Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе:
Пер. с англ.

Оглавление

От редактора

Предлагаемая вниманию читателя книга "Контрпримеры в анализе" написана американскими математиками Б.Р.Гелбаумом и Дж. М.Олмстедом. В ней приведены многочисленные примеры из математического анализа и теории функций действительного переменного, а также – в небольшом количестве – примеры из топологии и функционального анализа. Многие из них хорошо известны и могут быть найдены в тех или иных источниках. Однако главным достоинством книги является именно то, что в ней собрано вместе большое количество полезных и интересных примеров.

Авторы называют примеры, помещенные в книге, контрпримерами, поясняя в предисловии различие между этими понятиями. Однако эти пояснения довольно неопределенны, и если их придерживаться, то многие результаты по желанию можно отнести как к примерам, так и к контрпримерам. По нашему мнению, основная цель большинства разбираемых примеров (по терминологии авторов – контрпримеров) состоит в том, чтобы обратить внимание студентов (и вообще читателей), изучающих математический анализ и теорию функций, на ряд "опасных" вопросов и моментов, при встрече с которыми, не имея достаточного опыта, легко можно дать неправильные ответы или же неправильно представлять себе истинную суть дела. Этим, в частности, объясняется и заглавие книги – "Контрпримеры в анализе".

В книге наряду с совсем простыми примерами имеется довольно много и сложных. Изложение зачастую ведется так, что подробных доказательств авторы не дают, а указывают лишь основные моменты в построении соответствующих примеров, оставляя читателю подробные выкладки и доказательства. Следует также сказать, что авторы весьма часто используют те или иные определения без напоминания и указания их даже в том случае, когда они приведены в книге, но совсем в другой главе и значительно раньше. Поэтому от читателя книги требуется определенное знакомство с основами математического анализа и теории функций. Для понимания многих разделов книги достаточно знания втузовского курса математики, но некоторые другие разделы требуют математической подготовки в объеме первых трех курсов математических факультетов университетов. В силу сказанного предлагаемая книга не является учебником, по которому следует начинать изучение анализа.

Заметим еще, что в книге не всегда отмечаются авторы примеров, и это частично оправдывается тем, что иногда их вообще трудно установить. Тем не менее нам представляется, что авторов некоторых широко известных примеров следовало бы указать (например, назвать именами их авторов функции Дирихле и Римана, о которых часто говорится в книге). В связи с этим в некоторых местах мы сделали соответствующие примечания. Кроме того, часть наших примечаний относится также к замеченным неточностям, если их исправление не было внесено нами в текст. О содержании книги можно судить по оглавлению, в которое вынесены полные формулировки приводимых примеров.

Мы думаем, что предлагаемая книга будет полезна широкому кругу лиц, изучающих математический анализ и теорию функций, особенно студентам-математикам университетов и педагогических вузов. Она будет, вероятно, небезынтересна и специалистам-математикам, в той или иной степени интересующимся анализом.

Предисловие

"Истинно ли утверждение S?" -это, пожалуй, наиболее типичный для математики вопрос, когда утверждение имеет вид: "Каждый элемент класса А принадлежит также классу В: А c В". Доказать, что подобное утверждение истинно, – значит доказать включение А c В.Доказать, что оно ложно, – значит найти элемент класса A, не принадлежащий классу В, иными словами, привести контрпример. Например, если утверждение S таково: "Каждая непрерывная функция дифференцируема в некоторой точке", то множества A и В состоят соответственно из всех непрерывных функций и всех функций, дифференцируемых в некоторых точках. Известный же пример Вейерштрасса непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции f (см. пример 8 гл.3) является контрпримером для включения A c В, поскольку f является элементом A, не принадлежащим В.Рискуя впасть в чрезмерное упрощение, можно сказать, что математика (за исключением определений, утверждений и выкладок) состоит из двух частей – доказательств и контрпримеров, а математические открытия состоят в нахождении доказательств и построении контрпримеров. Большая часть математических книг посвящена доказательству верных утверждений. В настоящей книге мы обращаемся к контрпримерам для ложных утверждений.

Вообще говоря, примеры в математике бывают двух типов – иллюстративные примеры и контрпримеры. Первые показывают, почему то или иное утверждение имеет смысл, а вторые – почему то или иное утверждение лишено смысла. Можно утверждать, что любой пример является в то же время контрпримером для некоторого утверждения, а именно для утверждения, что такой пример невозможен. Мы не желаем придавать термину контрпример столь универсальный смысл, но допускаем, что его значение достаточно широко, чтобы включить в себя все примеры, роль которых не ограничивается иллюстрацией верных теорем. Так, например, полином как пример непрерывной функции не есть контрпример, но полином как пример неограниченной или непериодической функции является контрпримером. Подобным же образом класс всех монотонных функций на ограниченном замкнутом интервале как класс интегрируемых функций не есть контрпример, однако этот же самый класс как пример функционального, но не векторного пространства является контрпримером.

Круг лиц, для которых предназначается эта книга, довольно широк и разнообразен. Большая часть материала доступна студентам, которые еще не закончили изучение начального курса анализа, а также может быть полезной преподавателям для иллюстрации ошибок, возможных при изучении анализа. Студенты старших курсов найдут в ней тонкости, которые обычно не рассматриваются в учебниках. Студенты-дипломники, готовящиеся к выпускным экзаменам, могут пополнить свой запас важных примеров, ограничивающих область справедливости изученных ранее теорем. Мы надеемся, что и специалисты-математики найдут некоторые места книги достойными внимания.

Собранные в этой книге контрпримеры почти целиком ограничиваются областью анализа, известной под названием теории функций действительного Переменного. Однако среди них есть несколько примеров из области метрических и топологических пространств. В некоторых примерах используются также комплексные числа. Мы отнюдь не претендуем на полноту. Несомненно, многие читатели не встретят своих любимых примеров в этой книге, которая, нужно признаться, составлена по нашему собственному вкусу. Некоторые пропуски сделаны нами умышленно и объясняются либо недостатком места, либо нашими вкусами, другие вызывают и у нас искренние сожаления.

Эту книгу нельзя считать учебником, хотя она может служить полезным дополнением к некоторым учебным курсам. Если какое-либо место книги покажется читателю слишком трудным, мы советуем пропустить его и поискать что-либо более интересное дальше. Нами была предпринята попытка расположить материал по степени трудности при помощи расположения глав, выделения подборок внутри глав и порядка примеров. Предполагается, что читатель знаком с затронутыми в книге вопросами, ввиду чего материал излагается с минимумом пояснений. Каждая глава начинается с введения, где приводятся обозначения, терминология и определения, а также даются формулировки важнейших теорем. В конце книги помещена обширная библиография, на которую делаются частые ссылки в тексте. Эти ссылки предназначаются как для того, чтобы помочь читателю в отыскании дальнейшей информации, так и для того, чтобы воздать дань уважения авторам упомянутых сочинений. Если указания на авторство того или иного контрпримера отсутствуют, мы искренне сожалеем об этом. Все эти пропуски носят непреднамеренный характер.

В заключение мы выражаем надежду, что читатели этой книги получат столько же удовольствия и пользы, как и ее авторы. Наш собственный опыт дает нам основание утверждать, что математическая задача, решенная при помощи контрпримера, столь же увлекательна, как острая захватывающая пьеса. По нашему мнению, многие из самых глубоких и изящных математических открытий относятся к этому жанру.

Эрвин, Калифорния

Карбондейл, Иллинойс