Из предисловия к первому изданию | 9
|
Советы учащимся | 11
|
Глава I. Координатный метод | 13
|
§ 1. О предмете аналитической геометрии | 13
|
§ 2. Координаты | 15
|
§ 3. Координата точки на прямой линии | 15
|
§ За. Вопросы к §§ 2—3 | 16
|
§ 4. Направленный отрезок | 17
|
§ 5. Теорема о направленных отрезках | 18
|
§ 6. Формула для алгебраической величины отрезка; расстояние между двумя точками | 20
|
§ ба. Задачи и вопросы к §§4—б | 21
|
§ 7. Деление отрезка точкой | 22
|
§ 7а. Задачи и вопросы к § 7 | 24
|
§ 8. Прямоугольная система координат | 24
|
§ 9. Координатные углы | 26
|
§ 10. Декартова система координат | 27
|
§ 10а. Задачи и вопросы к §§ 8—10 | 28
|
§ 11. Расстояние между двумя точками на плоскости | 29
|
§ J2. Деление отрезка в данном отношении | 29
|
§ 13. Деление отрезка пополам | 31
|
§ 13а. Задачи к §§ 11—13 | 31
|
§ 14. Пример применения координатного метода | 32
|
§ 15. Уравнение линии | 33
|
§ 16. Взаимное расположение линии и точки | 38
|
§ 17. Взаимное расположение двух линий | 39
|
§ 18. Некоторые методические замечания | 40
|
§ 18а. Задачи и вопросы к §§ 14—18 | 40
|
§ 19. Еще пример применения координатного метода | 41
|
§ 19а. Задачи и вопросы к § 19 | 43
|
Глава II. Прямая линия и окружность | 44
|
§ 20. Угол, составленный двумя прямыми | 44
|
§ 21. Угловой коэффициент | 46
|
§ 22. Уравнение прямой, разрешенное относительно ординаты («уравнение с угловым коэффициентом») | 47
|
§ 23. Прямая, параллельная оси координат | 50
|
§ 23а. Задачи и вопросы к §§ 20—23 | 53
|
§ 24. Уравнение прямой в общем виде | 54
|
§ 24а. Задачи и вопросы к § 24 | 55
|
§ 25. Построение прямой по ее уравнению; уравнение в отрезках | 55
|
§ 25а. Задачи к § 25 | 57
|
§ 26. Уравнение окружности | 58
|
§ 27. Разыскание центра и радиуса окружности по данному ее уравнению | 59
|
§ 27а. Задачи и вопросы к §§ 26—27 | 61
|
§ 28. Разыскание геометрических мест | 62
|
§ 28а. Задачи к § 28 | 67
|
Глава III. Основные формулы аналитической геометрии на плоскости | 68
|
§ 29. Вводные замечания | 68
|
§ 30. Определитель второго порядка | 68
|
§ 30а. Задачи к § 30 | 70
|
§ 31. Условие параллельности прямых | 70
|
§ 31а. Задачи к § 31 | 71
|
§ 32. Общая форма условия параллельности | 72
|
§ 33. Пересечение прямых | 74
|
§ 33а. Задачи к §§ 32—33 | 76
|
§ 34. Условие перпендикулярности прямых | 76
|
§ 35. Общая форма условия перпендикулярности | 77
|
§ 36. Формула для угла, составленного двумя прямыми | 78
|
§ 37. Общая формула для угла, составленного двумя прямыми | 80
|
§ 37а. Задачи и вопросы к §§ 34—37 | 81
|
§ 38. Пучок прямых | 82
|
§ 38а. Задачи и вопросы к § 38 | 84
|
§ 39. Общее уравнение пучка | 84
|
§ 39а. Задачи и вопросы к § 39 | 86
|
§ 40. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки | 87
|
§ 40а. Задачи и вопросы к § 40 | 90
|
§ 41. Взаимное расположение прямой и пары точек | 90
|
§ 42. Расстояние от точки до прямой | 91
|
§ 42а. Задачи к §§ 41—42 | 94
|
§ 43. Полярные параметры прямой | 96
|
§ 44. Уравнение прямой с данными полярными параметрами; нормальное уравнение | 97
|
§ 45. Разыскание полярных параметров по данному уравнению прямой | 99
|
§ 45а. Задачи к §§ 43—45 | 102
|
§ 46. Полярная система координат | 103
|
§ 46а. Задачи к § 46 | 107
|
