Котельников А.П. Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике Изд. стереотип.

Содержание

Из предисловия

Некоторые типы комплексныхъ чиселъ тесно связаны съ геометрическими построениями, играющими важную роль въ механике. Къ такого рода типамъ принадлежатъ комплексныя числа, введенныя впервые въ науку английскимъ математикомъ Clifford'омъ – числа, основныя операции надъ которыми соответствуютъ основнымъ построениямъ теории винтовъ Ball'я. Наша задача – развить полнее, чемъ это было сделано до сихъ поръ, связь, существующую между числами Clifford'а съ одной стороны и теорией Ball'я – съ другой, и воспользоваться ей для доказательства некоторыхъ теоремъ геометрии и механики.

Теория винтовъ, подготовленная работами Poinsot, Chasles'a, Mobius'a, Plueker'a и др. (исторический очеркъ ея развития см. И.Занчевский "Теория винтовъ", Зап. Мат. Отд. Нов. Общ. Ест., IX) и возведенная на степень стройнаго учения Ball'емъ, обязана своимъ успехомъ, главнымъ образомъ, введению въ механику твердаго тела понятия о винтй. Методъ, которымъ пользуется Ball въ своей теории (систематическое изложение работъ Ball'я см. Н. Gravelius "Theoretische Mechanik starrer Systeme") основывается на следующихъ 4-хъ построениях.

1. Сложение динамъ (винтовъ).

2. Построение относительнаго момента двухъ динамъ – величины пропорциональной работе, которую производитъ система силъ, характеризуемая одной изъ динамъ при безконечно маломъ перемещении, определяемомъ другой динамой.

3. Увеличение параметра динамы на постоянную величину.

4. Умножение интенсивности (главнаго вектора) динамы на постоянную величину.

Важная роль первыхъ двухъ построений обусловливается уже темъ, что они служатъ для решения двухъ основныхъ вопросовъ кинематики и динамики твердаго тела. Помимо этого они обладаютъ, однако, некоторыми замечательными свойствами, которыхъ однихъ уже было бы достаточно для того, чтобы можно было напередъ предвидеть ихъ важное значение для всей теории винтовъ.

* * *

Анализъ операции умножения и составляетъ содержание первой главы, Изъ нея мы видимъ между прочимъ, что операций умножения, подчиняющихся известнымъ условиямъ, существуетъ безчисленное множество, но результаты ихъ легко получаются изъ техъ результатовъ, которые выражаются биквартерниономъ.

Во второй главе мы развиваемъ аналитическую теорию параболическаго бикватерниона, разсматривая его какъ кватернионъ, у котораго коэффициентами служатъ комплексныя числа а + omega Ь, omega² = 0. Весьма существеннымъ для теории параболическаго бикватерниона намъ кажется введение понятия о функции комплексныхъ чиселъ этого вида. Только благодаря ему мы имеемъ возможность представить формулы теории бикватернионовъ съ желаемой простотой и изяществомъ въ виде тожественномъ съ формулами теории кватернионовъ и т.о. формулировать общее положение: все безъ исключения формулы теории кватернионовъ могутъ быть разсматриваемы какъ формулы теории бикватернионовъ.

Третья глава посвящена более подробному изучению геом. свойствъ операции умножения и деления бивекторовъ и бикватернионовъ. Параграфы, въ которыхъ идетъ речь о делении бивекторовъ, представляютъ развитие первыхъ двухъ §§ "Preliminary Sketh" въ духе "Elements of Quaternions" Hamilton'a.

Изъ тожества формулъ теории кватершоновъ съ формулами теории бикватернионовъ и возможности интепретировать эти последния какъ формулы винтоваго счисления вытекаетъ весьма общая теорема, формулированная нами въ начале первой главы второй части; изъ нея между прочимъ следуетъ, что когда мы будемъ въ формулахъ геометрии или механики эвклидова пространства, элементомъ котораго служитъ точка, считать все числа коплексными вида а + omega Ь, omega² = 0, то все эти формулы могутъ быть интепретированы какъ формулы геометрии или механики пространства шести измерений, элементомъ котораго служитъ бивекторъ. Развитие этого положения и составляетъ первую главу второй части.

Во второй главе мы переходимъ къ приложению винтоваго счисления къ изучению группъ винтовъ (въ смысле Ball'я) и показываемъ связь бикватернионовъ съ группой (въ смысле S.Lie) эвклидовыхъ движений.

Наконецъ въ третьей главе мы излагаемъ свойства винтовыхъ интеграловъ ур. механики и изследуемъ отношение ихъ къ подгруппамъ движений эвклидова пространства.

Об авторе