математической физики и многие разделы классической алгебры.

После революционного открытия математического анализа главнейшие новые приложения математики в 1700–1940 гг. состояли в использовании континуального аппарата для решения физических и технических задач. В результате выражение "прикладная математика" означало по традиции прикладную континуальную математику на службе физических наук. Однако, благодаря появлению цифровых вычислительных машин большой мощности и высокого быстродействия, влияние прикладной дискретной математики за последние два десятилетия резко возросло, и она обещает вскоре даже превзойти по важности прикладную континуальную.

Вычислительные машины уже выполняют многие математические и информационные операции, требовавшие ранее человеческого мышления. Машинное выполнение таких операций дает бихевиористскую модель хотя бы некоторых функций мозга, что представляет очевидный интерес для психологов. Более того, анализ способа, каким машины производят эти операции, вместе с данными экспериментальной нейрофизиологии подкрепляет старую догадку, что существенные стороны человеческого мышления имеют структуру дискретных математических систем, близких к булевой алгебре и ориентированным графам (сетям).

Представление о таких структурах мысли стало складываться весьма давно. Математики по крайней мере три столетия мечтали о создании "машин", способных выполнять некоторые процессы человеческого мышления. Уже в 1640 г. Декарт показал, что наглядные геометрические рассуждения Эвклида во многих случаях можно заменить относительно механическими алгебраическими манипуляциями. По-видимому, под влиянием успеха Декарта Лейбниц разработал фрагменты логического исчисления, которое должно было облегчить занятия теоретической математикой в той же степени, в какой десятичная нумерация облегчила занятия арифметикой. Он характеризовал это исчисление как "инструмент нового рода, увеличивающий силу разума намного больше, чем какой-либо оптический инструмент когда-либо увеличивал силу зрения". (Было ли простым совпадением, что Лейбниц построил также в 1671 г. первую известную машину умножения?)

Таким образом, замечательные достижения вычислительной техники нашего времени частично осуществили старую мечту. Достижения эти побудили некоторых заключить, что машины завтрашнего дня будут даже "умнее" людей, особенно по способностям к математическому рассуждению.

Ниже я приведу вам доводы, из которых следует, что этого не произойдет, даже в собственной сфере чистой математики. Цифровые вычислительные машины, программируемые весьма специфическим, последовательностным способом, не моделируют человеческого воображения. Я попытаюсь показать, что воображение необходимо для формулировки наиболее глубоких идей даже в чистой математике, особенно в анализе, и для всякой значительной работы в математике прикладной. Человеческое воображение существенно зависит от человеческих ощущений, и прежде всего от наших слуха и зрения, которые помогают нам воспринимать непрерывное. Цифровые машины таких ощущений не имеют.

Хотя можно пытаться создать гибридные устройства для моделирования человеческих континуальных способностей, я не вижу оснований считать, что это самое плодотворное направление развития вычислительной техники.

Об авторе

Известный американский математик, профессор Гарвардского университета. Родился в Принстоне, штат Нью-Джерси. В 1932 г. окончил Гарвардский университет. Также учился в Кембриджском университете (Англия). Вернувшись в Гарвард, читал лекции и вел семинары по алгебре, а во время Второй мировой войны принимал участие в различных военных проектах в области радиолокации и баллистики. С 1959 г. был научным консультантом компании "Дженерал Моторс". С 1969 г. – профессор теоретической и прикладной математики в Гарвардском университете. Член Национальной академии наук США и Американской академии искусств и наук. В 1981 г. вышел в отставку.

Наибольшую известность получили работы Г.Биркгоффа в области алгебры, численного анализа и математической физики. Его идеи и методы, отраженные в книге "Современная прикладная алгебра" (в соавт. с Т.Барти), нашли широкое применение в таких областях, как теория автоматов и вычислительных машин, передача сообщений и кодирование, языки программирования и математическая лингвистика. На русском языке была несколько раз переиздана его знаменитая "Гидродинамика", выходили книги "Теория структур", "Теория решеток" и другие работы, в том числе настоящая книга, охватывающая широкий круг вопросов на стыке кибернетики, математики и психологии.