§ 47. Связь между полярными координатами и прямоугольными | 107
|
§ 48. Уравнение линии в полярных координатах | 110
|
§ 48а. Задачи к §§ 47—48 | 117
|
§ 49. О преобразовании координат | 119
|
§ 50. Перенос начала координат | 120
|
§ 50а. Задачи и вопросы к § 50 | 122
|
§ 51. Поворот осей | 122
|
§ 51а. Задачи и вопросы к § 51 | 124
|
Глава IV. Линии второго порядка | 125
|
§ 52. Алгебраические линии и их порядок | 125
|
§ 53. Равномерное сжатие. Эллипс как сжатая окружность | 127
|
§ 54. Другое определение эллипса | 130
|
§ 55. Особенности формы эллипса | 134
|
§ 56. Построение эллипса по его осям | 135
|
§ 56а. Задачи и вопросы к §§ 52—56 | 137
|
§ 57. Гипербола | 139
|
§ 58. Особенности формы гиперболы | 141
|
§ 59. Асимптоты гиперболы | 146
|
§ 60. Равносторонняя гипербола как график обратной пропорциональности. Подобие равносторонних гипербол | 148
|
§ 61. Построение гиперболы по ее осям | 151
|
§ 61а. Задачи к §§ 57—61 | 151
|
§ 62. Парабола | 152
|
§ 63. Особенности формы параболы. Ось и вершина параболы | 154
|
§ 64. Построение параболы по данному параметру | 155
|
§ 65. Парабола как график уравнения у = ах2. Подобие парабол | 156
|
§ 66. Парабола как график уравнения у = ах2 + Ьх + с | 161
|
§ 66а. Задачи к §§ 62—66 | 164
|
§ 67. Конические сечения | 165
|
§ G8. Общее планиметрическое свойство конических сечений | 167
|
§ 69. Перечень линий второго порядка | 168
|
§ 70. Вводные замечания к последующим двум параграфам | 170
|
§ 71. Предварительное преобразование уравнения второй степени | 171
|
§ 72. Завершающее преобразование уравнения второй степени | 173
|
§ 72а. Задачи к §§ 70—72 | 178
|
Глава V. Векторная алгебра | 179
|
§ 73. Вводные замечания | 179
|
§ 74. Понятие о векторах и скалярах | 179
|
§ 75. Вектор в геометрии; модуль; орт | 180
|
§ 76. Коллинеарные векторы | 181
|
§ 77. Нуль-вектор | 182
|
§ 78. Равенство векторов; приведение векторов к общему началу | 182
|
§ 79. Противоположные векторы | 184
|
§ 80. Сложение векторов | 184
|
§ 81. Сумма нескольких векторов | 186
|
§ 82. Вычитание векторов | 187
|
§ 83. Умножение и деление вектора на число | 189
|
§ 84. Отношение коллинеарных векторов (деление вектора на вектор) | 193
|
§ 85. Линейные комбинации векторов | 193
|
§ 85а. Задачи и вопросы к §§ 75—85 | 196
|
§ 86. Примеры применения векторной алгебры | 197
|
§ 86а. Задачи к § 86 | 202
|
§ 87. Проекция точки на прямую (на ось) | 203
|
§ 88. Проекция вектора на ось | 204
|
§ 89. Основные теоремы о проекциях вектора | 208
|
§ 90. Прямоугольная система координат в пространстве | 211
|
§ 91. Координаты точки | 212
|
§ 92. Координаты вектора | 213
|
§ 93. Выражения вектора через компоненты и через координаты | 215
|
§ 94. Действия над векторами, заданными их координатами | 216
|
§ 94а. Задачи к §§ 87—94 | 219
|
§ 95. Выражение вектора через радиусы-векторы его начала и конца | 219
|
§ 96. Длина вектора; расстояние между двумя точками в пространстве | 220
|
§ 97. Углы между осями координат и вектором | 222
|
§ 97а. Задачи к §§ 95—97 | 224
|
§ 98. Условие коллинеарности двух векторов | 224
|
§ 98а. Задачи к § 98 | 226
|
§ 99. Деление отрезка в данном отношении | 227
|
§ 99а. Задачи к § 99 | 228
|
§ 100. Скалярное произведение двух векторов | 230
|
