Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах Изд. 3, испр.

2026. 320 с.

Типографская бумага

Аннотация

В книге изложены основы современной теории случайных процессов. Описаны важнейшие модели процессов с дискретным и непрерывным временем, методы их исследования и использования для решения прикладных задач. Рассмотрены решения многочисленных типовых примеров, приведены задачи для самостоятельного решения.

Для студентов и аспирантов технических университетов, специализирующихся в области прикладной математики, теории управления, обработки... (Подробнее)

Содержание

Предисловие				6
Список основных сокращений и обозначений				9
Глава I. Основные понятия теории случайных процессов				11
§ 1. Случайные процессы и их вероятностные характеристики				11
1.1. Определение случайного процесса				11
1.2. Конечномерные распределения случайного процесса				13
1.3. Теорема Колмогорова				17
1.4. Моментные характеристики случайного процесса				21
1.5. Задачи для самостоятельного решения				27
§ 2. Основные классы случайных процессов				29
2.1. Гауссовские случайные процессы				29
2.2. Случайные процессы с конечными моментами второго порядка				35
2.3. Стационарные случайные процессы				38
2.4. Марковские процессы				39
2.5. Диффузионные процессы				46
2.6. Задачи для самостоятельного решения				48
Глава II. Случайные последовательности				52
§ 3. Стационарные случайные последовательности				52
3.1. Основные характеристики ССП				52
3.2. Примеры ССП				55
3.3. Спектральное представление ССП				58
3.4. Задачи для самостоятельного решения				62
§ 4. Линейные преобразования случайных последовательностей				65
4.1. Линейные преобразования последовательностей общего вида				65
4.2. Линейные преобразования стационарных СП				70
4.3. Линейное прогнозирование стационарных последовательностей				75
4.4. Задачи для самостоятельного решения				81
§ 5. Цепи Маркова				83
5.1. Вероятностные характеристики цепей Маркова				83
5.2. Эргодические цепи Маркова				87
5.3. Предельные вероятности состояний цепи Маркова				91
5.4. Задачи для самостоятельного решения				96
§ 6. Разностные стохастические уравнения				98
6.1. Модели авторегрессии и скользящего среднего				98
6.2. Спектральные характеристики АРСС-последовательностей				103
6.3. Многомерные разностные линейные стохастические уравнения				106
6.4. Фильтр Калмана				110
6.5. Нелинейная фильтрация марковских случайных последовательностей				117
6.6. Алгоритмы субоптимальной нелинейной фильтрации				122
6.7. Задачи для самостоятельного решения				129
§ 7. Мартингалы с дискретным временем				131
7.1. Основные определения				131
7.2. Марковские моменты. Случайная замена времени в мартингале				138
7.3. Теоремы сходимости мартингалов и их приложения				141
7.4. Задачи для самостоятельного решения				145
Глава III. Случайные функции				147
§ 8. Элементы анализа случайных функций				147
8.1. Непрерывность случайных функций				147
8.2. Дифференцирование случайных функций				153
8.3. Интегрирование случайных функций				157
8.4. Дифференциальные уравнения со случайной правой частью				161
8.5. Задачи для самостоятельного решения				166
§ 9. Стационарные случайные функции				167
9.1. Основные характеристики стационарных случайных функций				167
9.2. Примеры ССФ				170
9.3. Линейные преобразования ССФ				175
9.4. Задачи для самостоятельного решения				185
§ 10. Случайные функции с ортогональными и независимыми приращениями				188
10.1. Основные понятия и определения				188
10.2. Однородные процессы с ортогональными приращениями				193
10.3. Мартингалы (непрерывное время)				196
10.4. Винеровский процесс				205
10.5. Задачи для самостоятельного решения				210
§ 11. Стохастические дифференциальные уравнения				212
11.1. Стохастический интеграл Ито				212
11.2. Стохастическое дифференциальное уравнение. Формула Ито				217
11.3. Линейные стохастические дифференциальные уравнения				225
11.4. Формирующий фильтр для стационарной случайной функции				231
11.5. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы				236
11.6. Фильтр Калмана–Бьюси				239
11.7. Задачи для самостоятельного решения				245
§ 12. Марковские случайные функции с дискретным множеством состояний				247
12.1. Потоки событий				247
12.2. Вероятностное описание марковских случайных функций с дискретным множеством значений				250
12.3. Эргодические свойства однородных марковских случайных функций				254
12.4. Процессы рождения и гибели				257
12.5. Задачи для самостоятельного решения				262
Глава IV. Математическое приложение				264
§ 13. Необходимые сведения из функционального анализа				264
13.1. Алгебры и σ-алгебры множеств				264
13.2. Меры (определения и свойства)				265
13.3. Способы задания мер				266
13.4. Измеримые функции				270
13.5. Интеграл Лебега				272
13.6. Гильбертово пространство				279
13.7. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве				282
13.8. Ортогональное проектирование в гильбертовом пространстве				283
§ 14. Необходимые сведения из теории вероятностей				284
14.1. Случайные события и их вероятности				284
14.2. Случайные величины и векторы				286
14.3. Математическое ожидание				290
14.4. Последовательности случайных величин				294
14.5. Условное математическое ожидание				296
14.6. Гауссовские случайные величины и векторы				299
14.7. Гильбертово пространство случайных величин с конечным вторым моментом				301
14.8. Ортогональная стохастическая мера				303
14.9. Стохастический интеграл по ортогональной мере				305
§ 15. Вычисление специальных интегралов				307
15.1. Интеграл вероятностей				307
15.2. Интегралы от дробно-рациональных функций				308
Список литературы				310
Предметный указатель				312

Об авторах

Миллер Борис Михайлович

Доктор физико-математических наук, профессор, лауреат премии Ленинского комсомола. Главный научный сотрудник Лаборатории моделей и алгоритмов обработки изображений Института проблем передачи информации им. А. А. Харкевича РАН. Среди наиболее важных его результатов — теория импульсного управления дискретно-непрерывными динамическими системами с импульсными управлениями и ударными воздействиями, где им разработан оригинальный метод сингулярных пространственно-временных преобразований, широко используемый в задачах управления наблюдениями и анализе динамических систем с ударными воздействиями. В настоящее время занимается управлением стохастическими системами в применении к задачам навигации беспилотных аппаратов. Автор более 180 научных трудов, изданных в России и в США, среди которых 5 монографий.

Панков Алексей Ростиславович

Известный российский ученый в области прикладной математики, доктор физико-математических наук, профессор. Окончил Московский авиационный институт, большую часть своей профессиональной карьеры работал в качестве доцента и профессора на кафедре «Теория вероятностей» (МАИ), созданной академиком В. С. Пугачёвым. Обладатель Государственной научной стипендии Президиума РАН для выдающихся ученых. Автор более 130 научных работ в отечественных и зарубежных изданиях, а также более 10 учебников и учебно-методических пособий на основе своих оригинальных разработок для общеобразовательных и специальных курсов по теории вероятностей, математической статистике, теории случайных процессов, математической экономике, статистическому моделированию, статистической динамике летательных аппаратов и др.