Методы решения
основных
дифференциальных
уравнений
математической
физики.
| Предисловие |
| 1 | Ряды и преобразования Фурье |
| | § 1. | Тригонометрические ряды Фурье |
| | § 2. | Разложение периодических функций в ряды Фурье |
| | § 3. | Ряды Фурье по ортогональным системам |
| | § 4. | Равномерная сходимость рядов Фурье и равномерное приближение тригонометрическими полиномами |
| | § 5. | Замкнутость и полнота ортогональных систем функций |
| | § 6. | Интегральная формула Фурье. Преобразование Фурье |
| 2 | Операционное исчисление |
| | § 1. | Преобразование Лапласа, теорема существования, соотношение между преобразованиями Лапласа и Фурье |
| | § 2. | Свойства оригиналов и изображений |
| | § 3. | Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных и интегральных уравнений |
| 3 | Типы и канонические формы уравнений с частными производными 2-го порядка |
| | § 1. | Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными |
| | § 2. | Дифференциальные уравнения со многими независимыми переменными |
| 4 | Уравнения гиперболического типа |
| | § 1. | Вывод уравнения поперечных колебаний струны |
| | § 2. | Вывод уравнения колебаний мембраны |
| | § 3. | Постановка задач, имеющих единственное решение |
| | § 4. | Метод Д'Аламбера и корректность постановки задач математической физики |
| | § 5. | Метод Пуассона и пространственные звуковые волны |
| | § 6. | Колебание бесконечной мембраны |
| | § 7. | Решение задачи Коши для неоднородного волнового уравнения |
| | § 8. | Простейший вариант метода разделения переменных |
| | § 9. | Решение смешанной задачи для неоднородного уравнения колебаний струны |
| 5 | Уравнения параболического типа |
| | § 1. | Вывод уравнения теплопроводности |
| | § 2. | Постановка смешанной задачи и принцип максимума и минимума |
| | § 3. | Единственность решения задачи Коши |
| | § 4. | Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности стержня |
| | § 5. | Метод разделения переменных для параболических уравнений |
| 6 | Специальные функции и ортогональные системы многочленов |
| | § 1. | Особый случай постановки задачи Штурма–Лиувилля |
| | § 2. | Цилиндрические функции |
| | § 3. | Применение цилиндрических функций при решении смешанных задач |
| | § 4. | Ортогональные многочлены и присоединенные функции Лежандра |
| | § 5. | Ортогональные многочлены Чебышева–Эрмита и Чебышева–Лягерра |
| 7 | Уравнения эллиптического типа |
| | § 1. | Физические процессы, описываемые уравнениями Пуассона и Лапласа, и постановки краевых задач |
| | § 2. | Интегральные представления и свойства гармонических функций |
| | § 3. | Метод Фурье для круговых областей |
| | § 4. | Сферические функции и движение электрона в кулоновом поле |
| | § 5. | Простейшие сведения из теории потенциала |
| | § 6. | Решение краевых задач методом функций Грина |
| | § 7. | Уравнение Гельмгольца |
| 8 | Задачи Штурма–Лиувилля и интегральные уравнения с симметричными ядрами |
| | § 1. | Функция Грина для краевой задачи |
| | § 2. | Теоремы о собственных значениях и собственных функциях |
| | | 2.3. Неоднородное интегральное уравнение с симметричным ядром |
| 9 | Приближенные методы решения задач математической физики |
| | § 1. | Метод сеток при решении задачи Дирихле |
| | § 2. | Метод сеток при решении параболических и гиперболических уравнений |
| Литература |
Преподавание математических дисциплин на физических факультетах ведущих
советских университетов складывалось на основе опубликованного
В.И.Смирновым пятитомного "Курса высшей математики" [11] и серии
учебных пособий [4, 6, 7, 10, 14], отражающих опыт преподавания
в московских вузах. Что касается непосредственно математической физики, то
на русском языке также имеется ряд первоклассных
изданий [1, 3, 5, 8, 9, 12, 13], в том числе
классическая книга А.Н.Тихонова и А.А.Самарского [13].
Автор ставил своей целью в доходчивой форме изложить курс методов
математической физики в таком объеме, как это может быть сделано за 90
лекционных часов. Пособие написано на основе лекций по математической физике,
которые автор на протяжении ряда лет читал в Белорусском государственном
университете. Выбор материала близок к традиционному, за исключением, возможно,
тригонометрических рядов, преобразований Фурье и Лапласа, интегральных
уравнений с симметричными ядрами. Много места отведено методу разделения
переменных, применению специальных функций и ортогональных полиномов.
Книга адресована студентам физико-математических специальностей классических
университетов, а также других университетов и институтов, где изучаются
дифференциальные уравнения в частных производных и их приложения.
Автор выражает благодарность члену-корреспонденту АН Беларуси Э.И.Грудо
и профессору И.П.Мартынову за внимательное прочтение рукописи и сделанные ими
ценные замечания.
Первое издание книги состоялось в 1998 году. При подготовке настоящего издания
были устранены обнаруженные опечатки и внесены небольшие текстуальные
изменения, улучшающие стиль изложения. Автор благодарен доцентам А.С.Ляликову
и И.В.Рыбаченко за оказанную помощь при подготовке второго издания.
В.Н.Русак
Валентин Николаевич Русак
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики и
математической физики Белорусского государственного университета, заведующий
кафедрой ВМ и МФ с 1976 по 2002 год.
Родился в 1937 году. Окончил БГУ. Опубликовал свыше 170 научных работ,
большинство из которых относится к теории рациональной аппроксимации и ее
приложениям. Автор 5 книг – монографии, учебников и учебных пособий.