§ 101. Свойства скалярного произведения | 232
|
§ 102. Таблица скалярного умножения | 236
|
§ 103. Примеры применения скалярного умножения | 236
|
§ 103а. Задачи и вопросы к §§ 100—103 | 237
|
§ 104. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей | 239
|
§ 105. Условие перпендикулярности векторов | 239
|
§ 106. Угол между векторами | 240
|
§ 106а. Задачи к §§ 104—106 | 241
|
§ 107. Правая и левая системы трех векторов | 241
|
§ 108. Векторное произведение | 244
|
§ 109. Свойства векторного произведения | 246
|
§ ПО. Таблица и схема векторного умножения | 252
|
§ 110а. Задачи и вопросы к §§ 107—110 | 253
|
§ 111. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей | 254
|
§ 112. Площадь треугольника | 255
|
§ 113. Площадь ориентированного треугольника | 258
|
§ 114. Теорема об ориентированных треугольниках | 260
|
§ 115. Площадь многоугольника | 261
|
§ 115а. Задачи и вопросы к §§ 111—115 | 263
|
§ 116. Компланарные векторы | 263
|
§ 116а. Задачи и вопросы к § 116 | 264
|
§ 117. Смешанное произведение | 265
|
§ 118. Выражение смешанного произведения с помощью векторного и скалярного произведений | 266
|
§ 119. Свойства смешанного произведения | 268
|
§ 119а. Задачи и вопросы к §§ 117—119 | 270
|
§ 120. Определитель третьего порядка | 271
|
§ 120а. Задачи и вопросы к § 12 | 273
|
§ 121. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей | 273
|
§ 122. Условие компланарности трех векторов | 274
|
§ 123. Условие компланарности четырех точек | 275
|
§ 124. Объем параллелепипеда и тетраэдра | 276
|
§ 124а. Задачи к § 121—124 | 277
|
Глава VI. Плоскость и прямая | 278
|
§ 125. Вводные замечания | 278
|
§ 125. Уравнение поверхности | 278
|
§ 127. Уравнение линии | 281
|
§ 127а. Задачи к §§ 126—127 | 283
|
§ 128. Уравнение плоскости, заданной одной ее точкой и вектором нормали | 284
|
§ 128а. Задачи к § 128 | 287
|
§ 129. Цилиндрические поверхности, у которых образующие параллельны одной из осей координат | 288
|
§ 129а. Задачи к § 129 | 290
|
§ 130. Уравнение плоскости в общем виде | 291
|
§ 131. Особые случаи положения плоскости относительно системы координат | 292
|
§ 131а. Задачи и вопросы к § 131 | 295
|
§ 1316. Задачи к § 128—131 | 296
|
§ 132. Условие параллельности плоскостей | 298
|
§ 133. Условие перпендикулярности плоскостей | 300
|
§ 133а. Задачи к §§ 132—133 | 302
|
§ 134. Угол между двумя плоскостями | 303
|
§ 134а. Задачи к § 134 | 304
|
§ 135. Взаимное расположение плоскости и пары точек | 304
|
§ 136. Расстояние от точки до плоскости | 305
|
§ 136а. Задачи и вопросы к §§ 135 — 136 | 307
|
§ 137. Уравнения прямой в пространстве | 308
|
§ 137а. Задачи к § 137 | 310
|
§ 138. Направляющий вектор | 311
|
§ 139. Углы между прямой и осями координат | 312
|
§ 140. Угол между двумя прямыми | 312
|
§ 141. Угол между прямой и плоскостью | 313
|
§ 141а. Задачи к §§ 138—141 | 315
|
§ 142. Связка и пучок плоскостей | 316
|
§ 142а. Задачи к § 142 | 320
|
§ 143. Проекции прямой на координатные плоскости | 321
|
§ 143а. Задачи к § 143 | 324
|
§ 144, Векторное уравнение прямой. Симметричные (канонические) уравнения | 325
|
§ 145. Приведение уравнений прямой к симметричному виду | 328
|
§ 146. Параметрические уравнения прямой | 329
|
§ 146а. Задачи к §§ 144—146 | 331
|
