Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

В течение длительного времени автору настоящей книги приходилось заниматься вопросами определения движения различных сложных механических систем по результатам измерений. При этом часто оказывалось, что выводы, получаемые при помощи безупречных с математической точки зрения статистических методов, резко расходились с практическими результатами. Это в первую очередь относится к оценке точности получаемых значений параметров движения рассматриваемых систем, а также к выбору оптимального состава измерений и используемых математических моделей. Это обстоятельство хорошо знакомо многим исследователям, занимающимся определением состояния и движения различных реальных систем по данным измерений. Недаром в последние годы получили право гражданства термины: "оценка точности по внутренней сходимости" и "фактическая точность" определения значений рассматриваемых параметров. При этом под первой подразумеваются результаты, получаемые классическими методами математической статистики, а под второй – фактические значения характеристик точности, оцениваемые другими способами (например, путем сравнения результатов независимых определений параметров исследуемых систем). При большом числе используемых измерений характеристики точности, получаемые первым и вторым способом, могут различаться в несколько раз и даже на несколько порядков. При этом, как правило, фактическая точность оказывается значительно хуже соответствующих оценок "по внутренней сходимости".

По-видимому, основной причиной указанного расхождения между выводами теории и практическими результатами является несоответствие между реальными условиями решения задачи и используемыми при теоретических построениях основными допущениями. При этом большое значение имеет то, что можно назвать "неустойчивостью по основным допущениям", характерной для многих результатов математической статистики. Она заключается в том, что небольшие отклонения от принятых допущений могут кардинальным образом изменить конечные выводы.

Указанное обстоятельство явилось причиной появления в последние годы ряда работ, в которых учитывается влияние ошибок принятых допущений на результаты определения параметров различных реальных систем по данным измерений. Авторы этих работ часто отказываются от классического подхода, предполагающего знание некоторых вероятностных характеристик ошибок исходных данных (например, их математического ожидания и ковариационной матрицы) и задаются лишь областями, в которых могут находиться указанные ошибки или их вероятностные характеристики. Проблемам подобного рода была посвящена работа специального семинара, регулярно проводимого в течение последних лет в Московском университете и в Институте космических исследований Академии наук СССР, а также курса лекций, который читался автором настоящей книги в Московском университете в 1970–1973 гг. Вопросы, обсужденные на этом семинаре, содержание указанного курса лекций, а также результаты ряда опубликованных в последние годы работ послужили основой для написания настоящей книги.

Книга состоит из введения, восьми глав и заключения. Во введении дан краткий исторический обзор развития проблемы определения параметров состояния и движения реальных систем по данным измерений, начиная со времени открытия Гауссом метода наименьших квадратов.

Глава I носит вспомогательный характер. В ней помещены используемые в дальнейшем математические термины и обозначения, а также справочные сведения из теорий матриц, вероятностей и выпуклых множеств, в объеме, достаточном для понимания дальнейшего текста. При этом формулируемые математические теоремы, как правило, не доказываются, за исключением тех, которые трудно отыскать в распространенных учебниках и монографиях.

В главе II изложена постановка задачи определения параметров реальных систем по данным измерений. В ней введены применяемые в книге специальные термины, даны соответствующие обозначения и пояснения к этим терминам, сформулированы некоторые общие свойства исследуемых величин.

Глава III посвящена вопросам оценки точности и выбора оптимальной стратегии решения рассматриваемой задачи. Описываются используемые в настоящее время основные способы задания характеристик погрешностей исходных данных (т.е. ошибок измерений и используемой математической модели). Сравниваются различные критерии точности получаемых результатов. Сформулированы основные задачи выбора оптимальной стратегии определения параметров состояния и движения реальных систем (задачи выбора оптимального алгоритма фильтрации, состава используемых измерений и математической модели). Описаны применяемые при этом критерии оптимальности. Все перечисленные вопросы рассматриваются как в классической, так и неклассической постановке.

В главе IV описаны некоторые задачи рассматриваемого типа, а именно задачи определения: основных характеристик гравитационных и магнитных полей планет, движения механических систем с конечным числом степеней свободы, орбит естественных и искусственных небесных тел, движения неориентированных искусственных спутников Земли относительно их центров масс, параметров статистической регрессии. Рассмотрены так же вопросы линеаризации нелинейных систем. Заметим, что эта глава имеет в основном факультативный характер и рассчитана на специалистов, занимающихся решением данных конкретных задач. Поэтому она (за исключением §§ 4.6 и 4.7) может быть при чтении книги пропущена без особого ущерба для понимания остального текста.

В главе V описан наиболее распространенный способ решения поставленной задачи, а именно – метод наименьших квадратов. Этот метод рассмотрен применительно к линейным и нелинейным задачам при диагональной и произвольной ковариационной матрице суммарных ошибок исходных данных. Сформулированы используемые при обосновании метода основные допущения и показаны получаемые при этих допущениях его оптимальные свойства. Исследовано влияние отклонений реальных условий решения задачи от принятых допущений на точность получаемых результатов, приводящее к искажению указанных оптимальных свойств. В частности, показано, что получаемое теоретически свойство состоятельности оценки по методу наименьших квадратов на практике, как правило, не имеет места. Рассмотрены практические аспекты использования метода наименьших квадратов для решения прикладных задач в условиях невыполнения принятых при обосновании метода основных допущений.

