Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства.
Пер. с англ. Изд. 2

Оглавление

Предисловие к русскому изданию

Более тридцати лет назад, когда Харди, Литтлвуд и Пойа писали свою известную монографию о неравенствах, систематическое изложение оказалось возможным только благодаря очень тщательному отбору материала. Уже тогда обилие результатов, непосредственно относящихся к тематике монографии, было таким, что многие интересные и перспективные неравенства не нашли в ней места. В качестве эпиграфа к своей книге авторы избрали строфу Р.Браунинга (Saul. st. 39)

Oh, the little more, and how much it is!
And the little less, and what worlds away!

(О, чуть больше – и как много добавляется, а чуть меньше – и какие миры исчезают!)

ярко характеризующую те трудности отбора, с которыми им пришлось столкнуться.

За истекшие тридцать лет объем исследований по неравенствам возрос во много раз и неравенства завоевали много новых областей, в которых они играют главенствующую роль. Тем более трудной была задача отбора и расположения материала, вставшая перед авторами. Они решили эту задачу, разбив, во-первых, книгу на два тома (второй том еше не вышел), и используя, во-вторых, возможность не доказывать многие из приводимых результатов, которая предоставлена тем, что книга вышла в известной серии (Neue Folge, N30), состоящей в основном из обзоров отдельных областей математики. Классификация неравенств в настоящей книге производится не по методам доказательств (один из принципов классификации Харди, Литтлвуда и Пойа), а в основном по общности тематики и приложений.

Следует еще отметить, что написана книга "широкими мазками", изложение во многих местах не затрагивает более тонких исследований, связанных с трудными и интересными вопросами. Так, авторы далеко не всегда приводят наилучшие неравенства (с точными константами), ограничиваясь лишь фактом существования неравенства и не устанавливая точных оценок. Это нельзя, однако, поставить авторам в вину, так как детальная разработка отдельных типов неравенств, какой бы интерес она ни представляла для специалистов, действительно невозможна в рамках такого издания, которое все же имеет ознакомительно-справочный характер.

Книга Беккенбаха и Беллмана не является поэтому монографией, по которой можно изучать неравенства (как их можно изучать по книге Харди, Литтлвуда и Пойа). Но она содержит такое богатство фактов (в большинстве новых и новейших), притом умело систематизированных, и столь обширную библиографию, что она без сомнения окажется очень полезной для широкого круга читателей. По ней можно навести справку, возможно ли неравенство определенного типа, нужное как аппарат для того или иного исследования, она может дать и много стимулов для интересных исследований в области самих неравенств.

Предисловие

Со времени выхода в свет классического труда Харди, Литтлвуда и Пойа в 1934 г. математики приложили колоссальные усилия к уточнению и обобщению классических неравенств, открытию новых типов неравенств и приложениям неравенств во многих разделах анализа. В качестве примеров приведем теорию дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными, в которых доминирующую роль играют неравенства и вариационные принципы, относящиеся к функциям и их производным, многие приложения линейных неравенств в теории игр и математической экономике, возродившие интерес к вопросам выпуклости и пространствам моментов, а также все новые и новые применения цифровых машин, которые требуют систематического изучения оценок погрешностей, опирающегося на сложные разделы теории матриц и операторов.

Результаты, изложенные в настоящей книге, до некоторой степени отражают все эти разветвления теории неравенств в пограничные области анализа, но нашей основной задачей было изучение неравенств как таковых. Поскольку ясно, что невозможно дать связный отчет о том взрыве аналитической активности, свидетелями которого мы являлись на протяжении последних 25 лет, нам пришлось ограничиться теми вопросами, которые нас особенно интересовали, и в изучение которых нам удалось внести некоторый вклад.

Мы приводим достаточное число литературных ссылок как для того, чтобы заинтересованный читатель мог проследить историю вопроса, так и для того, чтобы он мог ознакомиться с более сложными аспектами излагаемых результатов. Однако мы не стремились ни к энциклопедичности в подборе тем, ни к полноте библиографических указаний по каждой из избранных тем.

Как и большинство авторов, мы эксплуатировали наших друзей. Мы выражаем нашу сердечную благодарность Фань Цзы за многократное чтение рукописи и за подробнейшим образом разработанные предложения по тексту. За многие ценные замечания и за чтение отдельных глав мы выражаем нашу благодарность Р.П.Боасу, П.Лаксу, Л.Ниренбергу, И.Олкину и О.Тауски.

Мы надеемся, что чтение этой книги доставит столько же удовольствия другим, сколько получили мы, когда ее писали.

Лос-Анжелес и Санта Моника, 1961