§ 1466. Задачи на применение координатного метода к стереометрии | 335
|
§ 147. Проекции линии на координатные плоскости | 336
|
§ 147а. Задачи к § 147 | 342
|
Глава VII. Поверхности второго порядка | 343
|
§ 148. Алгебраические поверхности и их порядок | 343
|
§ 149. Отличительные признаки уравнения сферы | 344
|
§ 150. Метод сечений | 346
|
§ 151. Эллипсоид | 348
|
§ 151а. Задачи к §§ 148—151 | 351
|
§ 152. Однополостный гиперболоид | 353
|
§ 153. Двуполостный гиперболоид | 356
|
§ 154. Конус второго порядка | 358
|
§ 154а. Задачи к §§ 152—154 | 361
|
§ 155. Эллиптический параболоид | 362
|
§ 156. Гиперболический параболоид | 364
|
§ 156а. Задачи к §§ 155—156 | 367
|
§ 157. Перечень поверхностей второго порядка | 367
|
§ 158. О прямолинейных образующих поверхностей второго порядка | 371
|
§ 159. Поверхности вращения | 371
|
§ 159а. Задачи к § 159 | 375
|
Глава VIII. Определители и системы линейных уравнений | 376
|
§ 160. Вводные замечания | 376
|
§ 161. Определители второго и третьего порядка | 376
|
§ 162. Об определителях высшего порядка | 379
|
§ 163. Основные свойства определителей | 381
|
§ 164. Практические приемы вычисления определителей | 386
|
§ 164а. Задачи к §§ 161—164 | 388
|
§ 165. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными | 389
|
§ 166. Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными | 393
|
§ 166а. Задачи к §§ 165—166 | 396
|
§ 167. Однородная система двух линейных уравнений с тремя неизвестными | 396
|
§ 168. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными | 398
|
§ 168А. Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными | 402
|
§ 168а. Задачи к §§ 167—168А | 405
|
§ 169. Система п линейных уравнений с п неизвестными | 405
|
§ 169а. Задачи к § 169 | 407
|
ПРИЛОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ | 409
|
§ 170. Определения | 409
|
§ 171. Преобразование плоскости и пространства | 411
|
§ 172. Аналитическое представление преобразования | 415
|
§ 173. Линейное преобразование плоскости и пространства | 417
|
§ 174. Свойства линейного преобразования | 421
|
§ 175. Геометрический смысл определителя матрицы второго порядка | 426
|
§ 176. Геометрический смысл определителя матрицы третьего порядка | 428
|
§ 177. Матрица произведения преобразований | 433
|
§ 178. Умножение матриц | 435
|
§ 179. Определитель произведения матриц | 438
|
§ 180. Диагональные, единичные, нулевые матриц ы | 440
|
§ 181. Сложение и вычитание матриц; умножение матрицы на число | 441
|
§ 182. Основные свойства действий над матрицами | 442
|
§ 183 Матричная запись системы линейных уравнений | 443
|
§ 183а. Задачи к §§ 170—183 | 444
|
§ 184. Собственные векторы матрицы | 445
|
§ 185. Разыскание собственных векторов матрицы второго порядка | 447
|
§ 186. Собственные векторы симметрической матрицы второго порядка | 450
|
§ 187. Применение матриц к упрощению уравнений линий второго порядка | 453
|
§ 188. Разыскание собственных векторов матрицы третьего порядка | 456
|
§ 189. Собственные векторы симметрической матрицы третьего порядка | 459
|
§ 190. Формулы преобразования координат в пространстве | 461
|
§ 191. Применение матриц к упрощению уравнений поверхности второго порядка | 463
|
§ 191а. Задачи к §§ 184—191 | 467
|
Ответы и решения | 468
|