В главе VI описан ряд применяемых в настоящее время классических способов определения параметров реальных систем по результатам измерений. Рассматриваются методы максимального правдоподобия, максимума апостериорной вероятности, минимума модулей, рекуррентной и динамической фильтрации, а также дискретный и непрерывный фильтры Калмана. Показано, что все они в конечном итоге сводятся к методу максимального правдоподобия, для которого имеется наиболее полное и строгое теоретическое обоснование (т.е. исследование его оптимальных свойств при некоторых допущениях). Показано, что в предположении о нормальности распределения суммарных ошибок исходных данных все перечисленные способы (кроме метода минимума модулей) сводятся к методу наименьших квадратов.

Глава VII посвящена изложению результатов, полученных в настоящее время при неоклассическом подходе к решению поставленной задачи, когда задаются лишь области, в которых находятся ошибки исходных данных или их вероятностные характеристики. Излагаются основные свойства разработанного при таком подходе минимального алгоритма фильтрации и приводятся результаты решения задачи выбора оптимальной стратегии определения параметров состояния и движения при соответствующих минимаксному алгоритму допущениях.

В главе VIII рассмотрена задача выбора оптимального состава измерений при различных предположениях об ошибках исходных данных и различных ограничениях, налагаемых на используемые измерения. Приведены некоторые результаты решения этой задачи при классической и неклассической постановках.

В заключении помещены основные выводы по всей книге.

В целом книга написана для специалистов, занимающихся решением прикладных вопросов определения параметров состояния и движения реальных систем. Однако автор надеется, что специалисты по математической статистике также найдут в ней ряд интересных для себя задач.

Основное внимание в книге уделяется зависимости между допущениями, при которых решается задача, и получаемыми результатами. Автор старался сделать содержание книги по возможности математически строгим. Однако в тех случаях, когда для решения важных прикладных задач используются эвристические приемы, не имеющие строгого обоснования, но хорошо зарекомендовавшие себя на практике, автор счел необходимым изложить эти приемы с соответствующими оговорками. Кроме того, для облегчения чтения и сокращения объема текста ряд результатов математической статистики приведен без доказательства со ссылкой на соответствующую литературу. Книга проиллюстрирована примерами, в значительной мере подсказанными практикой определения движения искусственных космических объектов.

Автор пользуется возможностью высказать свою признательность участникам указанного выше семинара, которые выдвинули ряд идей, использованных в настоящей книге. В частности, это относится к Б.Ц.Бахшияну, Л.Ю.Белоусову, Б.П.Быркову, В.В.Голубкову, Н.Н.Козлову, М.Л.Лидову, А.И.Назаренко, Р.Р.Назирову, Б.Л.Новаку, В.С.Мелкумову, Г.А.Мерсову, В.Н.Почукаеву. Особенно благодарен автор Б.Ц.Бахшияну, Л.С.Гурину, Р.Р.Назирову и Б.Л.Новаку, взявшим на себя труд по предварительному просмотру рукописи и сделавшим в процессе этого просмотра ряд ценных замечаний, а также З.А.Стеценко, проделавшей предварительное редактирование рукописи.

Об авторе

Эльясберг Павел Ефимович

Выдающийся ученый, один из создателей советской школы ракетной и космической баллистики. Доктор технических наук, профессор, инженер-полковник; лауреат Ленинской премии. Родился в Житомире. В 1939 г. окончил Киевский государственный университет им. Тараса Шевченко. Во время Великой Отечественной войны с 1941 по 1944 г. находился на фронте в составе 45-й армии. С 1947 г. работал в НИИ-4 Министерства обороны СССР в должностях: научного сотрудника, старшего научного сотрудника (с 1949 г.), начальника лаборатории (с 1956 г.). Работал с С. П. Королёвым, М. К. Тихонравовым и другими основоположниками космических исследований в СССР. С 1959 по 1968 г. — научный консультант. С 1968 г. был начальником отдела Института космических исследований Академии наук СССР. Профессор кафедры теоретической механики МГУ имени М. В. Ломоносова (с 1963 г.).

Основное направление исследований П. Е. Эльясберга — разработка теории полета ракет и искусственных спутников Земли (ИСЗ) и методов баллистического обеспечения управления движением космических аппаратов. Выпущенный им в качестве ответственного исполнителя первый отчет НИИ-4 МО в 1947 г. положил начало систематическому развитию теории полета ракет. В дальнейшем, решая проблему подготовки данных для пусков ракет, он разработал эффективный метод представления прицельных данных в виде разложения в специальные ряды. При запуске первого ИСЗ им была определена орбита и спрогнозировано движение спутника по результатам оптических и радиотехнических измерений с использованием разработанной им графоаналитической методики. П. Е. Эльясберг дал первое систематизированное изложение основ теории полета и теории оценки точности определения движения летательных аппаратов по результатам измерений. Автор 5 крупных монографий, в том числе фундаментального труда «Введение в теорию полета искусственных спутников Земли», и большого числа других научных публикаций.